Страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.137 Какие законы используют при умножении столбиком?

Умножение столбиком — это стандартный алгоритм для перемножения многозначных чисел, который основан на позиционной системе счисления и нескольких фундаментальных законах арифметики. Ключевую роль в этом методе играет распределительный закон умножения относительно сложения.

Этот закон, также известный как дистрибутивность, гласит, что произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых. Формула закона: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.

Рассмотрим, как этот закон применяется на примере умножения $145 \times 23$. Алгоритм умножения столбиком фактически разбивает эту задачу на более простые шаги. Мы представляем число $23$ как сумму его разрядных слагаемых $20 + 3$. Затем, согласно распределительному закону, всё произведение можно записать так:

$145 \times 23 = 145 \times (20 + 3) = (145 \times 3) + (145 \times 20)$

Именно эти два слагаемых, $(145 \times 3)$ и $(145 \times 20)$, и называются неполными произведениями, которые мы вычисляем и записываем в столбик одно под другим (со сдвигом), а затем складываем:

• Первое неполное произведение: $145 \times 3 = 435$.
• Второе неполное произведение: $145 \times 20 = 2900$.
• Итоговый результат: $435 + 2900 = 3335$.

Помимо распределительного закона, в этом процессе неявно используются и другие свойства операций:

Сочетательный закон умножения ($ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $). Он позволяет нам вычислить $145 \times 20$ как $(145 \times 2) \times 10$. Мы находим произведение $145 \times 2 = 290$, а затем умножаем его на $10$, что в записи столбиком соответствует сдвигу результата на один разряд влево.

Переместительный и сочетательный законы сложения. Эти законы применяются на финальном этапе при сложении неполных произведений ($435$ и $2900$). Именно они дают нам право складывать числа поразрядно (единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.).

Переместительный закон умножения ($ a \times b = b \times a $). Он не является частью самого алгоритма, но позволяет нам для удобства менять множители местами (например, при умножении $23 \times 145$ мы бы записали сверху число $145$).

Ответ: При умножении столбиком используется распределительный закон умножения относительно сложения, а также сочетательные и переместительные законы умножения и сложения.

1.138. Объясните, как выполнено умножение:

а) $\begin{array}{r} 748 \\ \times 6 \\ \hline 4488\end{array}$

б) $\begin{array}{r} 973 \\ \times 50 \\ \hline 48650\end{array}$

в) $\begin{array}{r} 7050 \\ \times 7 \\ \hline 49350\end{array}$

г) $\begin{array}{r} 926 \\ \times 38 \\ \hline 7408 \\ \llap{+} 2778 \\ \hline 35188\end{array}$

д) $\begin{array}{r} 326 \\ \times 502 \\ \hline 652 \\ \llap{+} 1630\phantom{00} \\ \hline 163652\end{array}$

е) $\begin{array}{r} 4830 \\ \times 4900 \\ \hline 4347 \\ \llap{+} 1932\phantom{0} \\ \hline 23667000\end{array}$

а) Умножение выполняется в столбик, поразрядно, справа налево.
1. Умножаем единицы: $8 \times 6 = 48$. 8 пишем в разряд единиц, 4 десятка запоминаем.
2. Умножаем десятки: $4 \times 6 = 24$. Прибавляем 4 десятка из предыдущего шага: $24 + 4 = 28$. 8 пишем в разряд десятков, 2 сотни запоминаем.
3. Умножаем сотни: $7 \times 6 = 42$. Прибавляем 2 сотни из предыдущего шага: $42 + 2 = 44$. Записываем 44.
В итоге получаем 4488.
Ответ: 4488

б) Чтобы умножить число на 50, можно умножить это число на 5 и к результату приписать справа ноль.
1. В столбике ноль из числа 50 сносится вправо, и умножение фактически сводится к $973 \times 5$.
2. Умножаем $973 \times 5 = 4865$.
3. Сносим ноль в конец результата, получая 48650.
Ответ: 48650

в) При умножении числа, оканчивающегося на ноль (7050), на другое число (7), можно выполнить умножение, не обращая внимания на ноль, а затем приписать этот ноль к результату.
1. Умножаем 705 на 7: $705 \times 7 = 4935$.
2. К результату 4935 приписываем справа ноль из числа 7050.
Ответ: 49350

г) Умножение на двузначное число выполняется поочередно. Сначала первый множитель умножается на единицы второго, затем на десятки. Полученные произведения (неполные произведения) складываются.
1. Первое неполное произведение: умножаем 926 на 8 (единицы числа 38). $926 \times 8 = 7408$.
2. Второе неполное произведение: умножаем 926 на 3 (десятки числа 38). $926 \times 3 = 2778$. Результат записываем со сдвигом на один разряд влево, так как мы умножаем на десятки.
3. Складываем неполные произведения: $7408 + 27780 = 35188$.
Ответ: 35188

д) При умножении на трехзначное число с нулем в разряде десятков (502), умножение на ноль можно пропустить, но следующее неполное произведение сдвинуть на два разряда влево.
1. Первое неполное произведение: умножаем 326 на 2 (единицы). $326 \times 2 = 652$.
2. Умножение на 0 десятков пропускаем.
3. Второе (в записи) неполное произведение: умножаем 326 на 5 (сотен). $326 \times 5 = 1630$. Результат записываем со сдвигом на два разряда влево (под сотнями).
4. Складываем неполные произведения: $652 + 163000 = 163652$.
Ответ: 163652

е) При умножении чисел, оканчивающихся нулями, можно сначала выполнить умножение чисел без учета этих нулей, а затем к результату приписать справа столько нулей, сколько их в обоих множителях вместе.
1. Убираем нули: умножаем 483 на 49. В множителях 4830 и 4900 всего три нуля на конце ($1+2=3$).
2. Находим неполные произведения для $483 \times 49$:
- Первое: $483 \times 9 = 4347$.
- Второе: $483 \times 4 = 1932$. Записываем со сдвигом влево.
3. Складываем неполные произведения: $4347 + 19320 = 23667$.
4. К результату 23667 приписываем справа три нуля, которые мы убрали вначале.
Ответ: 23667000

Вычислите произведение чисел (1.139–1.143):

1.139. а) $12 \cdot 10$;

б) $32 \cdot 100$;

в) $65 \cdot 1000$;

г) $20 \cdot 100$;

д) $300 \cdot 1000$;

е) $1500 \cdot 100$;

ж) $10 \cdot 190$;

з) $1000 \cdot 20$;

и) $100 \cdot 380$;

к) $129 \cdot 100$;

л) $1000 \cdot 130$;

м) $2900 \cdot 10$.

а) Чтобы найти произведение чисел 12 и 10, достаточно к числу 12 приписать справа один ноль, так как число 10 содержит один ноль.
$12 \cdot 10 = 120$
Ответ: 120

б) Чтобы найти произведение чисел 32 и 100, достаточно к числу 32 приписать справа два ноля, так как число 100 содержит два ноля.
$32 \cdot 100 = 3200$
Ответ: 3200

в) Чтобы найти произведение чисел 65 и 1000, достаточно к числу 65 приписать справа три ноля, так как число 1000 содержит три ноля.
$65 \cdot 1000 = 65000$
Ответ: 65000

г) Для вычисления произведения $20 \cdot 100$ можно умножить значащие части чисел ($2 \cdot 1 = 2$) и приписать к результату общее количество нолей в множителях (один ноль от числа 20 и два ноля от числа 100, всего три ноля).
$20 \cdot 100 = 2000$
Ответ: 2000

д) Для вычисления произведения $300 \cdot 1000$ умножаем значащие части чисел ($3 \cdot 1 = 3$) и приписываем к результату общее количество нолей (два ноля от 300 и три ноля от 1000, всего пять нолей).
$300 \cdot 1000 = 300000$
Ответ: 300000

е) Для вычисления произведения $1500 \cdot 100$ умножаем значащие части чисел ($15 \cdot 1 = 15$) и приписываем к результату общее количество нолей (два ноля от 1500 и два ноля от 100, всего четыре ноля).
$1500 \cdot 100 = 150000$
Ответ: 150000

ж) Чтобы найти произведение чисел 10 и 190, можно поменять их местами (переместительное свойство умножения) и к числу 190 приписать справа один ноль.
$10 \cdot 190 = 190 \cdot 10 = 1900$
Ответ: 1900

з) Для вычисления произведения $1000 \cdot 20$ умножаем значащие части чисел ($1 \cdot 2 = 2$) и приписываем к результату общее количество нолей (три ноля от 1000 и один ноль от 20, всего четыре ноля).
$1000 \cdot 20 = 20000$
Ответ: 20000

и) Для вычисления произведения $100 \cdot 380$ умножаем значащие части чисел ($1 \cdot 38 = 38$) и приписываем к результату общее количество нолей (два ноля от 100 и один ноль от 380, всего три ноля).
$100 \cdot 380 = 38000$
Ответ: 38000

к) Чтобы найти произведение чисел 129 и 100, достаточно к числу 129 приписать справа два ноля.
$129 \cdot 100 = 12900$
Ответ: 12900

л) Для вычисления произведения $1000 \cdot 130$ умножаем значащие части чисел ($1 \cdot 13 = 13$) и приписываем к результату общее количество нолей (три ноля от 1000 и один ноль от 130, всего четыре ноля).
$1000 \cdot 130 = 130000$
Ответ: 130000

м) Чтобы найти произведение чисел 2900 и 10, достаточно к числу 2900 приписать справа один ноль.
$2900 \cdot 10 = 29000$
Ответ: 29000

1.140. а) $24 \cdot 2;$

б) $31 \cdot 3;$

в) $52 \cdot 4;$

г) $71 \cdot 9;$

д) $23 \cdot 8;$

е) $9 \cdot 18;$

ж) $65 \cdot 4;$

з) $76 \cdot 5;$

и) $48 \cdot 9;$

к) $8 \cdot 34;$

л) $7 \cdot 85;$

м) $9 \cdot 78.$

а) Чтобы найти произведение $24 \cdot 2$, представим число $24$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $24 \cdot 2 = (20 + 4) \cdot 2 = 20 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 40 + 8 = 48$. Ответ: 48

б) Чтобы найти произведение $31 \cdot 3$, представим число $31$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $31 \cdot 3 = (30 + 1) \cdot 3 = 30 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 90 + 3 = 93$. Ответ: 93

в) Чтобы найти произведение $52 \cdot 4$, представим число $52$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $52 \cdot 4 = (50 + 2) \cdot 4 = 50 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 200 + 8 = 208$. Ответ: 208

г) Чтобы найти произведение $71 \cdot 9$, представим число $71$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $71 \cdot 9 = (70 + 1) \cdot 9 = 70 \cdot 9 + 1 \cdot 9 = 630 + 9 = 639$. Ответ: 639

д) Чтобы найти произведение $23 \cdot 8$, представим число $23$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $23 \cdot 8 = (20 + 3) \cdot 8 = 20 \cdot 8 + 3 \cdot 8 = 160 + 24 = 184$. Ответ: 184

е) Чтобы найти произведение $9 \cdot 18$, представим число $18$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $9 \cdot 18 = 9 \cdot (10 + 8) = 9 \cdot 10 + 9 \cdot 8 = 90 + 72 = 162$. Ответ: 162

ж) Чтобы найти произведение $65 \cdot 4$, представим число $65$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $65 \cdot 4 = (60 + 5) \cdot 4 = 60 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 240 + 20 = 260$. Ответ: 260

з) Чтобы найти произведение $76 \cdot 5$, представим число $76$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $76 \cdot 5 = (70 + 6) \cdot 5 = 70 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = 350 + 30 = 380$. Ответ: 380

и) Чтобы найти произведение $48 \cdot 9$, представим число $48$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $48 \cdot 9 = (40 + 8) \cdot 9 = 40 \cdot 9 + 8 \cdot 9 = 360 + 72 = 432$. Ответ: 432

к) Чтобы найти произведение $8 \cdot 34$, представим число $34$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $8 \cdot 34 = 8 \cdot (30 + 4) = 8 \cdot 30 + 8 \cdot 4 = 240 + 32 = 272$. Ответ: 272

л) Чтобы найти произведение $7 \cdot 85$, представим число $85$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $7 \cdot 85 = 7 \cdot (80 + 5) = 7 \cdot 80 + 7 \cdot 5 = 560 + 35 = 595$. Ответ: 595

м) Чтобы найти произведение $9 \cdot 78$, представим число $78$ в виде суммы разрядных слагаемых и применим распределительное свойство умножения: $9 \cdot 78 = 9 \cdot (70 + 8) = 9 \cdot 70 + 9 \cdot 8 = 630 + 72 = 702$. Ответ: 702

1.141. a) $132 \cdot 5;$

б) $645 \cdot 3;$

в) $5 \cdot 418;$

г) $7 \cdot 338;$

д) $106 \cdot 4;$

е) $401 \cdot 6;$

ж) $4381 \cdot 2;$

з) $7713 \cdot 8;$

и) $7 \cdot 6204;$

к) $9 \cdot 5007;$

л) $6 \cdot 5769;$

м) $7 \cdot 777.$

а) Выполним умножение столбиком для $132 \cdot 5$:

$\begin{array}{@{}r} 132 \\ \times \quad 5 \\ \hline 660 \end{array}$

1. Умножаем единицы: $2 \cdot 5 = 10$. Пишем 0, 1 запоминаем.
2. Умножаем десятки: $3 \cdot 5 = 15$. Прибавляем 1, который запомнили: $15 + 1 = 16$. Пишем 6, 1 запоминаем.
3. Умножаем сотни: $1 \cdot 5 = 5$. Прибавляем 1, который запомнили: $5 + 1 = 6$. Пишем 6.
Ответ: 660.

б) Выполним умножение столбиком для $645 \cdot 3$:

$\begin{array}{@{}r} 645 \\ \times \quad 3 \\ \hline 1935 \end{array}$

1. $5 \cdot 3 = 15$. Пишем 5, 1 запоминаем.
2. $4 \cdot 3 = 12$. Плюс 1: $12 + 1 = 13$. Пишем 3, 1 запоминаем.
3. $6 \cdot 3 = 18$. Плюс 1: $18 + 1 = 19$. Пишем 19.
Ответ: 1935.

в) Выполним умножение $5 \cdot 418$. Для удобства вычислений в столбик, поменяем множители местами: $418 \cdot 5$.

$\begin{array}{@{}r} 418 \\ \times \quad 5 \\ \hline 2090 \end{array}$

1. $8 \cdot 5 = 40$. Пишем 0, 4 запоминаем.
2. $1 \cdot 5 = 5$. Плюс 4: $5 + 4 = 9$. Пишем 9.
3. $4 \cdot 5 = 20$. Пишем 20.
Ответ: 2090.

г) Выполним умножение $7 \cdot 338$. Поменяем множители местами: $338 \cdot 7$.

$\begin{array}{@{}r} 338 \\ \times \quad 7 \\ \hline 2366 \end{array}$

1. $8 \cdot 7 = 56$. Пишем 6, 5 запоминаем.
2. $3 \cdot 7 = 21$. Плюс 5: $21 + 5 = 26$. Пишем 6, 2 запоминаем.
3. $3 \cdot 7 = 21$. Плюс 2: $21 + 2 = 23$. Пишем 23.
Ответ: 2366.

д) Выполним умножение столбиком для $106 \cdot 4$:

$\begin{array}{@{}r} 106 \\ \times \quad 4 \\ \hline 424 \end{array}$

1. $6 \cdot 4 = 24$. Пишем 4, 2 запоминаем.
2. $0 \cdot 4 = 0$. Плюс 2: $0 + 2 = 2$. Пишем 2.
3. $1 \cdot 4 = 4$. Пишем 4.
Ответ: 424.

е) Выполним умножение столбиком для $401 \cdot 6$:

$\begin{array}{@{}r} 401 \\ \times \quad 6 \\ \hline 2406 \end{array}$

1. $1 \cdot 6 = 6$. Пишем 6.
2. $0 \cdot 6 = 0$. Пишем 0.
3. $4 \cdot 6 = 24$. Пишем 24.
Ответ: 2406.

ж) Выполним умножение столбиком для $4381 \cdot 2$:

$\begin{array}{@{}r} 4381 \\ \times \quad 2 \\ \hline 8762 \end{array}$

1. $1 \cdot 2 = 2$. Пишем 2.
2. $8 \cdot 2 = 16$. Пишем 6, 1 запоминаем.
3. $3 \cdot 2 = 6$. Плюс 1: $6 + 1 = 7$. Пишем 7.
4. $4 \cdot 2 = 8$. Пишем 8.
Ответ: 8762.

з) Выполним умножение столбиком для $7713 \cdot 8$:

$\begin{array}{@{}r} 7713 \\ \times \quad 8 \\ \hline 61704 \end{array}$

1. $3 \cdot 8 = 24$. Пишем 4, 2 запоминаем.
2. $1 \cdot 8 = 8$. Плюс 2: $8 + 2 = 10$. Пишем 0, 1 запоминаем.
3. $7 \cdot 8 = 56$. Плюс 1: $56 + 1 = 57$. Пишем 7, 5 запоминаем.
4. $7 \cdot 8 = 56$. Плюс 5: $56 + 5 = 61$. Пишем 61.
Ответ: 61704.

и) Выполним умножение $7 \cdot 6204$. Поменяем множители местами: $6204 \cdot 7$.

$\begin{array}{@{}r} 6204 \\ \times \quad 7 \\ \hline 43428 \end{array}$

1. $4 \cdot 7 = 28$. Пишем 8, 2 запоминаем.
2. $0 \cdot 7 = 0$. Плюс 2: $0 + 2 = 2$. Пишем 2.
3. $2 \cdot 7 = 14$. Пишем 4, 1 запоминаем.
4. $6 \cdot 7 = 42$. Плюс 1: $42 + 1 = 43$. Пишем 43.
Ответ: 43428.

к) Выполним умножение $9 \cdot 5007$. Поменяем множители местами: $5007 \cdot 9$.

$\begin{array}{@{}r} 5007 \\ \times \quad 9 \\ \hline 45063 \end{array}$

1. $7 \cdot 9 = 63$. Пишем 3, 6 запоминаем.
2. $0 \cdot 9 = 0$. Плюс 6: $0 + 6 = 6$. Пишем 6.
3. $0 \cdot 9 = 0$. Пишем 0.
4. $5 \cdot 9 = 45$. Пишем 45.
Ответ: 45063.

л) Выполним умножение $6 \cdot 5769$. Поменяем множители местами: $5769 \cdot 6$.

$\begin{array}{@{}r} 5769 \\ \times \quad 6 \\ \hline 34614 \end{array}$

1. $9 \cdot 6 = 54$. Пишем 4, 5 запоминаем.
2. $6 \cdot 6 = 36$. Плюс 5: $36 + 5 = 41$. Пишем 1, 4 запоминаем.
3. $7 \cdot 6 = 42$. Плюс 4: $42 + 4 = 46$. Пишем 6, 4 запоминаем.
4. $5 \cdot 6 = 30$. Плюс 4: $30 + 4 = 34$. Пишем 34.
Ответ: 34614.

м) Выполним умножение $7 \cdot 777$. Поменяем множители местами: $777 \cdot 7$.

$\begin{array}{@{}r} 777 \\ \times \quad 7 \\ \hline 5439 \end{array}$

1. $7 \cdot 7 = 49$. Пишем 9, 4 запоминаем.
2. $7 \cdot 7 = 49$. Плюс 4: $49 + 4 = 53$. Пишем 3, 5 запоминаем.
3. $7 \cdot 7 = 49$. Плюс 5: $49 + 5 = 54$. Пишем 54.
Ответ: 5439.

1.142. a) $23 \cdot 11;$

б) $42 \cdot 12;$

в) $22 \cdot 33;$

г) $53 \cdot 31;$

д) $68 \cdot 61;$

е) $64 \cdot 24;$

ж) $79 \cdot 23;$

з) $72 \cdot 25;$

и) $42 \cdot 68;$

к) $37 \cdot 33;$

л) $74 \cdot 15;$

м) $37 \cdot 66;$

н) $48 \cdot 37;$

о) $54 \cdot 29;$

п) $63 \cdot 36.$

а)
Для вычисления произведения $23 \cdot 11$ представим число 11 как сумму $10 + 1$ и применим распределительное свойство умножения: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.
$23 \cdot 11 = 23 \cdot (10 + 1) = 23 \cdot 10 + 23 \cdot 1 = 230 + 23 = 253$.
Ответ: 253

б)
Для вычисления произведения $42 \cdot 12$ представим число 12 как сумму $10 + 2$.
$42 \cdot 12 = 42 \cdot (10 + 2) = 42 \cdot 10 + 42 \cdot 2 = 420 + 84 = 504$.
Ответ: 504

в)
Для вычисления произведения $22 \cdot 33$ представим число 33 как сумму $30 + 3$.
$22 \cdot 33 = 22 \cdot (30 + 3) = 22 \cdot 30 + 22 \cdot 3 = 660 + 66 = 726$.
Ответ: 726

г)
Для вычисления произведения $53 \cdot 31$ представим число 31 как сумму $30 + 1$.
$53 \cdot 31 = 53 \cdot (30 + 1) = 53 \cdot 30 + 53 \cdot 1 = 1590 + 53 = 1643$.
Ответ: 1643

д)
Для вычисления произведения $68 \cdot 61$ представим число 61 как сумму $60 + 1$.
$68 \cdot 61 = 68 \cdot (60 + 1) = 68 \cdot 60 + 68 \cdot 1 = 4080 + 68 = 4148$.
Ответ: 4148

е)
Для вычисления произведения $64 \cdot 24$ представим число 24 как сумму $20 + 4$.
$64 \cdot 24 = 64 \cdot (20 + 4) = 64 \cdot 20 + 64 \cdot 4 = 1280 + 256 = 1536$.
Ответ: 1536

ж)
Для вычисления произведения $79 \cdot 23$ представим число 23 как сумму $20 + 3$.
$79 \cdot 23 = 79 \cdot (20 + 3) = 79 \cdot 20 + 79 \cdot 3 = 1580 + 237 = 1817$.
Ответ: 1817

з)
Для удобства вычисления произведения $72 \cdot 25$ можно представить число 25 как дробь $\frac{100}{4}$.
$72 \cdot 25 = 72 \cdot \frac{100}{4} = \frac{7200}{4} = 1800$.
Ответ: 1800

и)
Для вычисления произведения $42 \cdot 68$ представим число 68 как сумму $60 + 8$.
$42 \cdot 68 = 42 \cdot (60 + 8) = 42 \cdot 60 + 42 \cdot 8 = 2520 + 336 = 2856$.
Ответ: 2856

к)
В этом случае удобно применить формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Представим множители $37$ и $33$ как $(35+2)$ и $(35-2)$.
$37 \cdot 33 = (35 + 2) \cdot (35 - 2) = 35^2 - 2^2 = 1225 - 4 = 1221$.
Ответ: 1221

л)
Для вычисления произведения $74 \cdot 15$ представим число 15 как сумму $10 + 5$.
$74 \cdot 15 = 74 \cdot (10 + 5) = 74 \cdot 10 + 74 \cdot 5 = 740 + 370 = 1110$.
Ответ: 1110

м)
Для вычисления произведения $37 \cdot 66$ заметим, что $66 = 3 \cdot 22$. Используем это свойство, так как $37 \cdot 3 = 111$, что упрощает дальнейшие вычисления.
$37 \cdot 66 = 37 \cdot (3 \cdot 22) = (37 \cdot 3) \cdot 22 = 111 \cdot 22 = 111 \cdot (20 + 2) = 2220 + 222 = 2442$.
Ответ: 2442

н)
Для вычисления произведения $48 \cdot 37$ можно представить 37 как разность $40 - 3$.
$48 \cdot 37 = 48 \cdot (40 - 3) = 48 \cdot 40 - 48 \cdot 3 = 1920 - 144 = 1776$.
Ответ: 1776

о)
Для вычисления произведения $54 \cdot 29$ проще всего представить число 29 как разность $30 - 1$.
$54 \cdot 29 = 54 \cdot (30 - 1) = 54 \cdot 30 - 54 \cdot 1 = 1620 - 54 = 1566$.
Ответ: 1566

п)
Для вычисления произведения $63 \cdot 36$ представим число 36 как сумму $30 + 6$.
$63 \cdot 36 = 63 \cdot (30 + 6) = 63 \cdot 30 + 63 \cdot 6 = 1890 + 378 = 2268$.
Ответ: 2268

1.143. а) $86 \cdot 49;$

б) $92 \cdot 16;$

в) $88 \cdot 97;$

г) $951 \cdot 18;$

д) $663 \cdot 26;$

е) $847 \cdot 64;$

ж) $101 \cdot 332;$

з) $302 \cdot 648;$

и) $321 \cdot 562;$

к) $955 \cdot 317;$

л) $861 \cdot 242;$

м) $999 \cdot 732;$

н) $679 \cdot 679;$

о) $125 \cdot 125;$

п) $420 \cdot 450.$

а) $86 \cdot 49$
Для вычисления произведения воспользуемся распределительным свойством умножения. Представим число 49 как разность $50 - 1$ для упрощения расчетов:
$86 \cdot 49 = 86 \cdot (50 - 1) = 86 \cdot 50 - 86 \cdot 1 = 4300 - 86 = 4214$.
Ответ: 4214

б) $92 \cdot 16$
Применим распределительное свойство, представив число 16 как сумму $10 + 6$:
$92 \cdot 16 = 92 \cdot (10 + 6) = 92 \cdot 10 + 92 \cdot 6 = 920 + 552 = 1472$.
Ответ: 1472

в) $88 \cdot 97$
Умножим, представив 97 в виде разности $100 - 3$:
$88 \cdot 97 = 88 \cdot (100 - 3) = 88 \cdot 100 - 88 \cdot 3 = 8800 - 264 = 8536$.
Ответ: 8536

г) $951 \cdot 18$
Раскроем скобки, представив 18 как $10 + 8$:
$951 \cdot 18 = 951 \cdot (10 + 8) = 951 \cdot 10 + 951 \cdot 8 = 9510 + 7608 = 17118$.
Ответ: 17118

д) $663 \cdot 26$
Выполним умножение, представив 26 как $20 + 6$:
$663 \cdot 26 = 663 \cdot (20 + 6) = 663 \cdot 20 + 663 \cdot 6 = 13260 + 3978 = 17238$.
Ответ: 17238

е) $847 \cdot 64$
Используем разложение числа 64 на слагаемые $60 + 4$:
$847 \cdot 64 = 847 \cdot (60 + 4) = 847 \cdot 60 + 847 \cdot 4 = 50820 + 3388 = 54208$.
Ответ: 54208

ж) $101 \cdot 332$
Умножение на 101 удобно выполнить, представив 101 как $100 + 1$:
$101 \cdot 332 = (100 + 1) \cdot 332 = 100 \cdot 332 + 1 \cdot 332 = 33200 + 332 = 33532$.
Ответ: 33532

з) $302 \cdot 648$
Представим 302 в виде суммы $300 + 2$:
$302 \cdot 648 = (300 + 2) \cdot 648 = 300 \cdot 648 + 2 \cdot 648 = 194400 + 1296 = 195696$.
Ответ: 195696

и) $321 \cdot 562$
Для умножения многозначных чисел представим один из множителей в виде суммы разрядных слагаемых:
$321 \cdot 562 = 321 \cdot (500 + 60 + 2) = 321 \cdot 500 + 321 \cdot 60 + 321 \cdot 2 = 160500 + 19260 + 642 = 180402$.
Ответ: 180402

к) $955 \cdot 317$
Разложим число 317 на разрядные слагаемые:
$955 \cdot 317 = 955 \cdot (300 + 10 + 7) = 955 \cdot 300 + 955 \cdot 10 + 955 \cdot 7 = 286500 + 9550 + 6685 = 302735$.
Ответ: 302735

л) $861 \cdot 242$
Представим 242 как сумму $200 + 40 + 2$:
$861 \cdot 242 = 861 \cdot (200 + 40 + 2) = 861 \cdot 200 + 861 \cdot 40 + 861 \cdot 2 = 172200 + 34440 + 1722 = 208362$.
Ответ: 208362

м) $999 \cdot 732$
Умножение на 999 удобно выполнить, представив 999 как $1000 - 1$:
$999 \cdot 732 = (1000 - 1) \cdot 732 = 1000 \cdot 732 - 1 \cdot 732 = 732000 - 732 = 731268$.
Ответ: 731268

н) $679 \cdot 679$
Это возведение числа 679 в квадрат. Выполним умножение, разложив один из множителей на слагаемые:
$679 \cdot 679 = 679 \cdot (600 + 70 + 9) = 679 \cdot 600 + 679 \cdot 70 + 679 \cdot 9 = 407400 + 47530 + 6111 = 461041$.
Ответ: 461041

о) $125 \cdot 125$
Это возведение числа 125 в квадрат. Разложим один из множителей на слагаемые $100 + 20 + 5$:
$125 \cdot 125 = 125 \cdot (100 + 20 + 5) = 125 \cdot 100 + 125 \cdot 20 + 125 \cdot 5 = 12500 + 2500 + 625 = 15625$.
Ответ: 15625

п) $420 \cdot 450$
При умножении круглых чисел можно сначала перемножить числа без нулей, а затем приписать к результату общее количество нулей.
$420 \cdot 450 = (42 \cdot 45) \cdot 100$.
Вычислим $42 \cdot 45$:
$42 \cdot 45 = 42 \cdot (40 + 5) = 42 \cdot 40 + 42 \cdot 5 = 1680 + 210 = 1890$.
Теперь умножим на 100:
$1890 \cdot 100 = 189000$.
Ответ: 189000

1.144. Вычислите наиболее простым способом:

а) $24 \cdot 98 + 24 \cdot 2;$

б) $305 \cdot 199 + 305 \cdot 1;$

в) $49 \cdot 18 + 18;$

г) $153 \cdot 598 + 306.$

а) Для вычисления выражения $24 \cdot 98 + 24 \cdot 2$ воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, вынеся общий множитель за скобки. Общим множителем здесь является число 24.
$24 \cdot 98 + 24 \cdot 2 = 24 \cdot (98 + 2) = 24 \cdot 100 = 2400$.
Ответ: $2400$.

б) В выражении $305 \cdot 199 + 305 \cdot 1$ общий множитель — это 305. Вынесем его за скобки:
$305 \cdot 199 + 305 \cdot 1 = 305 \cdot (199 + 1) = 305 \cdot 200 = 61000$.
Ответ: $61000$.

в) В выражении $49 \cdot 18 + 18$ можно представить второе слагаемое как $1 \cdot 18$. Тогда общим множителем будет 18.
$49 \cdot 18 + 18 = 49 \cdot 18 + 1 \cdot 18 = (49 + 1) \cdot 18 = 50 \cdot 18 = 900$.
Ответ: $900$.

г) В выражении $153 \cdot 598 + 306$ необходимо сначала найти общий множитель. Заметим, что $306 = 153 \cdot 2$. Подставим это в исходное выражение:
$153 \cdot 598 + 306 = 153 \cdot 598 + 153 \cdot 2$.
Теперь мы видим общий множитель 153, который можно вынести за скобки:
$153 \cdot (598 + 2) = 153 \cdot 600 = 91800$.
Ответ: $91800$.

1.145. Выполните действие:

а) $325 \cdot 40$;

б) $3508 \cdot 250$;

в) $7380 \cdot 420$;

г) $3800 \cdot 550$;

д) $48 \cdot 9$;

е) $789 \cdot 1020$.

а) $325 \cdot 40$

Чтобы найти произведение, мы можем умножить 325 на 4, а затем приписать один ноль к результату.

Выполним умножение 325 на 4:

 325 × 4------ 1300 

Теперь припишем справа ноль к полученному числу 1300. Получаем 13000.

Ответ: 13000

б) $3508 \cdot 250$

Для вычисления этого произведения умножим 3508 на 25, а затем к результату припишем один ноль. Выполним умножение в столбик. Сначала умножим 3508 на 5, получим 17540. Затем умножим 3508 на 2, получим 7016, и запишем результат со сдвигом влево на одну позицию. Сложим полученные значения.

 3508 × 25------- 17540 7016------- 87700 

Теперь к результату 87700 припишем справа один ноль. Получаем 877000.

Ответ: 877000

в) $7380 \cdot 420$

Чтобы перемножить эти числа, можно отбросить ноли на конце (один у 7380 и один у 420), перемножить 738 и 42, а затем к результату приписать два ноля. Умножим 738 на 42. Сначала умножим 738 на 2 (получим 1476), затем 738 на 4 (получим 2952) и запишем со сдвигом. Сложим результаты.

 738 × 42------ 1476 2952------ 30996 

Теперь к результату 30996 припишем справа два ноля. Получаем 3099600.

Ответ: 3099600

г) $3800 \cdot 550$

Отбросим ноли на конце множителей (два у 3800 и один у 550), перемножим 38 и 55. Умножаем 38 на 5 (получаем 190), затем снова на 5 и записываем со сдвигом. Складываем.

 38 × 55----- 190 190----- 2090 

К результату 2090 припишем справа три отброшенных ранее ноля. Получаем 2090000.

Ответ: 2090000

д) $48 \cdot 9$

Выполним умножение в столбик. Умножаем 8 на 9, получаем 72. 2 пишем, 7 запоминаем. Умножаем 4 на 9, получаем 36, и прибавляем 7, получаем 43. Записываем 43.

 48× 9---- 432 

Ответ: 432

е) $789 \cdot 1020$

Отбросим ноль на конце числа 1020, умножим 789 на 102. Умножаем 789 на 2 (получаем 1578). Умножаем 789 на 0 (получаем 0), записываем со сдвигом. Умножаем 789 на 1 (получаем 789), записываем со сдвигом на две позиции. Складываем результаты.

 789 × 102------ 1578 000 789------ 80478 

Теперь к результату 80478 припишем справа один ноль. Получаем 804780.

Ответ: 804780