Страница 33 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.130. Перепишите в тетрадь и выполните вычитание:

a) $\begin{array}{r}728 \\-325 \\\hline\end{array}$

б) $\begin{array}{r}1356 \\-246 \\\hline\end{array}$

в) $\begin{array}{r}92507 \\-2400 \\\hline\end{array}$

г) $\begin{array}{r}10101 \\-9898 \\\hline\end{array}$

а) Чтобы найти разность чисел $728$ и $325$, выполним вычитание столбиком.
Начинаем с разряда единиц: $8 - 5 = 3$.
Вычитаем десятки: $2 - 2 = 0$.
Вычитаем сотни: $7 - 3 = 4$.
В результате получаем $403$.

 _728 325 ---- 403 

б) Чтобы найти разность чисел $1356$ и $246$, выполним вычитание столбиком.
Начинаем с разряда единиц: $6 - 6 = 0$.
Вычитаем десятки: $5 - 4 = 1$.
Вычитаем сотни: $3 - 2 = 1$.
Сносим единицу из разряда тысяч.
В результате получаем $1110$.

 _1356 246 ---- 1110 

в) Чтобы найти разность чисел $92507$ и $2400$, выполним вычитание столбиком.
Начинаем с разряда единиц: $7 - 0 = 7$.
Вычитаем десятки: $0 - 0 = 0$.
Вычитаем сотни: $5 - 4 = 1$.
Вычитаем тысячи: $2 - 2 = 0$.
Сносим девятку из разряда десятков тысяч.
В результате получаем $90107$.

 _92507 2400 ----- 90107 

г) Чтобы найти разность чисел $10101$ и $9898$, выполним вычитание столбиком.
В разряде единиц: из $1$ вычесть $8$ нельзя, занимаем из старшего разряда. В разряде десятков $0$, поэтому занимаем у сотен. $1$ сотня = $10$ десятков. Берем $1$ десяток (остается $9$ десятков), $1$ десяток = $10$ единиц. $10 + 1 = 11$. $11 - 8 = 3$.
В разряде десятков: осталось $9$. $9 - 9 = 0$.
В разряде сотен: осталось $0$. Из $0$ вычесть $8$ нельзя, занимаем из старшего разряда. В разряде тысяч $0$, поэтому занимаем у десятков тысяч. $1$ десяток тысяч = $10$ тысяч. Берем $1$ тысячу (остается $9$ тысяч), $1$ тысяча = $10$ сотен. $10 + 0 = 10$. $10 - 8 = 2$.
В разряде тысяч: осталось $9$. $9 - 9 = 0$.
В разряде десятков тысяч: остался $0$.
В результате получаем $203$.

 _10101 9898 ----- 203 

1.131. a) Уменьшите 309 на 12.

б) Уменьшите произведение чисел 409 и 5 на 920.

в) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9.

г) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз.

д) Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000.

е) Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000.

а) Чтобы уменьшить число 309 на 12, необходимо выполнить вычитание.
$309 - 12 = 297$
Ответ: 297.

б) Сначала найдем произведение чисел 409 и 5.
$409 \times 5 = 2045$
Теперь уменьшим полученное произведение на 920.
$2045 - 920 = 1125$
Ответ: 1125.

в) Сначала найдем произведение чисел 999 и 9.
$999 \times 9 = 8991$
Теперь вычтем полученное произведение из числа 9999.
$9999 - 8991 = 1008$
Ответ: 1008.

г) Сначала найдем разность чисел 9999 и 999.
$9999 - 999 = 9000$
Теперь увеличим полученную разность в 9 раз, то есть умножим на 9.
$9000 \times 9 = 81000$
Ответ: 81000.

д) Сначала найдем сумму чисел 328 и 532.
$328 + 532 = 860$
Теперь вычтем полученную сумму из числа 1000.
$1000 - 860 = 140$
Ответ: 140.

е) Сначала найдем произведение чисел 12 345 и 9.
$12345 \times 9 = 111105$
Теперь вычтем полученное произведение из числа 1 000 000.
$1000000 - 111105 = 888895$
Ответ: 888895.

1.132. Вычислите неизвестное число $x$, удовлетворяющее равенству:

а) $x + 209 = 700$;

б) $296 + x = 925$;

в) $x - 283 = 79$;

г) $x - 8096 = 10\ 951$;

д) $756 - x = 236$;

е) $839 - x = 125$.

а) В уравнении $x + 209 = 700$ неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 700 - 209$
$x = 491$
Проверка: $491 + 209 = 700$.
Ответ: 491.

б) В уравнении $296 + x = 925$ неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 925 - 296$
$x = 629$
Проверка: $296 + 629 = 925$.
Ответ: 629.

в) В уравнении $x - 283 = 79$ неизвестное $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 79 + 283$
$x = 362$
Проверка: $362 - 283 = 79$.
Ответ: 362.

г) В уравнении $x - 8096 = 10951$ неизвестное $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 10951 + 8096$
$x = 19047$
Проверка: $19047 - 8096 = 10951$.
Ответ: 19047.

д) В уравнении $756 - x = 236$ неизвестное $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 756 - 236$
$x = 520$
Проверка: $756 - 520 = 236$.
Ответ: 520.

е) В уравнении $839 - x = 125$ неизвестное $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 839 - 125$
$x = 714$
Проверка: $839 - 714 = 125$.
Ответ: 714.

1.133. На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и вычитание, потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами. Перепишите примеры, заменяя буквы цифрами так, чтобы опять получились верные записи:

а) $ \begin{array}{r} 72\text{и} \\ + 1\text{р}3 \\ \hline \text{т}98 \end{array} $

б) $ \begin{array}{r} \text{д}52 \\ - 6\text{в}4 \\ \hline 28\text{а} \end{array} $

в) $ \begin{array}{r} 5\text{ин} \\ + \text{д}79 \\ \hline 0381 \end{array} $

г) $ \begin{array}{r} \text{ну}56 \\ - 5\text{л}8 \\ \hline 88\text{ъ} \end{array} $

а) В примере на сложение $72и + 1р3 = т98$ необходимо восстановить цифры. Решаем поразрядно справа налево. В разряде единиц $и + 3$ должно быть равно 8, откуда $и = 5$. В разряде десятков $2 + р = 9$, откуда $р = 7$. В разряде сотен $7 + 1 = т$, откуда $т = 8$. Таким образом, мы восстановили пример. Ответ: $725 + 173 = 898$.

б) В примере на вычитание $д52 - 6в4 = 28а$ восстановим цифры поразрядно справа налево. В разряде единиц из 2 вычитаем 4, для этого занимаем десяток: $12 - 4 = а$, откуда $а = 8$. В разряде десятков с учетом заёма имеем $4 - в = 8$. Снова занимаем из старшего разряда: $14 - в = 8$, откуда $в = 6$. В разряде сотен с учетом заёма имеем $(д-1) - 6 = 2$, откуда $д-1 = 8$ и $д = 9$. Таким образом, мы восстановили пример. Ответ: $952 - 664 = 288$.

в) В примере на сложение $5ин + д79 = о381$ сумма двух трехзначных чисел является четырехзначным. Это означает, что $о=1$, а сумма равна 1381. Решаем поразрядно справа налево. В разряде единиц $н + 9$ оканчивается на 1, значит $н + 9 = 11$ и $н = 2$. Единица переносится в разряд десятков. В разряде десятков имеем $1 + и + 7 = 8$, откуда $и+8=8$ и $и=0$. В разряде сотен $5 + д = 13$, откуда $д=8$. Таким образом, мы восстановили пример. Ответ: $502 + 879 = 1381$.

г) В примере на вычитание $ну56 - 5л8 = 88ь$ восстановим цифры поразрядно справа налево. В разряде единиц занимаем десяток: $16 - 8 = ь$, откуда $ь=8$. В разряде десятков с учетом заёма имеем $4-л=8$. Занимаем сотню: $14-л=8$, откуда $л=6$. В разряде сотен с учетом заёма имеем $(у-1)-5=8$. Занимаем тысячу: $(10+у-1)-5=8$, откуда $у+4=8$ и $у=4$. В разряде тысяч с учетом заёма имеем $н-1=0$ (так как результат трехзначный), откуда $н=1$. Таким образом, мы восстановили пример. Ответ: $1456 - 568 = 888$.

1.134. Восстановите примеры, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:

а) $\begin{array}{r} 636 \\+ 766 \\\hline a300\end{array}$

б) $\begin{array}{r} a4a \\+ 33a \\\hline 6084\end{array}$

в) $\begin{array}{r} \text{удар} \\+ \text{удар} \\\hline \text{драка}\end{array}$

г) $\begin{array}{r} \text{деталь} \\+ \text{деталь} \\\hline \text{изделие}\end{array}$

а)

В данном примере, по всей видимости, допущена опечатка в условии. Если выполнить сложение указанных чисел в столбик, получится другой результат:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 6 & 3 & 6 \\ + & 7 & 6 & 6 \\ \hline 1 & 4 & 0 & 2 \\ \end{array} $

Сумма равна $1402$. В условии же указана сумма `a300`. Результат сложения ($1402$) и указанная сумма (`a300`) различаются в разрядах сотен (4 против 3) и единиц (2 против 0). Таким образом, решить данный пример в точном соответствии с условием невозможно.

Если предположить, что в задании нужно было найти только цифру `a`, соответствующую тысячному разряду правильной суммы, то $a=1$.

Ответ: В условии задачи допущена ошибка. Правильный результат сложения: $636 + 766 = 1402$.

б)

В этом примере также, вероятно, допущена опечатка в итоговой сумме. Рассмотрим сложение в столбик:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & a & 4 & a \\ + & 3 & 3 & a \\ \hline 6 & 0 & 8 & 4 \\ \end{array} $

1. Сложение в разряде единиц: $a + a = 2a$. Сумма оканчивается на 4. Это возможно, если $a=2$ (так как $2 \times 2 = 4$) или $a=7$ (так как $2 \times 7 = 14$).

2. Сложение в разряде десятков: $4 + 3 = 7$. В итоговой сумме в этом разряде стоит 8. Это означает, что из разряда единиц был перенос 1. Перенос единицы возможен, только если $a+a \ge 10$. Этому условию удовлетворяет только $a=7$ ($7+7=14$). Тогда в разряде десятков получаем $4 + 3 + 1 = 8$, что соответствует условию.

3. Сложение в разряде сотен: $a + 3$. Так как мы определили, что $a=7$, получаем $7 + 3 = 10$. Это означает, что в разряде сотен итоговой суммы должен быть 0, а в разряд тысяч переносится 1.

4. Таким образом, результат сложения должен быть $1084$. Однако в условии указана сумма $6084$. Это противоречие говорит об ошибке в условии.

Если предположить, что в сумме опечатка и она должна быть равна $1084$, то $a=7$. Проверим:

$747 + 337 = 1084$

Ответ: В условии задачи допущена ошибка. Если предположить, что сумма равна $1084$, то $a=7$. Пример: $747+337=1084$.

в)

Запишем пример в виде ребуса, где одинаковые буквы — это одинаковые цифры, а разные буквы — разные:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & У & Д & А & Р \\ + & У & Д & А & Р \\ \hline Д & Р & А & К & А \\ \end{array} $

Это эквивалентно выражению $2 \times (УДАР) = ДРАКА$.

1. Поскольку при сложении двух четырехзначных чисел получилось пятизначное, старший разряд (буква Д) может быть только 1. Итак, $Д = 1$. Это также означает, что $У \ge 5$.

2. Рассмотрим разряд сотен: $Д + Д = 1 + 1 = 2$. Сумма в этом разряде равна А (с возможным переносом из разряда десятков). Значит, А может быть 2 или 3.

3. Рассмотрим разряд единиц: $Р + Р = 2Р$. Сумма оканчивается на А. Это значит, что А — четное число. Из предыдущего пункта следует, что $А=2$.

4. Если $А=2$, то в разряде сотен $Д+Д=1+1=2=А$. Это означает, что из разряда десятков не было переноса, то есть $А+А < 10$, что верно ($2+2=4$).

5. Вернемся к разряду единиц: $Р+Р = 2Р$ оканчивается на А=2. Это возможно, если $Р=1$ или $Р=6$. Так как $Д=1$, а разные буквы обозначают разные цифры, то $Р \neq 1$. Следовательно, $Р=6$. При этом $6+6=12$, значит, в разряд десятков переносится 1.

6. Рассмотрим разряд десятков: $А+А$ с переносом 1 из разряда единиц. $2+2+1=5$. Сумма в этом разряде равна К. Значит, $К=5$.

7. Рассмотрим разряд тысяч: $У+У = 2У$. Результат сложения - число ДР, то есть 16. Таким образом, $2У = 16$. Отсюда $У=8$.

8. Проверим уникальность всех найденных цифр: У=8, Д=1, А=2, Р=6, К=5. Все цифры разные. Восстановим пример:

$8126 + 8126 = 16252$

Это соответствует ребусу УДАР + УДАР = ДРАКА.

Ответ: $8126 + 8126 = 16252$.

г)

Запишем пример в виде ребуса:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & Д & Е & Т & А & Л & Ь \\ + & Д & Е & Т & А & Л & Ь \\ \hline И & З & Д & Е & Л & И & Е \\ \end{array} $

Это эквивалентно $2 \times (ДЕТАЛЬ) = ИЗДЕЛИЕ$.

1. При сложении двух шестизначных чисел получилось семизначное. Значит, старшая цифра результата $И=1$, а $Д \ge 5$.

2. Разряд единиц: $Ь+Ь=2Ь$. Сумма оканчивается на Е. Значит, Е — четная цифра.

3. Разряд десятков: $Л+Л$ плюс возможный перенос $c_1$ из разряда единиц. $2Л+c_1$ оканчивается на $И=1$. Так как $2Л$ — четное, то для получения нечетной суммы $c_1$ должен быть равен 1. Это значит, что $2Ь \ge 10$.

4. Итак, $c_1=1$. Тогда $2Л+1$ оканчивается на 1. Это возможно, если $2Л$ оканчивается на 0. Значит $Л=0$ или $Л=5$. Путем дальнейших рассуждений (проверка на противоречия) можно установить, что $Л \neq 0$. Следовательно, $Л=5$. Тогда $2 \times 5 + 1 = 11$, оканчивается на $И=1$, и в следующий разряд переносится $c_2=1$.

5. Разряд сотен: $А+А+c_2 = 2А+1$. Оканчивается на $Л=5$. Значит, $2А$ оканчивается на 4. $А=2$ или $А=7$. Можно доказать, что $А=7$ приводит к противоречию. Значит, $А=2$. Тогда $2 \times 2 + 1 = 5$, оканчивается на $Л=5$, переноса в следующий разряд нет ($c_3=0$).

6. Разряд тысяч: $Т+Т+c_3 = 2Т$. Оканчивается на Е.

7. Разряд десятков тысяч: $Е+Е$ плюс перенос $c_4$. $2Е+c_4$ оканчивается на Д.

8. Разряд сотен тысяч: $Д+Д$ плюс перенос $c_5$ дает $З$ с переносом $c_6=1=И$.

9. Подставляя и проверяя оставшиеся варианты, находим единственное решение. Мы уже знаем: $И=1, Л=5, А=2$. Так как $c_1=1$, то $Ь \in \{6,7,8,9\}$. Последовательная проверка приводит к решению: $Ь=9 \implies Е=8 \implies Т=4 \implies Д=6 \implies З=3$.

10. Найденные уникальные цифры: Д=6, Е=8, Т=4, А=2, Л=5, Ь=9, И=1, З=3.

Восстанавливаем пример: $684259 + 684259 = 1368518$.

Ответ: $684259 + 684259 = 1368518$.

Выполните действия (1.135–1.136):

1.135. а) $(5486 + 3578) + 1422$;

б) $4523 + (3788 + 1477)$;

в) $(357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643)$;

г) $(357 + 298 + 428) + (102 + 572 + 643)$;

д) $(259 + 728 + 293) + (541 + 607 + 272)$.

а) $(5486 + 3578) + 1422$

Для упрощения вычислений воспользуемся сочетательным свойством сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это позволит нам сгруппировать числа так, чтобы их сумма давала круглое число.

$(5486 + 3578) + 1422 = 5486 + (3578 + 1422)$

1. Выполним действие в скобках: $3578 + 1422 = 5000$.

2. Теперь прибавим результат к первому слагаемому: $5486 + 5000 = 10486$.

Ответ: 10486

б) $4523 + (3788 + 1477)$

Выполним действия последовательно, согласно порядку, определенному скобками.

1. Сначала вычислим сумму в скобках: $3788 + 1477 = 5265$.

2. Затем сложим полученный результат с первым числом: $4523 + 5265 = 9788$.

Ответ: 9788

в) $(357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643)$

Раскроем скобки и воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения, чтобы сгруппировать слагаемые, которые в сумме дают круглые числа.

$357 + 768 + 589 + 332 + 211 + 643 = (357 + 643) + (768 + 332) + (589 + 211)$

1. Вычислим сумму в первой группе: $357 + 643 = 1000$.

2. Вычислим сумму во второй группе: $768 + 332 = 1100$.

3. Вычислим сумму в третьей группе: $589 + 211 = 800$.

4. Сложим полученные результаты: $1000 + 1100 + 800 = 2900$.

Ответ: 2900

г) $(357 + 298 + 428) + (102 + 572 + 643)$

Аналогично предыдущему примеру, раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для удобства вычислений.

$357 + 298 + 428 + 102 + 572 + 643 = (357 + 643) + (298 + 102) + (428 + 572)$

1. Вычислим сумму в первой группе: $357 + 643 = 1000$.

2. Вычислим сумму во второй группе: $298 + 102 = 400$.

3. Вычислим сумму в третьей группе: $428 + 572 = 1000$.

4. Сложим полученные результаты: $1000 + 400 + 1000 = 2400$.

Ответ: 2400

д) $(259 + 728 + 293) + (541 + 607 + 272)$

Снова воспользуемся группировкой слагаемых после раскрытия скобок для упрощения расчетов.

$259 + 728 + 293 + 541 + 607 + 272 = (259 + 541) + (728 + 272) + (293 + 607)$

1. Вычислим сумму в первой группе: $259 + 541 = 800$.

2. Вычислим сумму во второй группе: $728 + 272 = 1000$.

3. Вычислим сумму в третьей группе: $293 + 607 = 900$.

4. Сложим полученные результаты: $800 + 1000 + 900 = 2700$.

Ответ: 2700

1.136. a) $375\,026 + 408\,724 - 49\,678;$

б) $700\,000 - (50\,345 + 168\,724);$

в) $900\,000 - (125\,480 + 89\,256);$

г) $1\,700\,000 - (836\,724 + 64\,048);$

д) $1\,000\,000 - (35\,724 - 5928).$

а) $375\,026 + 408\,724 - 49\,678$

В данном выражении нет скобок, поэтому выполняем действия по порядку, слева направо.

1) Сначала выполним сложение: $375\,026 + 408\,724 = 783\,750$.

2) Затем выполним вычитание: $783\,750 - 49\,678 = 734\,072$.

Ответ: 734 072

б) $700\,000 - (50\,345 + 168\,724)$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем вычитание.

1) Сложение в скобках: $50\,345 + 168\,724 = 219\,069$.

2) Вычитание: $700\,000 - 219\,069 = 480\,931$.

Ответ: 480 931

в) $900\,000 - (125\,480 + 89\,256)$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем вычитание.

1) Сложение в скобках: $125\,480 + 89\,256 = 214\,736$.

2) Вычитание: $900\,000 - 214\,736 = 685\,264$.

Ответ: 685 264

г) $1\,700\,000 - (836\,724 + 64\,048)$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем вычитание.

1) Сложение в скобках: $836\,724 + 64\,048 = 900\,772$.

2) Вычитание: $1\,700\,000 - 900\,772 = 799\,228$.

Ответ: 799 228

д) $1\,000\,000 - (35\,724 - 5\,928)$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем вычитание.

1) Вычитание в скобках: $35\,724 - 5\,928 = 29\,796$.

2) Вычитание: $1\,000\,000 - 29\,796 = 970\,204$.

Ответ: 970 204