Страница 18 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.60. а) $20 + \dots = 30$;

б) $\dots + 47 = 50$;

в) $40 - \dots = 23$;

г) $\dots - 32 = 10$;

д) $99 - \dots = 1$;

е) $\dots - 1 = 99$.

а) В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Пусть неизвестное число — это $x$. Получим уравнение: $20 + x = 30$. Решим его: $x = 30 - 20$, следовательно, $x = 10$. Ответ: 10

б) В этом уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Пусть неизвестное число — это $x$. Получим уравнение: $x + 47 = 50$. Решим его: $x = 50 - 47$, следовательно, $x = 3$. Ответ: 3

в) В этом уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Пусть неизвестное число — это $x$. Получим уравнение: $40 - x = 23$. Решим его: $x = 40 - 23$, следовательно, $x = 17$. Ответ: 17

г) Здесь неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Пусть неизвестное число — это $x$. Получим уравнение: $x - 32 = 10$. Решим его: $x = 10 + 32$, следовательно, $x = 42$. Ответ: 42

д) В данном уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Пусть неизвестное число — это $x$. Получим уравнение: $99 - x = 1$. Решим его: $x = 99 - 1$, следовательно, $x = 98$. Ответ: 98

е) В этом уравнении неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Пусть неизвестное число — это $x$. Получим уравнение: $x - 1 = 99$. Решим его: $x = 99 + 1$, следовательно, $x = 100$. Ответ: 100

1.61. Найдите неизвестное число, обозначенное буквой $x$:

а) $43 + x = 64$;

б) $x + 45 = 59$;

в) $34 - x = 26$;

г) $x - 53 = 35$.

а) Чтобы найти неизвестное число $x$ в уравнении $43 + x = 64$, нужно найти неизвестное слагаемое. Для этого из суммы (64) вычтем известное слагаемое (43).
$x = 64 - 43$
$x = 21$
Проверка: $43 + 21 = 64$.
Ответ: 21.

б) В уравнении $x + 45 = 59$ неизвестное число $x$ также является слагаемым. Чтобы его найти, из суммы (59) вычтем известное слагаемое (45).
$x = 59 - 45$
$x = 14$
Проверка: $14 + 45 = 59$.
Ответ: 14.

в) В уравнении $34 - x = 26$ неизвестное число $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (34) вычесть разность (26).
$x = 34 - 26$
$x = 8$
Проверка: $34 - 8 = 26$.
Ответ: 8.

г) В уравнении $x - 53 = 35$ неизвестное число $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (35) прибавить вычитаемое (53).
$x = 35 + 53$
$x = 88$
Проверка: $88 - 53 = 35$.
Ответ: 88.

1.62. Найдите разность чисел $46$ и $22$. Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по $1$; по $2$; по $3$ и в каждом случае найдите разность. Сравните полученные результаты.

Найдем разность чисел 46 и 22.
Уменьшаемое — 46, вычитаемое — 22.
Выполним вычитание:
$46 - 22 = 24$
Ответ: 24.

Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 1.
Новое уменьшаемое: $46 + 1 = 47$.
Новое вычитаемое: $22 + 1 = 23$.
Найдем новую разность:
$47 - 23 = 24$
Ответ: 24.

Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 2.
Новое уменьшаемое: $46 + 2 = 48$.
Новое вычитаемое: $22 + 2 = 24$.
Найдем новую разность:
$48 - 24 = 24$
Ответ: 24.

Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 3.
Новое уменьшаемое: $46 + 3 = 49$.
Новое вычитаемое: $22 + 3 = 25$.
Найдем новую разность:
$49 - 25 = 24$
Ответ: 24.

Сравним полученные результаты.
Во всех случаях мы получили один и тот же результат: 24.
$24 = 24 = 24 = 24$
Это иллюстрирует свойство разности: если к уменьшаемому и вычитаемому прибавить одно и то же число, то разность не изменится.
Ответ: Все полученные результаты равны.

1.63. Докажите, что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяется. То есть если $a-b=c$, то $(a+n)-(b+n)=c$.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать, что выражение $(a + n) - (b + n)$ равно $c$, при условии, что $a - b = c$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства и преобразуем её, используя свойства арифметических операций.

1. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак "минус", поэтому при раскрытии знаки слагаемых внутри неё меняются на противоположные:
$(a + n) - (b + n) = a + n - b - n$

2. Сгруппируем слагаемые, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:
$a + n - b - n = (a - b) + (n - n)$

3. Вычислим значение выражения во второй скобке:
$n - n = 0$

4. В результате выражение упрощается до:
$(a - b) + 0 = a - b$

Таким образом, мы доказали, что $(a + n) - (b + n) = a - b$.

По условию задачи нам дано, что $a - b = c$. Следовательно, мы можем заменить разность $a - b$ на $c$ в полученном нами равенстве:
$(a + n) - (b + n) = c$.

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Мы преобразовали выражение $(a + n) - (b + n)$, раскрыв скобки и сократив одинаковые члены $n$: $(a + n) - (b + n) = a + n - b - n = (a - b) + (n - n) = a - b$. Поскольку по условию $a - b = c$, то и $(a + n) - (b + n) = c$.

1.64. Используя утверждение, сформулированное в предыдущей задаче, вычислите:

а) $68 - 19$;

б) $35 - 18$;

в) $65 - 17$;

г) $47 - 29$;

д) $302 - 99$;

е) $134 - 98$;

ж) $200 - 97$;

з) $132 - 96$;

и) $649 - 199$;

к) $606 - 399$;

л) $370 - 298$;

м) $793 - 495$.

Утверждение, которое, вероятно, имелось в виду, основано на свойстве вычитания: чтобы вычесть число, можно вычесть большее "круглое" число, а затем прибавить разницу. Это можно записать в виде формулы: $a - b = a - (c - d) = a - c + d$, где $c$ — это "круглое" число, близкое к $b$.

а)

Для вычисления $68 - 19$ представим вычитаемое $19$ как разность $20 - 1$. Тогда выражение примет вид:

$68 - 19 = 68 - (20 - 1) = 68 - 20 + 1 = 48 + 1 = 49$.

Ответ: 49.

б)

Для вычисления $35 - 18$ представим вычитаемое $18$ как разность $20 - 2$. Тогда выражение примет вид:

$35 - 18 = 35 - (20 - 2) = 35 - 20 + 2 = 15 + 2 = 17$.

Ответ: 17.

в)

Для вычисления $65 - 17$ представим вычитаемое $17$ как разность $20 - 3$. Тогда выражение примет вид:

$65 - 17 = 65 - (20 - 3) = 65 - 20 + 3 = 45 + 3 = 48$.

Ответ: 48.

г)

Для вычисления $47 - 29$ представим вычитаемое $29$ как разность $30 - 1$. Тогда выражение примет вид:

$47 - 29 = 47 - (30 - 1) = 47 - 30 + 1 = 17 + 1 = 18$.

Ответ: 18.

д)

Для вычисления $302 - 99$ представим вычитаемое $99$ как разность $100 - 1$. Тогда выражение примет вид:

$302 - 99 = 302 - (100 - 1) = 302 - 100 + 1 = 202 + 1 = 203$.

Ответ: 203.

е)

Для вычисления $134 - 98$ представим вычитаемое $98$ как разность $100 - 2$. Тогда выражение примет вид:

$134 - 98 = 134 - (100 - 2) = 134 - 100 + 2 = 34 + 2 = 36$.

Ответ: 36.

ж)

Для вычисления $200 - 97$ представим вычитаемое $97$ как разность $100 - 3$. Тогда выражение примет вид:

$200 - 97 = 200 - (100 - 3) = 200 - 100 + 3 = 100 + 3 = 103$.

Ответ: 103.

з)

Для вычисления $132 - 96$ представим вычитаемое $96$ как разность $100 - 4$. Тогда выражение примет вид:

$132 - 96 = 132 - (100 - 4) = 132 - 100 + 4 = 32 + 4 = 36$.

Ответ: 36.

и)

Для вычисления $649 - 199$ представим вычитаемое $199$ как разность $200 - 1$. Тогда выражение примет вид:

$649 - 199 = 649 - (200 - 1) = 649 - 200 + 1 = 449 + 1 = 450$.

Ответ: 450.

к)

Для вычисления $606 - 399$ представим вычитаемое $399$ как разность $400 - 1$. Тогда выражение примет вид:

$606 - 399 = 606 - (400 - 1) = 606 - 400 + 1 = 206 + 1 = 207$.

Ответ: 207.

л)

Для вычисления $370 - 298$ представим вычитаемое $298$ как разность $300 - 2$. Тогда выражение примет вид:

$370 - 298 = 370 - (300 - 2) = 370 - 300 + 2 = 70 + 2 = 72$.

Ответ: 72.

м)

Для вычисления $793 - 495$ представим вычитаемое $495$ как разность $500 - 5$. Тогда выражение примет вид:

$793 - 495 = 793 - (500 - 5) = 793 - 500 + 5 = 293 + 5 = 298$.

Ответ: 298.

1.65. Выполните действия «цепочкой» по образцу:

$75 - 5 + 17 - 20 = 70 + 17 - 20 = 87 - 20 = 67.$

а) $18 + 9 - 23 + 32;$

б) $33 - 6 + 25 - 17;$

в) $37 - 33 + 19 - 3;$

г) $53 + 12 - 15 + 17;$

д) $14 - 6 + 29 - 11;$

е) $45 + 25 - 18 + 101;$

ж) $38 + 3 - 5 - 28;$

з) $64 - 16 + 19 - 2.$

а) $18 + 9 - 23 + 32 = 27 - 23 + 32 = 4 + 32 = 36$. Ответ: 36.

б) $33 - 6 + 25 - 17 = 27 + 25 - 17 = 52 - 17 = 35$. Ответ: 35.

в) $37 - 33 + 19 - 3 = 4 + 19 - 3 = 23 - 3 = 20$. Ответ: 20.

г) $53 + 12 - 15 + 17 = 65 - 15 + 17 = 50 + 17 = 67$. Ответ: 67.

д) $14 - 6 + 29 - 11 = 8 + 29 - 11 = 37 - 11 = 26$. Ответ: 26.

е) $45 + 25 - 18 + 101 = 70 - 18 + 101 = 52 + 101 = 153$. Ответ: 153.

ж) $38 + 3 - 5 - 28 = 41 - 5 - 28 = 36 - 28 = 8$. Ответ: 8.

з) $64 - 16 + 19 - 2 = 48 + 19 - 2 = 67 - 2 = 65$. Ответ: 65.

1.66. а) Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66 (рис. 1, а). Каким действием можно найти задуманное число? Найдите его.

[ ] $ \xrightarrow{+45} $ [66]

[66] $ \xleftarrow{} $ [ ]

[ ] $ \xrightarrow{-45} $ [66]

[66] $ \xleftarrow{} $ [ ]

[ ] $ \xrightarrow{+120} $ [ ] $ \xrightarrow{-49} $ [200]

[200] $ \xleftarrow{} $ [ ] $ \xleftarrow{} $ [ ]

Рис. 1

б) Задумали число, уменьшили его на 45 и получили 66 (рис. 1, б). Найдите задуманное число.

в) Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. Получили 200 (рис. 1, в). Найдите задуманное число.

а) По условию, задуманное число увеличили на 45 и получили 66. Чтобы найти задуманное число, нужно выполнить обратное действие — вычитание. Для этого из полученного результата (66) вычтем 45.
Обозначим задуманное число переменной $x$. Составим уравнение:
$x + 45 = 66$
$x = 66 - 45$
$x = 21$
Проверка: $21 + 45 = 66$.
Ответ: Задуманное число можно найти действием вычитания. Задуманное число равно 21.

б) По условию, задуманное число уменьшили на 45 и получили 66. Чтобы найти задуманное число, нужно выполнить обратное действие — сложение. Для этого к полученному результату (66) прибавим 45.
Обозначим задуманное число переменной $y$. Составим уравнение:
$y - 45 = 66$
$y = 66 + 45$
$y = 111$
Проверка: $111 - 45 = 66$.
Ответ: 111.

в) Чтобы найти задуманное число, нужно выполнить действия в обратном порядке, заменяя их на противоположные. Сначала к конечному результату (200) прибавим 49 (действие, обратное вычитанию), а затем из полученной суммы вычтем 120 (действие, обратное сложению).
Обозначим задуманное число переменной $z$. Составим уравнение:
$(z + 120) - 49 = 200$
Сначала найдем промежуточный результат, который был до вычитания 49:
$z + 120 = 200 + 49$
$z + 120 = 249$
Теперь найдем задуманное число $z$, которое было до прибавления 120:
$z = 249 - 120$
$z = 129$
Проверка: $(129 + 120) - 49 = 249 - 49 = 200$.
Ответ: 129.