Номер 1.147, страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.147. На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел, потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки. Восстановите стёртые цифры.

$\begin{array}{r} 72 \\ \times \text{**} \\ \hline 21\text{*} \\ + \text{**} \\ \hline \text{***} \end{array}$$\begin{array}{r} 45 \\ \times \text{**} \\ \hline \text{**} \\ + 135 \\ \hline \text{***}0 \end{array}$$\begin{array}{r} 52 \\ \times \text{**} \\ \hline \text{**} \\ + 2\text{*}8 \\ \hline \text{****} \end{array}$

Первый пример (72 x **)

Обозначим неизвестный двузначный множитель как $AB$. Пример имеет вид:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 72 \\ \times & & A B \\ \hline & 21* \\ + & ** \\ \hline & *** \end{array} $

Первое неполное произведение получается умножением $72$ на цифру единиц $B$. Результат - трехзначное число вида $21*$.
Подберем цифру $B$:
Если $B=1$, то $72 \times 1 = 72$ (не подходит, так как число двузначное).
Если $B=2$, то $72 \times 2 = 144$ (не подходит, так как начинается с 1, а не 21).
Если $B=3$, то $72 \times 3 = 216$. Это число соответствует шаблону $21*$.
Следовательно, цифра единиц второго множителя равна 3, а первое неполное произведение — 216.

Второе неполное произведение получается умножением $72$ на цифру десятков $A$. Результат — двузначное число $**$.
Если $A=1$, то $72 \times 1 = 72$ (двузначное число, подходит).
Если $A=2$, то $72 \times 2 = 144$ (трехзначное число, не подходит).
Значит, цифра десятков $A$ равна 1.

Таким образом, второй множитель равен 13. Восстановим пример полностью:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 72 \\ \times & & 13 \\ \hline & 216 \\ + & 72 \\ \hline & 936 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 72 \\ \times & & 13 \\ \hline & 216 \\ + & 72 \\ \hline & 936 \end{array} $

Второй пример (45 x **)

Обозначим неизвестный множитель как $CD$. Пример имеет вид:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 45 \\ \times & & CD \\ \hline & & ** \\ + & 135 \\ \hline & ***0 \end{array} $

Второе неполное произведение (со сдвигом влево) равно 135. Оно получено умножением $45$ на цифру десятков $C$.
$45 \times C = 135$.
Отсюда находим $C = 135 \div 45 = 3$.

Итоговая сумма оканчивается на 0. Эта цифра совпадает с последней цифрой первого неполного произведения ($45 \times D$), так как под ней нет другой цифры.
Произведение $45 \times D$ должно оканчиваться на 0. Это возможно, если $D$ — четное число ($0, 2, 4, ...$).
При этом, первое неполное произведение ($45 \times D$) — это двузначное число $**$.
Проверим варианты для $D$:
Если $D=0$, то $45 \times 0 = 0$ (одна цифра, не подходит).
Если $D=2$, то $45 \times 2 = 90$ (две цифры, подходит).
Если $D=4$, то $45 \times 4 = 180$ (три цифры, не подходит).
Значит, $D=2$.

Второй множитель равен 32. Восстановим пример полностью:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 45 \\ \times & & 32 \\ \hline & & 90 \\ + & 135 \\ \hline & 1440 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 45 \\ \times & & 32 \\ \hline & & 90 \\ + & 135 \\ \hline & 1440 \end{array} $

Третий пример (52 x **)

Обозначим неизвестный множитель как $EF$. Пример имеет вид:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ \times & & EF \\ \hline & & ** \\ + & 2*8 \\ \hline & **** \end{array} $

Второе неполное произведение имеет вид $2*8$. Оно получено умножением $52$ на цифру десятков $E$.
Подберем цифру $E$:
$52 \times 1 = 52$
$52 \times 2 = 104$
$52 \times 3 = 156$
$52 \times 4 = 208$. Это число соответствует шаблону $2*8$.
$52 \times 5 = 260$ (не подходит).
Значит, цифра десятков $E$ равна 4, а второе неполное произведение — 208.

Первое неполное произведение ($52 \times F$) является двузначным числом.
Если $F=1$, то $52 \times 1 = 52$ (двузначное число, подходит).
Если $F=2$, то $52 \times 2 = 104$ (трехзначное число, не подходит).
Следовательно, цифра единиц $F$ равна 1.

Второй множитель равен 41. Восстановим пример полностью:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ \times & & 41 \\ \hline & & 52 \\ + & 208 \\ \hline & 2132 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ \times & & 41 \\ \hline & & 52 \\ + & 208 \\ \hline & 2132 \end{array} $