Номер 1.134, страница 33 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.134. Восстановите примеры, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:

а) $\begin{array}{r} 636 \\+ 766 \\\hline a300\end{array}$

б) $\begin{array}{r} a4a \\+ 33a \\\hline 6084\end{array}$

в) $\begin{array}{r} \text{удар} \\+ \text{удар} \\\hline \text{драка}\end{array}$

г) $\begin{array}{r} \text{деталь} \\+ \text{деталь} \\\hline \text{изделие}\end{array}$

а)

В данном примере, по всей видимости, допущена опечатка в условии. Если выполнить сложение указанных чисел в столбик, получится другой результат:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 6 & 3 & 6 \\ + & 7 & 6 & 6 \\ \hline 1 & 4 & 0 & 2 \\ \end{array} $

Сумма равна $1402$. В условии же указана сумма `a300`. Результат сложения ($1402$) и указанная сумма (`a300`) различаются в разрядах сотен (4 против 3) и единиц (2 против 0). Таким образом, решить данный пример в точном соответствии с условием невозможно.

Если предположить, что в задании нужно было найти только цифру `a`, соответствующую тысячному разряду правильной суммы, то $a=1$.

Ответ: В условии задачи допущена ошибка. Правильный результат сложения: $636 + 766 = 1402$.

б)

В этом примере также, вероятно, допущена опечатка в итоговой сумме. Рассмотрим сложение в столбик:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & a & 4 & a \\ + & 3 & 3 & a \\ \hline 6 & 0 & 8 & 4 \\ \end{array} $

1. Сложение в разряде единиц: $a + a = 2a$. Сумма оканчивается на 4. Это возможно, если $a=2$ (так как $2 \times 2 = 4$) или $a=7$ (так как $2 \times 7 = 14$).

2. Сложение в разряде десятков: $4 + 3 = 7$. В итоговой сумме в этом разряде стоит 8. Это означает, что из разряда единиц был перенос 1. Перенос единицы возможен, только если $a+a \ge 10$. Этому условию удовлетворяет только $a=7$ ($7+7=14$). Тогда в разряде десятков получаем $4 + 3 + 1 = 8$, что соответствует условию.

3. Сложение в разряде сотен: $a + 3$. Так как мы определили, что $a=7$, получаем $7 + 3 = 10$. Это означает, что в разряде сотен итоговой суммы должен быть 0, а в разряд тысяч переносится 1.

4. Таким образом, результат сложения должен быть $1084$. Однако в условии указана сумма $6084$. Это противоречие говорит об ошибке в условии.

Если предположить, что в сумме опечатка и она должна быть равна $1084$, то $a=7$. Проверим:

$747 + 337 = 1084$

Ответ: В условии задачи допущена ошибка. Если предположить, что сумма равна $1084$, то $a=7$. Пример: $747+337=1084$.

в)

Запишем пример в виде ребуса, где одинаковые буквы — это одинаковые цифры, а разные буквы — разные:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & У & Д & А & Р \\ + & У & Д & А & Р \\ \hline Д & Р & А & К & А \\ \end{array} $

Это эквивалентно выражению $2 \times (УДАР) = ДРАКА$.

1. Поскольку при сложении двух четырехзначных чисел получилось пятизначное, старший разряд (буква Д) может быть только 1. Итак, $Д = 1$. Это также означает, что $У \ge 5$.

2. Рассмотрим разряд сотен: $Д + Д = 1 + 1 = 2$. Сумма в этом разряде равна А (с возможным переносом из разряда десятков). Значит, А может быть 2 или 3.

3. Рассмотрим разряд единиц: $Р + Р = 2Р$. Сумма оканчивается на А. Это значит, что А — четное число. Из предыдущего пункта следует, что $А=2$.

4. Если $А=2$, то в разряде сотен $Д+Д=1+1=2=А$. Это означает, что из разряда десятков не было переноса, то есть $А+А < 10$, что верно ($2+2=4$).

5. Вернемся к разряду единиц: $Р+Р = 2Р$ оканчивается на А=2. Это возможно, если $Р=1$ или $Р=6$. Так как $Д=1$, а разные буквы обозначают разные цифры, то $Р \neq 1$. Следовательно, $Р=6$. При этом $6+6=12$, значит, в разряд десятков переносится 1.

6. Рассмотрим разряд десятков: $А+А$ с переносом 1 из разряда единиц. $2+2+1=5$. Сумма в этом разряде равна К. Значит, $К=5$.

7. Рассмотрим разряд тысяч: $У+У = 2У$. Результат сложения - число ДР, то есть 16. Таким образом, $2У = 16$. Отсюда $У=8$.

8. Проверим уникальность всех найденных цифр: У=8, Д=1, А=2, Р=6, К=5. Все цифры разные. Восстановим пример:

$8126 + 8126 = 16252$

Это соответствует ребусу УДАР + УДАР = ДРАКА.

Ответ: $8126 + 8126 = 16252$.

г)

Запишем пример в виде ребуса:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & Д & Е & Т & А & Л & Ь \\ + & Д & Е & Т & А & Л & Ь \\ \hline И & З & Д & Е & Л & И & Е \\ \end{array} $

Это эквивалентно $2 \times (ДЕТАЛЬ) = ИЗДЕЛИЕ$.

1. При сложении двух шестизначных чисел получилось семизначное. Значит, старшая цифра результата $И=1$, а $Д \ge 5$.

2. Разряд единиц: $Ь+Ь=2Ь$. Сумма оканчивается на Е. Значит, Е — четная цифра.

3. Разряд десятков: $Л+Л$ плюс возможный перенос $c_1$ из разряда единиц. $2Л+c_1$ оканчивается на $И=1$. Так как $2Л$ — четное, то для получения нечетной суммы $c_1$ должен быть равен 1. Это значит, что $2Ь \ge 10$.

4. Итак, $c_1=1$. Тогда $2Л+1$ оканчивается на 1. Это возможно, если $2Л$ оканчивается на 0. Значит $Л=0$ или $Л=5$. Путем дальнейших рассуждений (проверка на противоречия) можно установить, что $Л \neq 0$. Следовательно, $Л=5$. Тогда $2 \times 5 + 1 = 11$, оканчивается на $И=1$, и в следующий разряд переносится $c_2=1$.

5. Разряд сотен: $А+А+c_2 = 2А+1$. Оканчивается на $Л=5$. Значит, $2А$ оканчивается на 4. $А=2$ или $А=7$. Можно доказать, что $А=7$ приводит к противоречию. Значит, $А=2$. Тогда $2 \times 2 + 1 = 5$, оканчивается на $Л=5$, переноса в следующий разряд нет ($c_3=0$).

6. Разряд тысяч: $Т+Т+c_3 = 2Т$. Оканчивается на Е.

7. Разряд десятков тысяч: $Е+Е$ плюс перенос $c_4$. $2Е+c_4$ оканчивается на Д.

8. Разряд сотен тысяч: $Д+Д$ плюс перенос $c_5$ дает $З$ с переносом $c_6=1=И$.

9. Подставляя и проверяя оставшиеся варианты, находим единственное решение. Мы уже знаем: $И=1, Л=5, А=2$. Так как $c_1=1$, то $Ь \in \{6,7,8,9\}$. Последовательная проверка приводит к решению: $Ь=9 \implies Е=8 \implies Т=4 \implies Д=6 \implies З=3$.

10. Найденные уникальные цифры: Д=6, Е=8, Т=4, А=2, Л=5, Ь=9, И=1, З=3.

Восстанавливаем пример: $684259 + 684259 = 1368518$.

Ответ: $684259 + 684259 = 1368518$.