Страница 24 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.82. Что значит умножить число 5 на число 6?

Умножение одного натурального числа на другое — это арифметическая операция, которая представляет собой сокращенную запись многократного сложения одинаковых слагаемых. Умножить число 5 на число 6 означает найти сумму шести слагаемых, каждое из которых равно 5.

Это можно записать в виде следующего математического выражения:
$5 \cdot 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5$

При вычислении этой суммы мы получаем результат:
$5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30$

Важно отметить, что благодаря переместительному свойству умножения (от перемены мест множителей произведение не меняется), это действие также можно понимать как нахождение суммы пяти слагаемых, каждое из которых равно 6:
$6 \cdot 5 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30$

Оба подхода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Умножить число 5 на число 6 — это значит найти сумму шести слагаемых, каждое из которых равно 5. Результатом этого действия является число 30.

1.83. Чему равно произведение:

а) единицы на любое натуральное число;

б) нуля на любое натуральное число?

а) единицы на любое натуральное число;

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счёта: 1, 2, 3, 4 и так далее. Обозначим произвольное натуральное число буквой $n$.
Нам нужно найти произведение единицы на это число, то есть $1 \cdot n$.
Существует свойство умножения, которое называется свойством единицы (или тождественным элементом умножения). Оно гласит, что при умножении любого числа на единицу в результате получается то же самое число. Математически это записывается так: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
Применительно к нашему случаю, где $a$ — это любое натуральное число $n$, мы получаем: $1 \cdot n = n$
Таким образом, произведение единицы на любое натуральное число равно этому же натуральному числу. Например: $1 \cdot 15 = 15$.
Ответ: этому же натуральному числу.

б) нуля на любое натуральное число?

Пусть $n$ — это снова любое натуральное число.
Нам нужно найти произведение нуля на это число, то есть $0 \cdot n$.
Существует свойство умножения на ноль. Оно гласит, что при умножении любого числа на ноль в результате всегда получается ноль. Математически это записывается так: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$
Применительно к нашему случаю, где $a$ — это любое натуральное число $n$, мы получаем: $0 \cdot n = 0$
Таким образом, произведение нуля на любое натуральное число всегда равно нулю. Например: $0 \cdot 258 = 0$.
Ответ: нулю.

1.84. Запишите равенство, выражающее переместительный закон умножения, сформулируйте этот закон.

Равенство, выражающее переместительный закон умножения

Переместительный (или коммутативный) закон умножения для любых чисел a и b записывается в виде следующего равенства, которое показывает, что изменение порядка множителей не влияет на итоговый результат — произведение:

$a \cdot b = b \cdot a$

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

Формулировка переместительного закона умножения

Словесная формулировка этого закона звучит следующим образом: от перестановки множителей произведение не меняется. Это одно из фундаментальных свойств умножения.

Ответ: От перестановки множителей произведение не меняется.

1.85. Запишите равенство, выражающее сочетательный закон умножения, сформулируйте этот закон.

Запишите равенство, выражающее сочетательный закон умножения

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения для любых чисел a, b и c выражается следующим равенством:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

сформулируйте этот закон

Сочетательный закон умножения формулируется так: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Другими словами, результат умножения трех и более множителей не зависит от порядка, в котором выполняется умножение (т.е. от расстановки скобок).

Ответ: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

1.86. Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Вес чего можно найти следующим способом:

а) $400 + 400 + 400;$

б) $3 \cdot 400;$

в) $250 + 250 + 250 + 250;$

г) $4 \cdot 250;$

д) $3 \cdot 400 + 4 \cdot 250?$

В задаче даны условия: купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Разберем, вес чего можно найти каждым из предложенных способов.

а) Выражение $400 + 400 + 400$ представляет собой сумму веса трех одинаковых предметов по 400 г каждый. Согласно условию, было куплено 3 коробки конфет по 400 г. Таким образом, это выражение позволяет найти общий вес всех конфет.

Вычислим: $400 + 400 + 400 = 1200$ г.

Ответ: Общий вес трех коробок конфет.

б) Выражение $3 \cdot 400$ является произведением количества коробок конфет (3) на вес одной коробки (400 г). Умножение в данном случае заменяет многократное сложение, как в пункте а). Следовательно, это выражение также находит общий вес всех конфет.

Вычислим: $3 \cdot 400 = 1200$ г.

Ответ: Общий вес трех коробок конфет.

в) Выражение $250 + 250 + 250 + 250$ представляет собой сумму веса четырех одинаковых предметов по 250 г каждый. По условию, было куплено 4 пачки печенья по 250 г. Таким образом, это выражение позволяет найти общий вес всего печенья.

Вычислим: $250 + 250 + 250 + 250 = 1000$ г.

Ответ: Общий вес четырех пачек печенья.

г) Выражение $4 \cdot 250$ является произведением количества пачек печенья (4) на вес одной пачки (250 г). Это более короткая запись сложения из пункта в). Следовательно, это выражение также находит общий вес всего печенья.

Вычислим: $4 \cdot 250 = 1000$ г.

Ответ: Общий вес четырех пачек печенья.

д) Выражение $3 \cdot 400 + 4 \cdot 250$ состоит из двух частей. Первая часть, $3 \cdot 400$, — это общий вес конфет. Вторая часть, $4 \cdot 250$, — это общий вес печенья. Сумма этих двух частей представляет собой общий вес всей покупки (конфет и печенья вместе).

Вычислим: $3 \cdot 400 + 4 \cdot 250 = 1200 + 1000 = 2200$ г.

Ответ: Общий вес всей покупки.

1.87. Замените сумму произведением:

a) $75 + 75 = 2 \cdot 75;$

б) $701 + 701;$

в) $82 + 82 + 82;$

г) $603 + 603 + 603;$

д) $45 + 45 + 45 + 45 + 45;$

е) $16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16;$

ж) $730 + 730 + 730 + 730;$

з) $172 + 172 + 172 + 172 + 172;$

и) $2018 + 2018 + 2018.$

Чтобы заменить сумму одинаковых слагаемых произведением, необходимо посчитать количество этих слагаемых и умножить его на само слагаемое. Этот принцип основан на определении умножения.

б) В сумме $701 + 701$ два одинаковых слагаемых. Следовательно, эту сумму можно представить как произведение числа $2$ на $701$.

$701 + 701 = 2 \cdot 701$

Ответ: $2 \cdot 701$.

в) В сумме $82 + 82 + 82$ три одинаковых слагаемых. Значит, сумму можно заменить произведением числа $3$ на $82$.

$82 + 82 + 82 = 3 \cdot 82$

Ответ: $3 \cdot 82$.

г) В сумме $603 + 603 + 603$ три одинаковых слагаемых. Поэтому данную сумму можно записать в виде произведения $3 \cdot 603$.

$603 + 603 + 603 = 3 \cdot 603$

Ответ: $3 \cdot 603$.

д) В сумме $45 + 45 + 45 + 45$ четыре одинаковых слагаемых. Заменяем сумму произведением количества слагаемых ($4$) на само слагаемое ($45$).

$45 + 45 + 45 + 45 = 4 \cdot 45$

Ответ: $4 \cdot 45$.

е) В сумме $16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16$ шесть одинаковых слагаемых. Следовательно, эту сумму можно представить как произведение $6 \cdot 16$.

$16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 6 \cdot 16$

Ответ: $6 \cdot 16$.

ж) В сумме $730 + 730 + 730 + 730$ четыре одинаковых слагаемых. Таким образом, сумма равна произведению $4 \cdot 730$.

$730 + 730 + 730 + 730 = 4 \cdot 730$

Ответ: $4 \cdot 730$.

з) В сумме $172 + 172 + 172 + 172 + 172 + 172$ шесть одинаковых слагаемых. Заменяя сложение умножением, получаем $6 \cdot 172$.

$172 + 172 + 172 + 172 + 172 + 172 = 6 \cdot 172$

Ответ: $6 \cdot 172$.

и) В сумме $2018 + 2018 + 2018$ три одинаковых слагаемых. Эту сумму можно записать в виде произведения $3 \cdot 2018$.

$2018 + 2018 + 2018 = 3 \cdot 2018$

Ответ: $3 \cdot 2018$.