Страница 38 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.151. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь, чтобы умножение было с некоторым удивлением, т. е. в произведении получилось 111 111, или 222 222, или 333 333 и так до 999 999, то умножай 777 на 143 и будет $777 \times 143 = 111111$. А когда 143 умножишь на 2 и результат умножишь на 777, то получишь $(143 \times 2) \times 777 = 222222$, и т. д. Получите описанным способом произведения от 333 333 до 999 999.

В задаче описан метод получения чисел, состоящих из одинаковых цифр. Основа метода — произведение $777 \times 143 = 111 \, 111$. Для получения числа вида $NNN \, NNN$ (например, 222 222), нужно сначала умножить 143 на N (в данном случае на 2), а затем результат умножить на 777. Применим этот способ для нахождения произведений от 333 333 до 999 999.

Произведение 333 333

Чтобы получить 333 333, умножим 143 на 3, а полученный результат — на 777.

1. $143 \times 3 = 429$

2. $429 \times 777 = 333 \, 333$

Ответ: $(143 \times 3) \times 777 = 333 \, 333$.

Произведение 444 444

Чтобы получить 444 444, умножим 143 на 4, а полученный результат — на 777.

1. $143 \times 4 = 572$

2. $572 \times 777 = 444 \, 444$

Ответ: $(143 \times 4) \times 777 = 444 \, 444$.

Произведение 555 555

Чтобы получить 555 555, умножим 143 на 5, а полученный результат — на 777.

1. $143 \times 5 = 715$

2. $715 \times 777 = 555 \, 555$

Ответ: $(143 \times 5) \times 777 = 555 \, 555$.

Произведение 666 666

Чтобы получить 666 666, умножим 143 на 6, а полученный результат — на 777.

1. $143 \times 6 = 858$

2. $858 \times 777 = 666 \, 666$

Ответ: $(143 \times 6) \times 777 = 666 \, 666$.

Произведение 777 777

Чтобы получить 777 777, умножим 143 на 7, а полученный результат — на 777.

1. $143 \times 7 = 1001$

2. $1001 \times 777 = 777 \, 777$

Ответ: $(143 \times 7) \times 777 = 777 \, 777$.

Произведение 888 888

Чтобы получить 888 888, умножим 143 на 8, а полученный результат — на 777.

1. $143 \times 8 = 1144$

2. $1144 \times 777 = 888 \, 888$

Ответ: $(143 \times 8) \times 777 = 888 \, 888$.

Произведение 999 999

Чтобы получить 999 999, умножим 143 на 9, а полученный результат — на 777.

1. $143 \times 9 = 1287$

2. $1287 \times 777 = 999 \, 999$

Ответ: $(143 \times 9) \times 777 = 999 \, 999$.

1.152. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь в произведении иметь 121 212, возьми 12, умножь на 2 и на 10, будет 240, прибавь первое число, будет 252. Этот результат умножь на 481, будет 121 212.

Получите описанным способом числа 232 323, 343 434 и 898 989.

Для решения задачи сначала проанализируем описанный в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого способ получения числа. Обозначим исходное число, которое нужно взять (в примере это 12), переменной $x$.

Алгоритм можно представить в виде следующих шагов:

1. Берем число $x$.
2. Умножаем его на 2, а затем на 10: $x \cdot 2 \cdot 10 = 20x$.
3. К результату прибавляем первое (исходное) число: $20x + x = 21x$.
4. Полученный результат умножаем на 481: $(21x) \cdot 481$.

Теперь упростим получившееся выражение. Итоговое число, назовем его $R$, вычисляется по формуле:

$R = (21x) \cdot 481 = x \cdot (21 \cdot 481)$

Вычислим произведение в скобках: $21 \cdot 481 = 10101$.
Таким образом, весь описанный способ сводится к умножению исходного числа $x$ на 10101:

$R = 10101 \cdot x$

Проверим это на примере из условия: если $x=12$, то $R = 10101 \cdot 12 = 121212$. Все верно.

Теперь, чтобы найти, какое исходное число $x$ нужно взять для получения заданных результатов, мы должны разделить эти результаты на 10101.

232 323

Найдем исходное число $x$ для результата $R = 232323$:
$x = \frac{232323}{10101} = 23$.
Следовательно, в качестве "первого числа" нужно взять 23. Проверим это, выполнив все шаги из условия:

1. Берем число 23.
2. Умножаем на 2 и на 10: $23 \cdot 2 \cdot 10 = 460$.
3. Прибавляем первое число: $460 + 23 = 483$.
4. Полученный результат умножаем на 481: $483 \cdot 481 = 232323$.

Ответ: чтобы получить число 232 323 описанным способом, нужно взять первое число 23.

343 434

Найдем исходное число $x$ для результата $R = 343434$:
$x = \frac{343434}{10101} = 34$.
В качестве "первого числа" нужно взять 34. Проверим это, выполнив все шаги из условия:

1. Берем число 34.
2. Умножаем на 2 и на 10: $34 \cdot 2 \cdot 10 = 680$.
3. Прибавляем первое число: $680 + 34 = 714$.
4. Полученный результат умножаем на 481: $714 \cdot 481 = 343434$.

Ответ: чтобы получить число 343 434 описанным способом, нужно взять первое число 34.

898 989

Найдем исходное число $x$ для результата $R = 898989$:
$x = \frac{898989}{10101} = 89$.
В качестве "первого числа" нужно взять 89. Проверим это, выполнив все шаги из условия:

1. Берем число 89.
2. Умножаем на 2 и на 10: $89 \cdot 2 \cdot 10 = 1780$.
3. Прибавляем первое число: $1780 + 89 = 1869$.
4. Полученный результат умножаем на 481: $1869 \cdot 481 = 898989$.

Ответ: чтобы получить число 898 989 описанным способом, нужно взять первое число 89.