Страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.146. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа.

Обозначим искомые четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — наименьшее из них.

По условию задачи, их произведение равно 3024. Составим уравнение:

$n(n+1)(n+2)(n+3) = 3024$

Это уравнение четвертой степени. Для его решения удобно перегруппировать множители:

$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] = 3024$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 2n + n + 2) = 3024$

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = 3024$

Мы видим, что выражение $n^2 + 3n$ повторяется. Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t+2) = 3024$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 + 2t - 3024 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3024) = 4 + 12096 = 12100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 110}{2} = \frac{108}{2} = 54$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 110}{2} = \frac{-112}{2} = -56$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $n$.

Случай 1: $t = 54$.

$n^2 + 3n = 54$

$n^2 + 3n - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант: $D_1 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D_1} = \sqrt{225} = 15$.

Корни для $n$:

$n_1 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$n_2 = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, поэтому $n$ должно быть положительным целым числом. Корень $n_2 = -9$ не подходит. Следовательно, $n = 6$.

Случай 2: $t = -56$.

$n^2 + 3n = -56$

$n^2 + 3n + 56 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D_2 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 9 - 224 = -215$.

Поскольку дискриминант $D_2 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней, а значит, не имеет и натуральных.

Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $n=6$.

Найдем искомые четыре числа:

• Первое число: $n = 6$
• Второе число: $n+1 = 7$
• Третье число: $n+2 = 8$
• Четвертое число: $n+3 = 9$

Проверим результат: $6 \times 7 \times 8 \times 9 = 42 \times 72 = 3024$. Результат верный.

Ответ: 6, 7, 8, 9.

1.147. На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел, потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки. Восстановите стёртые цифры.

$\begin{array}{r} 72 \\ \times \text{**} \\ \hline 21\text{*} \\ + \text{**} \\ \hline \text{***} \end{array}$$\begin{array}{r} 45 \\ \times \text{**} \\ \hline \text{**} \\ + 135 \\ \hline \text{***}0 \end{array}$$\begin{array}{r} 52 \\ \times \text{**} \\ \hline \text{**} \\ + 2\text{*}8 \\ \hline \text{****} \end{array}$

Первый пример (72 x **)

Обозначим неизвестный двузначный множитель как $AB$. Пример имеет вид:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 72 \\ \times & & A B \\ \hline & 21* \\ + & ** \\ \hline & *** \end{array} $

Первое неполное произведение получается умножением $72$ на цифру единиц $B$. Результат - трехзначное число вида $21*$.
Подберем цифру $B$:
Если $B=1$, то $72 \times 1 = 72$ (не подходит, так как число двузначное).
Если $B=2$, то $72 \times 2 = 144$ (не подходит, так как начинается с 1, а не 21).
Если $B=3$, то $72 \times 3 = 216$. Это число соответствует шаблону $21*$.
Следовательно, цифра единиц второго множителя равна 3, а первое неполное произведение — 216.

Второе неполное произведение получается умножением $72$ на цифру десятков $A$. Результат — двузначное число $**$.
Если $A=1$, то $72 \times 1 = 72$ (двузначное число, подходит).
Если $A=2$, то $72 \times 2 = 144$ (трехзначное число, не подходит).
Значит, цифра десятков $A$ равна 1.

Таким образом, второй множитель равен 13. Восстановим пример полностью:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 72 \\ \times & & 13 \\ \hline & 216 \\ + & 72 \\ \hline & 936 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 72 \\ \times & & 13 \\ \hline & 216 \\ + & 72 \\ \hline & 936 \end{array} $

Второй пример (45 x **)

Обозначим неизвестный множитель как $CD$. Пример имеет вид:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 45 \\ \times & & CD \\ \hline & & ** \\ + & 135 \\ \hline & ***0 \end{array} $

Второе неполное произведение (со сдвигом влево) равно 135. Оно получено умножением $45$ на цифру десятков $C$.
$45 \times C = 135$.
Отсюда находим $C = 135 \div 45 = 3$.

Итоговая сумма оканчивается на 0. Эта цифра совпадает с последней цифрой первого неполного произведения ($45 \times D$), так как под ней нет другой цифры.
Произведение $45 \times D$ должно оканчиваться на 0. Это возможно, если $D$ — четное число ($0, 2, 4, ...$).
При этом, первое неполное произведение ($45 \times D$) — это двузначное число $**$.
Проверим варианты для $D$:
Если $D=0$, то $45 \times 0 = 0$ (одна цифра, не подходит).
Если $D=2$, то $45 \times 2 = 90$ (две цифры, подходит).
Если $D=4$, то $45 \times 4 = 180$ (три цифры, не подходит).
Значит, $D=2$.

Второй множитель равен 32. Восстановим пример полностью:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 45 \\ \times & & 32 \\ \hline & & 90 \\ + & 135 \\ \hline & 1440 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 45 \\ \times & & 32 \\ \hline & & 90 \\ + & 135 \\ \hline & 1440 \end{array} $

Третий пример (52 x **)

Обозначим неизвестный множитель как $EF$. Пример имеет вид:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ \times & & EF \\ \hline & & ** \\ + & 2*8 \\ \hline & **** \end{array} $

Второе неполное произведение имеет вид $2*8$. Оно получено умножением $52$ на цифру десятков $E$.
Подберем цифру $E$:
$52 \times 1 = 52$
$52 \times 2 = 104$
$52 \times 3 = 156$
$52 \times 4 = 208$. Это число соответствует шаблону $2*8$.
$52 \times 5 = 260$ (не подходит).
Значит, цифра десятков $E$ равна 4, а второе неполное произведение — 208.

Первое неполное произведение ($52 \times F$) является двузначным числом.
Если $F=1$, то $52 \times 1 = 52$ (двузначное число, подходит).
Если $F=2$, то $52 \times 2 = 104$ (трехзначное число, не подходит).
Следовательно, цифра единиц $F$ равна 1.

Второй множитель равен 41. Восстановим пример полностью:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ \times & & 41 \\ \hline & & 52 \\ + & 208 \\ \hline & 2132 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ \times & & 41 \\ \hline & & 52 \\ + & 208 \\ \hline & 2132 \end{array} $

1.148. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек купил ладану 137 пудов. За каждый пуд заплатил по 6 р. и захотел узнать, сколько стоит покупка.

Для решения этой задачи необходимо найти общую стоимость покупки. Общая стоимость вычисляется как произведение количества товара на цену за одну единицу товара.

В данном случае:

• Количество товара — 137 пудов ладана.
• Цена за единицу товара — 6 рублей за пуд.

Чтобы найти, сколько стоит вся покупка, умножим количество пудов на цену одного пуда:

$137 \times 6 = 822$

Таким образом, общая стоимость покупки составляет 822 рубля.

Ответ: 822 рубля.

1.149. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил зерна 2359 четвертей, за четверть платил по 65 коп. и отдал всех денег 153 335 коп. Проверьте вычисления.

Проверьте вычисления.

Для того чтобы проверить вычисления, необходимо умножить количество купленного зерна на его цену за единицу (четверть) и сравнить полученный результат с суммой, которая была уплачена.

Согласно условию задачи:

• Количество купленного зерна: 2359 четвертей.
• Цена за одну четверть: 65 копеек.
• Общая уплаченная сумма: 153 335 копеек.

Вычислим фактическую стоимость всей покупки, перемножив количество зерна на цену:

$2359 \times 65$

Для удобства можно разложить умножение на части:

$2359 \times 65 = 2359 \times (60 + 5) = (2359 \times 60) + (2359 \times 5)$

$2359 \times 5 = 11795$

$2359 \times 60 = 141540$

$11795 + 141540 = 153335$

Таким образом, реальная стоимость зерна составляет 153 335 копеек.

Полученный результат (153 335 коп.) полностью совпадает с суммой, указанной в задаче. Следовательно, исходные вычисления были выполнены правильно.

Ответ: Вычисления верны.

1.150. а) Купили дюжину (12 штук) носовых платков по 1 р. за штуку, 4 пары носков по 4 р. за пару и 2 майки по 10 р. за штуку. Сколько денег заплатили?

б) С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода?

а) Для того чтобы найти общую сумму, потраченную на покупки, необходимо вычислить стоимость каждой группы товаров и сложить полученные значения.

1. Стоимость носовых платков. В одной дюжине 12 штук.
$12 \text{ шт.} \times 1 \text{ р.} = 12 \text{ р.}$

2. Стоимость носков.
$4 \text{ пары} \times 4 \text{ р.} = 16 \text{ р.}$

3. Стоимость маек.
$2 \text{ шт.} \times 10 \text{ р.} = 20 \text{ р.}$

4. Общая стоимость всей покупки.
$12 \text{ р.} + 16 \text{ р.} + 20 \text{ р.} = 48 \text{ р.}$

Ответ: 48 рублей.

б) Чтобы найти общее количество тарелок, нужно умножить количество подвод на количество ящиков в каждой, а затем на количество тарелок в каждом ящике.

1. Сначала найдем общее количество ящиков.
$9 \text{ подвод} \times 2 \text{ ящика} = 18 \text{ ящиков.}$

2. Далее найдем общее количество дюжин тарелок.
$18 \text{ ящиков} \times 45 \text{ дюжин} = 810 \text{ дюжин.}$

3. Теперь переведем дюжины в штуки, зная, что в одной дюжине 12 штук.
$810 \text{ дюжин} \times 12 \text{ шт.} = 9720 \text{ тарелок.}$

Можно также решить задачу одним выражением:
$9 \times 2 \times 45 \times 12 = 9720 \text{ тарелок.}$

Ответ: 9720 тарелок.