Страница 25 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.88. Вычислите:

a) $4+4+4=3 \cdot 4=12;$

б) $7+7+7+7;$

в) $8+8+8+8+8;$

г) $11+11+11+11+11;$

д) $15+15+15+15;$

е) $46+46+46+46+46+46;$

ж) $750+750+750+750;$

з) $128+128+128+128+128;$

и) $2011+2011+2011.$

б) Сумма состоит из 4 одинаковых слагаемых, равных 7. Чтобы найти значение этого выражения, можно заменить сложение умножением количества слагаемых на само слагаемое.
$7 + 7 + 7 + 7 = 4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

в) Сумма состоит из 5 одинаковых слагаемых, равных 8. Заменим сложение умножением.
$8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5 \cdot 8 = 40$.
Ответ: 40

г) Сумма состоит из 5 одинаковых слагаемых, равных 11. Заменим сложение умножением.
$11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5 \cdot 11 = 55$.
Ответ: 55

д) Сумма состоит из 4 одинаковых слагаемых, равных 15. Заменим сложение умножением.
$15 + 15 + 15 + 15 = 4 \cdot 15 = 60$.
Ответ: 60

е) Сумма состоит из 6 одинаковых слагаемых, равных 46. Заменим сложение умножением.
$46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 = 6 \cdot 46 = 276$.
Ответ: 276

ж) Сумма состоит из 4 одинаковых слагаемых, равных 750. Заменим сложение умножением.
$750 + 750 + 750 + 750 = 4 \cdot 750 = 3000$.
Ответ: 3000

з) Сумма состоит из 5 одинаковых слагаемых, равных 128. Заменим сложение умножением.
$128 + 128 + 128 + 128 + 128 = 5 \cdot 128 = 640$.
Ответ: 640

и) Сумма состоит из 3 одинаковых слагаемых, равных 2011. Заменим сложение умножением.
$2011 + 2011 + 2011 = 3 \cdot 2011 = 6033$.
Ответ: 6033

1.89. Запишите в виде произведения:

а) $a + a + a = 3 \cdot a;$

б) $b + b + b;$

В) $c + c + c + c;$

Г) $d + d + d;$

Д) $a + a + a;$

е) $b + b;$

Ж) $c + c + c + c;$

З) $d + d + d + d;$

И) $a + a + a + a + a;$

К) $b + b.$

б) Чтобы записать сумму $b + b + b + b$ в виде произведения, нужно посчитать количество одинаковых слагаемых. В данном случае слагаемое $b$ повторяется 4 раза. По определению умножения, сумму одинаковых слагаемых можно заменить произведением числа слагаемых на само слагаемое.

$b + b + b + b = 4 \cdot b$

Ответ: $4 \cdot b$

в) В выражении $c + c + c + c + c$ слагаемое $c$ повторяется 5 раз. Следовательно, эту сумму можно представить в виде произведения числа 5 на $c$.

$c + c + c + c + c = 5 \cdot c$

Ответ: $5 \cdot c$

г) Сумма $d + d + d$ состоит из трех одинаковых слагаемых $d$. Замена сложения одинаковых слагаемых умножением дает произведение числа слагаемых (3) на само слагаемое ($d$).

$d + d + d = 3 \cdot d$

Ответ: $3 \cdot d$

д) В данном выражении $a + a + a + a$ слагаемое $a$ складывается само с собой 4 раза. Это эквивалентно умножению 4 на $a$.

$a + a + a + a = 4 \cdot a$

Ответ: $4 \cdot a$

е) Выражение $b + b + b$ представляет собой сумму трех одинаковых слагаемых $b$. Эту сумму можно заменить произведением количества слагаемых (3) на слагаемое ($b$).

$b + b + b = 3 \cdot b$

Ответ: $3 \cdot b$

ж) В сумме $c + c + c + c$ слагаемое $c$ повторяется 4 раза. Значит, сумму можно записать как произведение $4 \cdot c$.

$c + c + c + c = 4 \cdot c$

Ответ: $4 \cdot c$

з) Сумма $d + d + d + d + d$ содержит 5 одинаковых слагаемых $d$. Это можно записать как произведение числа 5 на $d$.

$d + d + d + d + d = 5 \cdot d$

Ответ: $5 \cdot d$

и) В выражении $a + a + a + a + a + a$ слагаемое $a$ повторяется 6 раз. Поэтому данную сумму можно представить в виде произведения $6 \cdot a$.

$a + a + a + a + a + a = 6 \cdot a$

Ответ: $6 \cdot a$

к) Сумма $b + b$ состоит из двух одинаковых слагаемых $b$. Ее можно записать как произведение числа 2 на $b$.

$b + b = 2 \cdot b$

Ответ: $2 \cdot b$

1.90. a) Число 12 сначала увеличили в 2 раза, полученный результат увеличили ещё в 3 раза. Какой получился результат?

б) Задумали число, увеличили его в 3 раза, полученный результат увеличили ещё в 4 раза. Во сколько раз увеличилось число в итоге?

а)

Чтобы решить эту задачу, нужно выполнить действия последовательно.

1. Сначала число 12 увеличили в 2 раза. "Увеличить в" означает умножить.

$12 \cdot 2 = 24$

2. Затем полученный результат, то есть 24, увеличили ещё в 3 раза.

$24 \cdot 3 = 72$

В результате получился 72.

Ответ: 72

б)

Чтобы найти, во сколько раз увеличилось число в итоге, нужно перемножить все множители, на которые его увеличивали.

Обозначим задуманное число переменной $x$.

1. Сначала число увеличили в 3 раза, получили $3 \cdot x = 3x$.

2. Затем полученный результат увеличили ещё в 4 раза: $4 \cdot (3x)$.

Используя сочетательное свойство умножения, получим: $4 \cdot (3x) = (4 \cdot 3) \cdot x = 12x$.

Итоговое число ($12x$) больше задуманного ($x$) в 12 раз. Общее увеличение равно произведению последовательных увеличений:

$3 \cdot 4 = 12$

Ответ: в 12 раз

1.91. Какие законы использованы при следующих вычислениях:

$20 \cdot 30 = (2 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 10) = (2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = 6 \cdot 100 = 600?$

Вычислите:

a) $20 \cdot 50;$

б) $80 \cdot 40;$

в) $200 \cdot 40;$

г) $50 \cdot 400;$

д) $200 \cdot 100;$

е) $90 \cdot 2000;$

ж) $2000 \cdot 130;$

з) $700 \cdot 8000;$

и) $120 \cdot 6000.$

При вычислении $20 \cdot 30 = (2 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 10) = (2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = 6 \cdot 100 = 600$ были использованы сочетательный и переместительный законы умножения.

Сочетательный закон умножения ($(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$) позволяет произвольно группировать сомножители. Переместительный закон умножения ($a \cdot b = b \cdot a$) позволяет менять сомножители местами. Применение этих законов позволяет перегруппировать множители для упрощения расчета: выражение $(2 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 10)$ можно рассматривать как произведение четырех чисел $2, 10, 3, 10$, которые затем группируются в более удобном порядке $(2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10)$.

а) $20 \cdot 50 = (2 \cdot 10) \cdot (5 \cdot 10) = (2 \cdot 5) \cdot (10 \cdot 10) = 10 \cdot 100 = 1000$.
Ответ: 1000

б) $80 \cdot 40 = (8 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 10) = (8 \cdot 4) \cdot (10 \cdot 10) = 32 \cdot 100 = 3200$.
Ответ: 3200

в) $200 \cdot 40 = (2 \cdot 100) \cdot (4 \cdot 10) = (2 \cdot 4) \cdot (100 \cdot 10) = 8 \cdot 1000 = 8000$.
Ответ: 8000

г) $50 \cdot 400 = (5 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 100) = (5 \cdot 4) \cdot (10 \cdot 100) = 20 \cdot 1000 = 20000$.
Ответ: 20000

д) $200 \cdot 100 = (2 \cdot 100) \cdot 100 = 2 \cdot (100 \cdot 100) = 2 \cdot 10000 = 20000$.
Ответ: 20000

е) $90 \cdot 2000 = (9 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 1000) = (9 \cdot 2) \cdot (10 \cdot 1000) = 18 \cdot 10000 = 180000$.
Ответ: 180000

ж) $2000 \cdot 130 = (2 \cdot 1000) \cdot (13 \cdot 10) = (2 \cdot 13) \cdot (1000 \cdot 10) = 26 \cdot 10000 = 260000$.
Ответ: 260000

з) $700 \cdot 8000 = (7 \cdot 100) \cdot (8 \cdot 1000) = (7 \cdot 8) \cdot (100 \cdot 1000) = 56 \cdot 100000 = 5600000$.
Ответ: 5600000

и) $120 \cdot 6000 = (12 \cdot 10) \cdot (6 \cdot 1000) = (12 \cdot 6) \cdot (10 \cdot 1000) = 72 \cdot 10000 = 720000$.
Ответ: 720000

1.92. Запишите число в виде произведения двух множителей:

а) $48 = 8 \cdot \ldots$;

б) $42 = 6 \cdot \ldots$;

в) $72 = 8 \cdot \ldots$;

г) $81 = 9 \cdot \ldots$;

д) $36 = 6 \cdot \ldots$;

е) $63 = 7 \cdot \ldots$;

ж) $49 = 7 \cdot \ldots$;

з) $56 = 8 \cdot \ldots$;

и) $54 = 6 \cdot \ldots$.

а) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (48) разделить на известный множитель (8).
$48 \div 8 = 6$
Таким образом, $48 = 8 \cdot 6$.
Ответ: 6

б) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (42) разделить на известный множитель (6).
$42 \div 6 = 7$
Таким образом, $42 = 6 \cdot 7$.
Ответ: 7

в) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (72) разделить на известный множитель (8).
$72 \div 8 = 9$
Таким образом, $72 = 8 \cdot 9$.
Ответ: 9

г) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (81) разделить на известный множитель (9).
$81 \div 9 = 9$
Таким образом, $81 = 9 \cdot 9$.
Ответ: 9

д) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (36) разделить на известный множитель (6).
$36 \div 6 = 6$
Таким образом, $36 = 6 \cdot 6$.
Ответ: 6

е) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (63) разделить на известный множитель (7).
$63 \div 7 = 9$
Таким образом, $63 = 7 \cdot 9$.
Ответ: 9

ж) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (49) разделить на известный множитель (7).
$49 \div 7 = 7$
Таким образом, $49 = 7 \cdot 7$.
Ответ: 7

з) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (56) разделить на известный множитель (8).
$56 \div 8 = 7$
Таким образом, $56 = 8 \cdot 7$.
Ответ: 7

и) Чтобы найти второй множитель, нужно произведение (54) разделить на известный множитель (6).
$54 \div 6 = 9$
Таким образом, $54 = 6 \cdot 9$.
Ответ: 9

1.93. Запишите число в виде произведения двух равных множителей:

а) $1$; б) $4$; в) $0$; г) $9$; д) $16$; е) $25$;
ж) $49$; з) $64$; и) $36$; к) $81$; л) $100$; м) $121$.

Чтобы записать число в виде произведения двух равных множителей, необходимо найти такое число, которое при умножении на само себя дает исходное число. Другими словами, нужно найти квадратный корень из заданного числа.

а) Для числа 1 нужно найти такое число, что при умножении на себя получится 1. Этим числом является 1, так как $1^2 = 1 \times 1 = 1$.
Ответ: $1 = 1 \times 1$.

б) Для числа 4 искомым множителем является 2, так как $2^2 = 2 \times 2 = 4$.
Ответ: $4 = 2 \times 2$.

в) Для числа 0 искомым множителем является 0, так как $0^2 = 0 \times 0 = 0$.
Ответ: $0 = 0 \times 0$.

г) Для числа 9 искомым множителем является 3, так как $3^2 = 3 \times 3 = 9$.
Ответ: $9 = 3 \times 3$.

д) Для числа 16 искомым множителем является 4, так как $4^2 = 4 \times 4 = 16$.
Ответ: $16 = 4 \times 4$.

е) Для числа 25 искомым множителем является 5, так как $5^2 = 5 \times 5 = 25$.
Ответ: $25 = 5 \times 5$.

ж) Для числа 49 искомым множителем является 7, так как $7^2 = 7 \times 7 = 49$.
Ответ: $49 = 7 \times 7$.

з) Для числа 64 искомым множителем является 8, так как $8^2 = 8 \times 8 = 64$.
Ответ: $64 = 8 \times 8$.

и) Для числа 36 искомым множителем является 6, так как $6^2 = 6 \times 6 = 36$.
Ответ: $36 = 6 \times 6$.

к) Для числа 81 искомым множителем является 9, так как $9^2 = 9 \times 9 = 81$.
Ответ: $81 = 9 \times 9$.

л) Для числа 100 искомым множителем является 10, так как $10^2 = 10 \times 10 = 100$.
Ответ: $100 = 10 \times 10$.

м) Для числа 121 искомым множителем является 11, так как $11^2 = 11 \times 11 = 121$.
Ответ: $121 = 11 \times 11$.

1.94. Запишите каждое из чисел 15; 25; 13; 24; 36; 14; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

15:

$15 = 1 \cdot 15$

$15 = 3 \cdot 5$

25:

$25 = 1 \cdot 25$

$25 = 5 \cdot 5$

13:

$13 = 1 \cdot 13$

24:

$24 = 1 \cdot 24$

$24 = 2 \cdot 12$

$24 = 3 \cdot 8$

$24 = 4 \cdot 6$

36:

$36 = 1 \cdot 36$

$36 = 2 \cdot 18$

$36 = 3 \cdot 12$

$36 = 4 \cdot 9$

$36 = 6 \cdot 6$

14:

$14 = 1 \cdot 14$

$14 = 2 \cdot 7$

17:

$17 = 1 \cdot 17$

Чтобы записать число в виде произведения двух множителей, нужно найти все его натуральные делители и сгруппировать их в пары так, чтобы произведение в каждой паре было равно исходному числу.

15

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Возможные произведения:

$1 \times 15 = 15$

$3 \times 5 = 15$

Ответ: $15 = 1 \times 15$ или $15 = 3 \times 5$.

25

Делители числа 25: 1, 5, 25. Возможные произведения:

$1 \times 25 = 25$

$5 \times 5 = 25$

Ответ: $25 = 1 \times 25$ или $25 = 5 \times 5$.

13

Число 13 является простым, у него только два делителя: 1 и 13. Возможное произведение:

$1 \times 13 = 13$

Ответ: $13 = 1 \times 13$.

24

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Возможные произведения:

$1 \times 24 = 24$

$2 \times 12 = 24$

$3 \times 8 = 24$

$4 \times 6 = 24$

Ответ: $24 = 1 \times 24$ или $24 = 2 \times 12$ или $24 = 3 \times 8$ или $24 = 4 \times 6$.

36

Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Возможные произведения:

$1 \times 36 = 36$

$2 \times 18 = 36$

$3 \times 12 = 36$

$4 \times 9 = 36$

$6 \times 6 = 36$

Ответ: $36 = 1 \times 36$ или $36 = 2 \times 18$ или $36 = 3 \times 12$ или $36 = 4 \times 9$ или $36 = 6 \times 6$.

14

Делители числа 14: 1, 2, 7, 14. Возможные произведения:

$1 \times 14 = 14$

$2 \times 7 = 14$

Ответ: $14 = 1 \times 14$ или $14 = 2 \times 7$.

17

Число 17 является простым, у него только два делителя: 1 и 17. Возможное произведение:

$1 \times 17 = 17$

Ответ: $17 = 1 \times 17$.

1.95. В школьную библиотеку привезли 20 пачек по 60 книг в каждой. Надо ли развязывать пачки, чтобы сосчитать количество всех книг? Сколько книг привезли?

Надо ли развязывать пачки, чтобы сосчитать количество всех книг? Нет, развязывать пачки для подсчета общего количества книг не нужно. Так как известно, что в каждой из 20 пачек находится одинаковое количество книг (60 штук), то общее число книг можно найти, умножив количество пачек на количество книг в одной пачке.
Ответ: нет.

Сколько книг привезли? Чтобы найти общее количество привезенных книг, необходимо умножить количество пачек на количество книг в каждой из них.
$20 \times 60 = 1200$ (книг).
Ответ: 1200 книг.