Страница 28 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.105. Запишите равенство, выражающее распределительный закон, сформулируйте этот закон.

Равенство, выражающее распределительный закон

Распределительный закон умножения (также называемый дистрибутивностью) связывает операции умножения со сложением и вычитанием. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ он выражается следующими равенствами:

Относительно сложения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Относительно вычитания: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Закон также справедлив, если общий множитель стоит справа от скобок: $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$.

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Формулировка этого закона

Сформулировать распределительный закон можно следующим образом:

Относительно сложения: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения.

Относительно вычитания: чтобы умножить число на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Ответ: Чтобы умножить число на сумму (или разность), можно это число умножить на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и затем сложить (или вычесть) полученные результаты.

1.106. Для каких чисел выполняется распределительный закон?

Распределительный закон (или дистрибутивность) — это одно из фундаментальных свойств арифметических операций, которое связывает умножение со сложением и вычитанием. Он гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ верны следующие равенства:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (распределительный закон относительно сложения)

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ (распределительный закон относительно вычитания)

Словесно это можно сформулировать так: чтобы умножить число на сумму (или разность) двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и затем сложить (или вычесть) полученные произведения.

Этот закон является универсальным и выполняется для всех основных числовых множеств, которые изучаются в математике. Он справедлив для натуральных чисел (1, 2, 3...), целых чисел (..., -2, -1, 0, 1, 2,...), рациональных чисел (любые дроби, как обыкновенные, так и десятичные), действительных чисел (включая иррациональные, такие как $\pi$ или $\sqrt{2}$) и даже для комплексных чисел. Фактически, для действительных и комплексных чисел это свойство является одной из определяющих аксиом.

Ответ: Распределительный закон выполняется для всех чисел: натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных.

1.107. Примените распределительный закон, раскрыв скобки:

а) $5 \cdot (32 + 17) = 5 \cdot 32 + 5 \cdot 17;$

б) $19 \cdot (28 + 43) = 19 \cdot \dots + 19 \cdot \dots;$

в) $7 \cdot (3 + 8);$

г) $10 \cdot (15 + 6);$

д) $5 \cdot (10 + 12);$

е) $6 \cdot (12 + 4).$

Для решения данных задач применяется распределительный закон умножения относительно сложения, который формулируется так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Чтобы раскрыть скобки, нужно число перед скобками умножить на каждое слагаемое внутри скобок и полученные произведения сложить.

а) $5 \cdot (32 + 17)$

В данном пункте уже показано применение распределительного закона:

$5 \cdot (32 + 17) = 5 \cdot 32 + 5 \cdot 17$.

Выполним вычисление для нахождения значения выражения:

$5 \cdot 32 + 5 \cdot 17 = 160 + 85 = 245$.

Ответ: $5 \cdot 32 + 5 \cdot 17 = 245$.

б) $19 \cdot (28 + 43) = 19 \cdot \dots + 19 \cdot \dots$

Применяя распределительный закон, умножаем 19 на каждое слагаемое в скобках (28 и 43):

$19 \cdot (28 + 43) = 19 \cdot 28 + 19 \cdot 43$.

Теперь вычислим значение выражения:

$19 \cdot 28 + 19 \cdot 43 = 532 + 817 = 1349$.

Ответ: $19 \cdot 28 + 19 \cdot 43 = 1349$.

в) $7 \cdot (3 + 8)$

Раскрываем скобки по распределительному закону:

$7 \cdot (3 + 8) = 7 \cdot 3 + 7 \cdot 8$.

Вычисляем значение:

$7 \cdot 3 + 7 \cdot 8 = 21 + 56 = 77$.

Ответ: $7 \cdot 3 + 7 \cdot 8 = 77$.

г) $10 \cdot (15 + 6)$

Раскрываем скобки по распределительному закону:

$10 \cdot (15 + 6) = 10 \cdot 15 + 10 \cdot 6$.

Вычисляем значение:

$10 \cdot 15 + 10 \cdot 6 = 150 + 60 = 210$.

Ответ: $10 \cdot 15 + 10 \cdot 6 = 210$.

д) $5 \cdot (10 + 12)$

Раскрываем скобки по распределительному закону:

$5 \cdot (10 + 12) = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 12$.

Вычисляем значение:

$5 \cdot 10 + 5 \cdot 12 = 50 + 60 = 110$.

Ответ: $5 \cdot 10 + 5 \cdot 12 = 110$.

е) $6 \cdot (12 + 4)$

Раскрываем скобки по распределительному закону:

$6 \cdot (12 + 4) = 6 \cdot 12 + 6 \cdot 4$.

Вычисляем значение:

$6 \cdot 12 + 6 \cdot 4 = 72 + 24 = 96$.

Ответ: $6 \cdot 12 + 6 \cdot 4 = 96$.

1.108. Используя распределительный закон, запишите произведение в виде суммы:

а) $10 \cdot (12+3)$;б) $(12+31) \cdot 15$;в) $(17+43) \cdot 8$;

г) $(93+28) \cdot 16$;д) $5 \cdot (8+a)$;е) $7 \cdot (x+9)$;

ж) $12 \cdot (a+b)$;з) $(x+y) \cdot 15$;и) $a \cdot (x+y)$.

Здесь $a$, $b$, $x$ и $y$ — натуральные числа.

Для решения данной задачи необходимо использовать распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Этот закон формулируется следующим образом: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

В виде формул это выглядит так:

$c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Применим этот закон к каждому из данных выражений.

а) Для выражения $10 \cdot (12 + 3)$ применяем распределительный закон:

$10 \cdot (12 + 3) = 10 \cdot 12 + 10 \cdot 3$

Далее вычисляем каждое произведение в полученной сумме:

$10 \cdot 12 + 10 \cdot 3 = 120 + 30$

Ответ: $120 + 30$.

б) Для выражения $(12 + 31) \cdot 15$ применяем распределительный закон:

$(12 + 31) \cdot 15 = 12 \cdot 15 + 31 \cdot 15$

Вычисляем произведения:

$12 \cdot 15 + 31 \cdot 15 = 180 + 465$

Ответ: $180 + 465$.

в) Для выражения $(17 + 43) \cdot 8$ применяем распределительный закон:

$(17 + 43) \cdot 8 = 17 \cdot 8 + 43 \cdot 8$

Вычисляем произведения:

$17 \cdot 8 + 43 \cdot 8 = 136 + 344$

Ответ: $136 + 344$.

г) Для выражения $(93 + 28) \cdot 16$ применяем распределительный закон:

$(93 + 28) \cdot 16 = 93 \cdot 16 + 28 \cdot 16$

Вычисляем произведения:

$93 \cdot 16 + 28 \cdot 16 = 1488 + 448$

Ответ: $1488 + 448$.

д) Для выражения $5 \cdot (8 + a)$ применяем распределительный закон:

$5 \cdot (8 + a) = 5 \cdot 8 + 5 \cdot a$

Упрощаем, выполнив умножение чисел:

$5 \cdot 8 + 5 \cdot a = 40 + 5a$

Ответ: $40 + 5a$.

е) Для выражения $7 \cdot (x + 9)$ применяем распределительный закон:

$7 \cdot (x + 9) = 7 \cdot x + 7 \cdot 9$

Упрощаем выражение:

$7 \cdot x + 7 \cdot 9 = 7x + 63$

Ответ: $7x + 63$.

ж) Для выражения $12 \cdot (a + b)$ применяем распределительный закон:

$12 \cdot (a + b) = 12 \cdot a + 12 \cdot b$

Опуская знак умножения, получаем:

$12a + 12b$

Ответ: $12a + 12b$.

з) Для выражения $(x + y) \cdot 15$ применяем распределительный закон:

$(x + y) \cdot 15 = x \cdot 15 + y \cdot 15$

По правилам записи, числовой множитель ставится перед буквенным:

$15x + 15y$

Ответ: $15x + 15y$.

и) Для выражения $a \cdot (x + y)$ применяем распределительный закон:

$a \cdot (x + y) = a \cdot x + a \cdot y$

Опуская знак умножения, получаем:

$ax + ay$

Ответ: $ax + ay$.