Страница 15 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.42. Запишите равенство, выражающее переместительный закон сложения. Сформулируйте этот закон.

Переместительный закон сложения (также называемый коммутативным законом) является одним из основных свойств сложения чисел. Он утверждает, что порядок слагаемых не влияет на их сумму.

Запишите равенство, выражающее переместительный закон сложения

Для любых двух чисел, обозначим их как a и b, переместительный закон сложения можно записать в виде следующего равенства:

$a + b = b + a$

Например, $3 + 5 = 8$ и $5 + 3 = 8$. Результат одинаков.

Ответ: $a + b = b + a$.

Сформулируйте этот закон

Словесная формулировка переместительного закона сложения звучит следующим образом:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Ответ: От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

1.43. Запишите равенство, выражающее сочетательный закон сложения. Сформулируйте этот закон.

Равенство, выражающее сочетательный закон сложения:

Сочетательный закон сложения (также известный как ассоциативный закон) — это свойство сложения, которое гласит, что результат сложения трёх и более слагаемых не зависит от того, как они сгруппированы. Для любых чисел a, b и c это свойство выражается в виде следующего равенства:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Формулировка этого закона:

В словесной форме сочетательный закон сложения звучит так: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Это свойство позволяет выполнять вычисления в удобном порядке. Например, чтобы найти сумму $(45 + 38) + 12$, можно сначала сложить 45 и 38, а потом прибавить 12. Но удобнее воспользоваться сочетательным законом и сгруппировать числа иначе:

$(45 + 38) + 12 = 45 + (38 + 12) = 45 + 50 = 95$

Вычисление суммы второго и третьего слагаемых в первую очередь упрощает итоговый расчет.

Ответ: Равенство, выражающее сочетательный закон сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Формулировка закона: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

1.44. По каким правилам складывают числа с числом 0?

Сложение чисел с числом 0 подчиняется одному основному правилу, которое является фундаментальным свойством арифметики. Ноль называют нейтральным элементом для операции сложения, так как он не изменяет число, к которому его прибавляют.

Основное правило сложения с нулем

Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. В результате получается то же самое число. Аналогично, если к нулю прибавить любое число, результатом будет это же число.

Это правило можно записать в виде общей формулы. Для любого числа $a$ справедливо равенство:

$a + 0 = a$

Также, согласно переместительному свойству сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), верно и следующее:

$0 + a = a$

Таким образом, правило полностью выглядит так:

$a + 0 = 0 + a = a$

Примеры

Это правило действует для абсолютно всех чисел:

• Натуральные числа: $5 + 0 = 5$
• Отрицательные числа: $-12 + 0 = -12$
• Дробные числа (десятичные): $7.89 + 0 = 7.89$
• Дробные числа (обыкновенные): $\frac{2}{3} + 0 = \frac{2}{3}$
• Ноль: $0 + 0 = 0$

Ответ: Сложение чисел с числом 0 выполняется по правилу: сумма любого числа и нуля равна этому числу. Это свойство нуля как нейтрального элемента для сложения. В виде формулы это записывается как $a + 0 = 0 + a = a$, где $a$ — любое число.

1.45. Сложите числа:

а) $20 + 30$;

б) $33 + 67$;

в) $67 + 33$;

г) $400 + 300$;

д) $22 + 108$;

е) $95 + 6$;

ж) $170 + 130$;

з) $900 + 57$;

и) $23 + 100$.

а) Чтобы найти сумму чисел 20 и 30, нужно сложить количество десятков. 2 десятка плюс 3 десятка равно 5 десятков, или 50.
$20 + 30 = 50$.
Ответ: 50

б) Сложим числа 33 и 67. Сначала сложим единицы: $3 + 7 = 10$. Записываем 0 и запоминаем 1 десяток. Затем складываем десятки: $3 + 6 + 1 = 10$. В итоге получаем 100.
$33 + 67 = 100$.
Ответ: 100

в) Сложим числа 67 и 33. От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому результат будет таким же, как в предыдущем пункте. Проверим: $7 + 3 = 10$ (0 пишем, 1 в уме), $6 + 3 + 1 = 10$. Итого 100.
$67 + 33 = 100$.
Ответ: 100

г) Чтобы найти сумму чисел 400 и 300, нужно сложить количество сотен. 4 сотни плюс 3 сотни равно 7 сотен, или 700.
$400 + 300 = 700$.
Ответ: 700

д) Сложим числа 22 и 108. Складываем единицы: $2 + 8 = 10$ (0 пишем, 1 в уме). Складываем десятки: $2 + 0 + 1 = 3$. Складываем сотни: в первом числе их 0, во втором 1, итого 1. Получаем 130.
$22 + 108 = 130$.
Ответ: 130

е) Сложим числа 95 и 6. Складываем единицы: $5 + 6 = 11$ (1 пишем, 1 в уме). Складываем десятки: $9 + 1 = 10$. Получаем 101.
$95 + 6 = 101$.
Ответ: 101

ж) Сложим числа 170 и 130. Складываем единицы: $0 + 0 = 0$. Складываем десятки: $7 + 3 = 10$ (0 пишем, 1 в уме). Складываем сотни: $1 + 1 + 1 = 3$. Получаем 300.
$170 + 130 = 300$.
Ответ: 300

з) Сложим числа 900 и 57. Это можно сделать, просто прибавив 57 к 900, так как в первом числе на месте десятков и единиц стоят нули.
$900 + 57 = 957$.
Ответ: 957

и) Сложим числа 23 и 100. Прибавление 100 к числу 23 увеличивает разряд сотен на 1.
$23 + 100 = 123$.
Ответ: 123

1.46. Вычислите:

а) $60 + 24$;

б) $35 + 12$;

в) $57 + 13$;

г) $45 + 55$;

д) $302 + 200$;

е) $134 + 400$;

ж) $200 + 687$;

з) $132 + 450$;

и) $649 + 101$;

к) $606 + 160$;

л) $3070 + 105$;

м) $6009 + 1001$.

а) Для вычисления суммы $60 + 24$ сложим десятки с десятками ($60 + 20 = 80$) и единицы с единицами ($0 + 4 = 4$). Затем сложим полученные результаты: $80 + 4 = 84$.
Ответ: 84

б) Чтобы найти сумму $35 + 12$, сложим сначала десятки ($30 + 10 = 40$), а затем единицы ($5 + 2 = 7$). Сумма этих результатов даст итоговый ответ: $40 + 7 = 47$.
Ответ: 47

в) Сложим поразрядно. Десятки: $50 + 10 = 60$. Единицы: $7 + 3 = 10$. Общая сумма: $60 + 10 = 70$.
Ответ: 70

г) Сложим поразрядно. Десятки: $40 + 50 = 90$. Единицы: $5 + 5 = 10$. Общая сумма: $90 + 10 = 100$.
Ответ: 100

д) Складываем сотни: $300 + 200 = 500$. Затем к результату прибавляем оставшиеся единицы от первого слагаемого: $500 + 2 = 502$.
Ответ: 502

е) Складываем сотни: $100 + 400 = 500$. Затем к результату прибавляем оставшуюся часть первого слагаемого (десятки и единицы): $500 + 34 = 534$.
Ответ: 534

ж) Складываем сотни: $200 + 600 = 800$. Затем к результату прибавляем оставшуюся часть второго слагаемого (десятки и единицы): $800 + 87 = 887$.
Ответ: 887

з) Выполним сложение по разрядам. Сотни: $100 + 400 = 500$. Десятки: $30 + 50 = 80$. Единицы: $2 + 0 = 2$. Суммируем все полученные значения: $500 + 80 + 2 = 582$.
Ответ: 582

и) Для удобства можно сначала прибавить $100$, а затем $1$. $649 + 100 = 749$. Теперь прибавим $1$: $749 + 1 = 750$.
Ответ: 750

к) Выполним сложение по разрядам. Сотни: $600 + 100 = 700$. Десятки: $0 + 60 = 60$. Единицы: $6 + 0 = 6$. Суммируем все полученные значения: $700 + 60 + 6 = 766$.
Ответ: 766

л) Складываем по разрядам. Тысячи остаются без изменений (3). Сотни: $0 + 1 = 1$. Десятки остаются без изменений (7). Единицы: $0 + 5 = 5$. Получаем число $3175$. $3070 + 105 = 3175$.
Ответ: 3175

м) Для удобства можно представить $1001$ как $1000 + 1$. Тогда $6009 + 1000 = 7009$. Теперь прибавим $1$: $7009 + 1 = 7010$.
Ответ: 7010

1.47. Определите порядок выполнения действий при вычислении суммы:

а) $(725 + 48) + 809;$

б) $725 + (48 + 809).$

а)

В выражении $(725 + 48) + 809$ порядок действий определяется скобками. Согласно правилам, действия в скобках выполняются в первую очередь.

1. Первое действие — это сложение чисел внутри скобок:
$725 + 48 = 773$

2. Второе действие — это сложение результата первого действия с числом $809$:
$773 + 809 = 1582$

Ответ: сначала нужно выполнить сложение в скобках $(725 + 48)$, а затем к полученному результату прибавить $809$.

б)

В выражении $725 + (48 + 809)$ порядок действий также определяется скобками.

1. Первое действие — это сложение чисел внутри скобок:
$48 + 809 = 857$

2. Второе действие — это сложение числа $725$ с результатом, полученным в первом действии:
$725 + 857 = 1582$

Ответ: сначала нужно выполнить сложение в скобках $(48 + 809)$, а затем к числу $725$ прибавить полученный результат.