Номер 1.137, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.137 Какие законы используют при умножении столбиком?

Умножение столбиком — это стандартный алгоритм для перемножения многозначных чисел, который основан на позиционной системе счисления и нескольких фундаментальных законах арифметики. Ключевую роль в этом методе играет распределительный закон умножения относительно сложения.

Этот закон, также известный как дистрибутивность, гласит, что произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых. Формула закона: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.

Рассмотрим, как этот закон применяется на примере умножения $145 \times 23$. Алгоритм умножения столбиком фактически разбивает эту задачу на более простые шаги. Мы представляем число $23$ как сумму его разрядных слагаемых $20 + 3$. Затем, согласно распределительному закону, всё произведение можно записать так:

$145 \times 23 = 145 \times (20 + 3) = (145 \times 3) + (145 \times 20)$

Именно эти два слагаемых, $(145 \times 3)$ и $(145 \times 20)$, и называются неполными произведениями, которые мы вычисляем и записываем в столбик одно под другим (со сдвигом), а затем складываем:

• Первое неполное произведение: $145 \times 3 = 435$.
• Второе неполное произведение: $145 \times 20 = 2900$.
• Итоговый результат: $435 + 2900 = 3335$.

Помимо распределительного закона, в этом процессе неявно используются и другие свойства операций:

Сочетательный закон умножения ($ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $). Он позволяет нам вычислить $145 \times 20$ как $(145 \times 2) \times 10$. Мы находим произведение $145 \times 2 = 290$, а затем умножаем его на $10$, что в записи столбиком соответствует сдвигу результата на один разряд влево.

Переместительный и сочетательный законы сложения. Эти законы применяются на финальном этапе при сложении неполных произведений ($435$ и $2900$). Именно они дают нам право складывать числа поразрядно (единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.).

Переместительный закон умножения ($ a \times b = b \times a $). Он не является частью самого алгоритма, но позволяет нам для удобства менять множители местами (например, при умножении $23 \times 145$ мы бы записали сверху число $145$).

Ответ: При умножении столбиком используется распределительный закон умножения относительно сложения, а также сочетательные и переместительные законы умножения и сложения.