Страница 30 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.119. Первый рабочий изготавливает 25 деталей в час, а второй — 20 деталей в час. Укажите, какое из следующих выражений

$20 + 25$; $4 \cdot (20 + 25)$; $4 \cdot 25$; $4 \cdot 20 + 4 \cdot 25$; $4 \cdot 20$ определяет число деталей, изготовляемых:

a) первым рабочим за 4 ч;

б) вторым рабочим за 4 ч;

в) двумя рабочими за 1 ч;

г) двумя рабочими за 4 ч.

а) Чтобы найти количество деталей, изготовляемых первым рабочим за 4 часа, нужно его производительность (25 деталей в час) умножить на время работы (4 часа). Это соответствует выражению $4 \cdot 25$.
Ответ: $4 \cdot 25$

б) Чтобы найти количество деталей, изготовляемых вторым рабочим за 4 часа, нужно его производительность (20 деталей в час) умножить на время работы (4 часа). Это соответствует выражению $4 \cdot 20$.
Ответ: $4 \cdot 20$

в) Чтобы найти общее количество деталей, изготовляемых двумя рабочими за 1 час, нужно сложить их производительности. Производительность первого рабочего — 25 деталей в час, второго — 20 деталей в час. Их совместная производительность в час равна $20 + 25$.
Ответ: $20 + 25$

г) Чтобы найти общее количество деталей, изготовляемых двумя рабочими за 4 часа, нужно их совместную производительность ($20 + 25$) умножить на время работы (4 часа). Это можно записать двумя способами: либо как $4 \cdot (20 + 25)$, либо, раскрыв скобки по распределительному свойству умножения, как сумму деталей, изготовленных каждым рабочим за 4 часа: $4 \cdot 20 + 4 \cdot 25$. Оба выражения из списка подходят.
Ответ: $4 \cdot (20 + 25)$ и $4 \cdot 20 + 4 \cdot 25$

1.120. a) Каким может быть число $a$, чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений: $987 \cdot 654 - 987 \cdot a$? Приведите несколько примеров.

б) Какое самое большое натуральное число $a$ можно взять, чтобы разность в задании а) была натуральным числом?

в) Какое число $a$ нужно взять, чтобы разность в задании а) была нулём?

а) Чтобы устно вычислить разность $987 \cdot 654 - 987 \cdot a$, удобно применить распределительное свойство умножения и вынести общий множитель 987 за скобки:
$987 \cdot 654 - 987 \cdot a = 987 \cdot (654 - a)$
Теперь вычисление будет простым, если разность в скобках $(654 - a)$ будет числом, на которое легко умножать, например, 1, 2, 10, 100 и т.д.
Приведем несколько примеров для числа $a$:
- Если взять $a = 653$, то разность в скобках будет $654 - 653 = 1$. Тогда всё выражение равно $987 \cdot 1 = 987$.
- Если взять $a = 644$, то разность в скобках будет $654 - 644 = 10$. Тогда всё выражение равно $987 \cdot 10 = 9870$.
- Если взять $a = 554$, то разность в скобках будет $654 - 554 = 100$. Тогда всё выражение равно $987 \cdot 100 = 98700$.
Таким образом, для устного счета подходят числа $a$, при вычитании которых из 654 получается "круглое" или маленькое число.
Ответ: например, 653, 644, 554.

б) Разность равна $987 \cdot (654 - a)$.
Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Чтобы результат вычисления был натуральным числом, он должен быть больше нуля.
$987 \cdot (654 - a) > 0$
Поскольку первый множитель 987 — положительное число, то для выполнения неравенства второй множитель $(654 - a)$ также должен быть положительным:
$654 - a > 0$
Перенеся $a$ в правую часть, получим:
$654 > a$
Нам нужно найти самое большое натуральное число $a$, которое удовлетворяет этому условию. Самое большое целое число, которое меньше 654, это 653. Так как 653 является натуральным числом, оно и будет искомым.
Ответ: 653.

в) Чтобы разность была равна нулю, необходимо решить уравнение:
$987 \cdot 654 - 987 \cdot a = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$987 \cdot (654 - a) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку $987 \neq 0$, то нулю должен быть равен второй множитель:
$654 - a = 0$
Отсюда находим $a$:
$a = 654$
Ответ: 654.