Номер 1.146, страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.146. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа.

Обозначим искомые четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — наименьшее из них.

По условию задачи, их произведение равно 3024. Составим уравнение:

$n(n+1)(n+2)(n+3) = 3024$

Это уравнение четвертой степени. Для его решения удобно перегруппировать множители:

$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] = 3024$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 2n + n + 2) = 3024$

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = 3024$

Мы видим, что выражение $n^2 + 3n$ повторяется. Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t+2) = 3024$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 + 2t - 3024 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3024) = 4 + 12096 = 12100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 110}{2} = \frac{108}{2} = 54$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 110}{2} = \frac{-112}{2} = -56$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $n$.

Случай 1: $t = 54$.

$n^2 + 3n = 54$

$n^2 + 3n - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант: $D_1 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D_1} = \sqrt{225} = 15$.

Корни для $n$:

$n_1 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$n_2 = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, поэтому $n$ должно быть положительным целым числом. Корень $n_2 = -9$ не подходит. Следовательно, $n = 6$.

Случай 2: $t = -56$.

$n^2 + 3n = -56$

$n^2 + 3n + 56 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D_2 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 9 - 224 = -215$.

Поскольку дискриминант $D_2 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней, а значит, не имеет и натуральных.

Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $n=6$.

Найдем искомые четыре числа:

• Первое число: $n = 6$
• Второе число: $n+1 = 7$
• Третье число: $n+2 = 8$
• Четвертое число: $n+3 = 9$

Проверим результат: $6 \times 7 \times 8 \times 9 = 42 \times 72 = 3024$. Результат верный.

Ответ: 6, 7, 8, 9.