Страница 26 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.96. В девятиэтажном доме два подъезда. На каждом этаже в подъезде 6 квартир. Определите, какое из следующих произведений $2 \cdot 6$; $9 \cdot 6$; $2 \cdot (9 \cdot 6)$; $(2 \cdot 9) \cdot 6$ определяет количество квартир:

а) в подъезде;

б) на одном этаже в двух подъездах;

в) в двух подъездах.

Для решения задачи проанализируем каждое условие и сопоставим его с предложенными математическими выражениями.
В доме:
- 9 этажей;
- 2 подъезда;
- 6 квартир на каждом этаже в каждом подъезде.

а) в подъезде;
Чтобы найти количество квартир в одном подъезде, необходимо умножить количество этажей на количество квартир на одном этаже.
Количество этажей в подъезде — 9.
Количество квартир на этаже — 6.
Следовательно, количество квартир в одном подъезде равно произведению $9 \cdot 6$.
Ответ: $9 \cdot 6$.

б) на одном этаже в двух подъездах;
Чтобы найти общее количество квартир на одном этаже во всем доме, нужно умножить количество квартир на этаже в одном подъезде на количество подъездов.
Количество подъездов — 2.
Количество квартир на этаже в одном подъезде — 6.
Следовательно, общее количество квартир на одном этаже равно произведению $2 \cdot 6$.
Ответ: $2 \cdot 6$.

в) в двух подъездах.
Чтобы найти общее количество квартир во всем доме (то есть в двух подъездах), можно рассуждать двумя способами:
1. Сначала найти количество квартир в одном подъезде ($9 \cdot 6$), а затем умножить на количество подъездов (2). Это соответствует выражению $2 \cdot (9 \cdot 6)$.
2. Сначала найти общее количество этажей в доме, если считать каждый этаж в каждом подъезде отдельно ($2 \cdot 9$), а затем умножить на количество квартир на одном этаже (6). Это соответствует выражению $(2 \cdot 9) \cdot 6$.
Оба выражения дают одинаковый результат, равный общему числу квартир в доме: $2 \cdot (9 \cdot 6) = (2 \cdot 9) \cdot 6 = 108$.
Ответ: $2 \cdot (9 \cdot 6)$ и $(2 \cdot 9) \cdot 6$.

1.97. Для упрощения вычислений полезно помнить, что

$2 \cdot 5 = 10; \quad 4 \cdot 25 = 100; \quad 8 \cdot 125 = 1000.$

Пользуясь этими равенствами, вычислите устно:

а) $3 \cdot 2 \cdot 5;$

б) $2 \cdot 7 \cdot 5;$

в) $4 \cdot 9 \cdot 25;$

г) $7 \cdot 25 \cdot 4;$

д) $125 \cdot 7 \cdot 8;$

е) $12 \cdot 8 \cdot 125;$

ж) $2 \cdot 17 \cdot 5;$

з) $16 \cdot 25 \cdot 4;$

и) $13 \cdot 125 \cdot 8.$

Для решения данных примеров воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, чтобы сгруппировать множители, произведение которых дает "круглое" число (10, 100, 1000).

а) $3 \cdot 2 \cdot 5$
Сгруппируем множители 2 и 5:
$3 \cdot (2 \cdot 5) = 3 \cdot 10 = 30$.
Ответ: 30

б) $2 \cdot 7 \cdot 5$
Сгруппируем множители 2 и 5:
$7 \cdot (2 \cdot 5) = 7 \cdot 10 = 70$.
Ответ: 70

в) $4 \cdot 9 \cdot 25$
Сгруппируем множители 4 и 25:
$9 \cdot (4 \cdot 25) = 9 \cdot 100 = 900$.
Ответ: 900

г) $7 \cdot 25 \cdot 4$
Сгруппируем множители 25 и 4:
$7 \cdot (25 \cdot 4) = 7 \cdot 100 = 700$.
Ответ: 700

д) $125 \cdot 7 \cdot 8$
Сгруппируем множители 125 и 8:
$7 \cdot (125 \cdot 8) = 7 \cdot 1000 = 7000$.
Ответ: 7000

е) $12 \cdot 8 \cdot 125$
Сгруппируем множители 8 и 125:
$12 \cdot (8 \cdot 125) = 12 \cdot 1000 = 12000$.
Ответ: 12000

ж) $2 \cdot 17 \cdot 5$
Сгруппируем множители 2 и 5:
$17 \cdot (2 \cdot 5) = 17 \cdot 10 = 170$.
Ответ: 170

з) $16 \cdot 25 \cdot 4$
Сгруппируем множители 25 и 4:
$16 \cdot (25 \cdot 4) = 16 \cdot 100 = 1600$.
Ответ: 1600

и) $13 \cdot 125 \cdot 8$
Сгруппируем множители 125 и 8:
$13 \cdot (125 \cdot 8) = 13 \cdot 1000 = 13000$.
Ответ: 13000

1.98. Вычислите:

a) $16 \cdot 25 = 4 \cdot (4 \cdot 25) = 4 \cdot 100 = 400$;

б) $82 \cdot 5$;

в) $36 \cdot 25$;

г) $25 \cdot 32$;

д) $28 \cdot 25$;

е) $16 \cdot 125$;

ж) $64 \cdot 125$;

з) $75 \cdot 12$;

и) $75 \cdot 44$.

б) Используем сочетательный закон умножения, чтобы сгруппировать множители для получения круглого числа. Представим 82 как $41 \cdot 2$:
$82 \cdot 5 = (41 \cdot 2) \cdot 5 = 41 \cdot (2 \cdot 5) = 41 \cdot 10 = 410$.
Ответ: 410

в) Представим 36 как $9 \cdot 4$, чтобы сгруппировать 4 и 25:
$36 \cdot 25 = (9 \cdot 4) \cdot 25 = 9 \cdot (4 \cdot 25) = 9 \cdot 100 = 900$.
Ответ: 900

г) Представим 32 как $4 \cdot 8$, чтобы сгруппировать 25 и 4:
$25 \cdot 32 = 25 \cdot (4 \cdot 8) = (25 \cdot 4) \cdot 8 = 100 \cdot 8 = 800$.
Ответ: 800

д) Представим 28 как $7 \cdot 4$, чтобы сгруппировать 4 и 25:
$28 \cdot 25 = (7 \cdot 4) \cdot 25 = 7 \cdot (4 \cdot 25) = 7 \cdot 100 = 700$.
Ответ: 700

е) Представим 16 как $2 \cdot 8$, чтобы сгруппировать 8 и 125 (поскольку $8 \cdot 125 = 1000$):
$16 \cdot 125 = (2 \cdot 8) \cdot 125 = 2 \cdot (8 \cdot 125) = 2 \cdot 1000 = 2000$.
Ответ: 2000

ж) Представим 64 как $8 \cdot 8$, чтобы сгруппировать 8 и 125:
$64 \cdot 125 = (8 \cdot 8) \cdot 125 = 8 \cdot (8 \cdot 125) = 8 \cdot 1000 = 8000$.
Ответ: 8000

з) Представим 75 как $3 \cdot 25$ и 12 как $3 \cdot 4$, чтобы сгруппировать 25 и 4:
$75 \cdot 12 = (3 \cdot 25) \cdot (3 \cdot 4) = (3 \cdot 3) \cdot (25 \cdot 4) = 9 \cdot 100 = 900$.
Ответ: 900

и) Представим 75 как $3 \cdot 25$ и 44 как $4 \cdot 11$, чтобы сгруппировать 25 и 4:
$75 \cdot 44 = (3 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 11) = (3 \cdot 11) \cdot (25 \cdot 4) = 33 \cdot 100 = 3300$.
Ответ: 3300

1.99. Вычислите:

а) $6 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 0$;

б) $(108 \cdot 2 + 5 \cdot 13) \cdot 0$.

а) $6 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 0$

В этом выражении представлено произведение нескольких чисел. Один из множителей в этом произведении равен нулю. Существует основное свойство умножения: если хотя бы один из множителей равен нулю, то всё произведение равно нулю. Поэтому нет необходимости вычислять произведение остальных чисел.

Формула этого свойства: $a \cdot b \cdot c \cdot ... \cdot 0 = 0$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$6 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) $(108 \cdot 2 + 5 \cdot 13) \cdot 0$

Данное выражение представляет собой произведение, где первый множитель — это значение выражения в скобках, а второй множитель — это ноль. Как и в предыдущем задании, мы можем использовать свойство умножения на ноль.

Результат любого выражения, умноженный на ноль, всегда равен нулю. Поэтому мы можем сразу дать ответ, не вычисляя значение в скобках.

$(108 \cdot 2 + 5 \cdot 13) \cdot 0 = 0$.

Для полной уверенности можно выполнить вычисления в скобках по порядку действий:

1. Сначала выполняем умножение: $108 \cdot 2 = 216$.

2. Затем второе умножение: $5 \cdot 13 = 65$.

3. Далее выполняем сложение результатов: $216 + 65 = 281$.

4. Теперь умножаем полученный результат на ноль: $281 \cdot 0 = 0$.

Результат подтверждает, что первоначальное рассуждение было верным.

Ответ: 0

1.100. a) Увеличьте число 48 на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза.

б) Увеличьте число 48 в 3 раза, полученный результат увеличьте на 3.

в) Одинаковые ли результаты получены в пунктах а) и б)?

а) Сначала увеличим число 48 на 3. Это означает, что нужно выполнить сложение: $48 + 3 = 51$. Затем, полученный результат (51) увеличим в 3 раза. Это означает, что нужно выполнить умножение: $51 \times 3 = 153$. Весь процесс можно записать одним выражением: $(48 + 3) \times 3 = 153$.
Ответ: 153

б) Сначала увеличим число 48 в 3 раза. Это означает, что нужно выполнить умножение: $48 \times 3 = 144$. Затем, полученный результат (144) увеличим на 3. Это означает, что нужно выполнить сложение: $144 + 3 = 147$. Весь процесс можно записать одним выражением: $(48 \times 3) + 3 = 147$.
Ответ: 147

в) Сравним результаты, полученные в предыдущих пунктах. В пункте а) результат равен 153, а в пункте б) – 147. Поскольку $153 \neq 147$, полученные результаты не одинаковые. Различие в ответах объясняется разным порядком выполнения математических операций: в первом случае сначала выполняется сложение, а затем умножение, а во втором – наоборот.
Ответ: нет, результаты разные.

1.101. a) В первый день туристы прошли пешком 18 км, а во второй день они проехали на автобусе в 5 раз больше. Какое расстояние туристы преодолели за два дня?

б) В первом мотке 42 м проволоки, а во втором в 3 раза больше. Сколько проволоки в двух мотках?

а)

1. Сначала найдем расстояние, которое туристы проехали на автобусе во второй день. Оно в 5 раз больше, чем расстояние, пройденное пешком в первый день:

$18 \text{ км} \cdot 5 = 90 \text{ км}$

2. Теперь найдем общее расстояние за два дня, сложив путь, пройденный в первый и второй день:

$18 \text{ км} + 90 \text{ км} = 108 \text{ км}$

Ответ: 108 км.

б)

1. Сначала вычислим, сколько метров проволоки во втором мотке. Ее в 3 раза больше, чем в первом:

$42 \text{ м} \cdot 3 = 126 \text{ м}$

2. Теперь найдем общую длину проволоки в двух мотках, сложив длину проволоки в первом и втором мотках:

$42 \text{ м} + 126 \text{ м} = 168 \text{ м}$

Ответ: 168 м.

1.102. В многоквартирном доме 96 квартир, из них 24 — однокомнатные. Двухкомнатных квартир в 2 раза больше, чем однокомнатных. Остальные квартиры трёхкомнатные. Сколько в доме трёхкомнатных квартир?

Для решения этой задачи нужно выполнить три действия.

1. Найти количество двухкомнатных квартир.

По условию, в доме 24 однокомнатные квартиры, а двухкомнатных — в 2 раза больше. Чтобы найти количество двухкомнатных квартир, нужно количество однокомнатных умножить на 2.

$24 * 2 = 48$ (двухкомнатных квартир).

2. Найти общее количество однокомнатных и двухкомнатных квартир.

Теперь сложим количество однокомнатных и двухкомнатных квартир, чтобы узнать, сколько их всего вместе.

$24 + 48 = 72$ (однокомнатные и двухкомнатные квартиры вместе).

3. Найти количество трёхкомнатных квартир.

Всего в доме 96 квартир. Остальные квартиры, кроме однокомнатных и двухкомнатных, являются трёхкомнатными. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа квартир вычесть сумму однокомнатных и двухкомнатных.

$96 - 72 = 24$ (трёхкомнатные квартиры).

Ответ: в доме 24 трёхкомнатных квартиры.

1.103. а) На овощную базу сначала привезли помидоры на $6$ машинах по $120$ ящиков в каждой, потом ещё на $8$ машинах по $140$ ящиков в каждой. Сколько всего ящиков помидоров привезли на базу?

б) Токарь за один час обтачивает $12$ деталей, а другой токарь — $11$ деталей. Над выполнением задания первый работал $2$ ч, потом второй — $3$ ч. Сколько деталей они обточили вместе?

а) Чтобы найти общее количество ящиков, нужно сначала вычислить, сколько ящиков привезли в первой партии, а затем во второй, и сложить эти два значения.
1. Вычислим количество ящиков, привезённых на первых 6 машинах:
$6 \text{ машин} \times 120 \text{ ящиков/машина} = 720 \text{ ящиков}$
2. Вычислим количество ящиков, привезённых на следующих 8 машинах:
$8 \text{ машин} \times 140 \text{ ящиков/машина} = 1120 \text{ ящиков}$
3. Сложим количество ящиков из обеих партий, чтобы найти общее количество:
$720 \text{ ящиков} + 1120 \text{ ящиков} = 1840 \text{ ящиков}$
Ответ: 1840 ящиков.

б) Чтобы найти общее количество обточенных деталей, нужно вычислить, сколько деталей сделал каждый токарь, а затем сложить эти значения.
1. Вычислим, сколько деталей обточил первый токарь за 2 часа:
$12 \text{ деталей/час} \times 2 \text{ ч} = 24 \text{ детали}$
2. Вычислим, сколько деталей обточил второй токарь за 3 часа:
$11 \text{ деталей/час} \times 3 \text{ ч} = 33 \text{ детали}$
3. Сложим количество деталей, изготовленных обоими токарями:
$24 \text{ детали} + 33 \text{ детали} = 57 \text{ деталей}$
Ответ: 57 деталей.