Страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.21. Запишите все трёхзначные числа без повторения одинаковых цифр, в записи которых используются цифры:

а) 5, 6, 7;

б) 0, 1, 2.

а)

Чтобы составить все трёхзначные числа из цифр 5, 6, 7 без повторения, нужно рассмотреть все возможные комбинации этих цифр. Это задача на перестановки.

1. Поставим на первое место (в разряд сотен) цифру 5. Тогда на втором и третьем местах могут быть цифры 6 и 7. Это даёт нам два числа: 567 и 576.

2. Поставим на первое место цифру 6. Тогда на втором и третьем местах могут быть цифры 5 и 7. Это даёт нам ещё два числа: 657 и 675.

3. Поставим на первое место цифру 7. Тогда на втором и третьем местах могут быть цифры 5 и 6. Это даёт нам числа: 756 и 765.

Общее количество таких чисел можно найти по формуле числа перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Мы нашли все 6 возможных чисел.

Ответ: 567, 576, 657, 675, 756, 765.

б)

Чтобы составить все трёхзначные числа из цифр 0, 1, 2 без повторения, нужно учесть, что трёхзначное число не может начинаться с нуля.

1. На первое место (в разряд сотен) мы можем поставить только 1 или 2.

2. Если на первом месте стоит цифра 1, то на втором и третьем местах могут стоять оставшиеся цифры 0 и 2. Это даёт нам два числа: 102 и 120.

3. Если на первом месте стоит цифра 2, то на втором и третьем местах могут стоять оставшиеся цифры 0 и 1. Это даёт нам ещё два числа: 201 и 210.

Других вариантов для первой цифры нет, поэтому мы перечислили все возможные числа. Их общее количество равно $2 \times 2 \times 1 = 4$.

Ответ: 102, 120, 201, 210.

1.22. Запишите все трёхзначные числа, в записи которых используются цифры:

а) 5, 6, 7;

б) 0, 1, 2, если разрешается повторять одинаковые цифры в записи одного числа.

а)

Чтобы составить все трёхзначные числа из цифр 5, 6, 7 с возможностью повторения, нужно рассмотреть три позиции в числе: сотни, десятки и единицы.

На каждую из этих трёх позиций мы можем поставить любую из трёх данных цифр (5, 6 или 7).

• На место сотен есть 3 варианта (5, 6, 7).
• На место десятков есть 3 варианта (5, 6, 7).
• На место единиц есть 3 варианта (5, 6, 7).

Общее количество возможных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции: $3 \times 3 \times 3 = 27$.

Выпишем все возможные числа:

Начинающиеся с 5: 555, 556, 557, 565, 566, 567, 575, 576, 577.

Начинающиеся с 6: 655, 656, 657, 665, 666, 667, 675, 676, 677.

Начинающиеся с 7: 755, 756, 757, 765, 766, 767, 775, 776, 777.

Ответ: 555, 556, 557, 565, 566, 567, 575, 576, 577, 655, 656, 657, 665, 666, 667, 675, 676, 677, 755, 756, 757, 765, 766, 767, 775, 776, 777.

б)

Чтобы составить все трёхзначные числа из цифр 0, 1, 2 с возможностью повторения, нужно учесть, что трёхзначное число не может начинаться с нуля.

• На место сотен можно поставить только 1 или 2 (2 варианта).
• На место десятков можно поставить любую из трёх цифр: 0, 1 или 2 (3 варианта).
• На место единиц также можно поставить любую из трёх цифр: 0, 1 или 2 (3 варианта).

Общее количество возможных чисел равно: $2 \times 3 \times 3 = 18$.

Выпишем все возможные числа:

Начинающиеся с 1: 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122.

Начинающиеся с 2: 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222.

Ответ: 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222.

1.23. a) В книге 120 страниц. Сколько цифр напечатали для нумерации страниц, начиная с третьей страницы?

б) Для нумерации страниц, начиная с третьей, использовано 169 цифр. Сколько страниц в книге?

а)

Чтобы найти общее количество цифр, использованных для нумерации страниц с третьей по сто двадцатую, разобьем страницы на группы по количеству цифр в их номере.

1. Страницы с однозначными номерами. Нумерация начинается с 3-й страницы, поэтому это страницы с 3 по 9.
Количество таких страниц: $9 - 3 + 1 = 7$ страниц.
Количество цифр для них: $7 \times 1 = 7$ цифр.

2. Страницы с двузначными номерами. Это страницы с 10 по 99.
Количество таких страниц: $99 - 10 + 1 = 90$ страниц.
Количество цифр для них: $90 \times 2 = 180$ цифр.

3. Страницы с трехзначными номерами. В книге 120 страниц, поэтому это страницы со 100 по 120.
Количество таких страниц: $120 - 100 + 1 = 21$ страница.
Количество цифр для них: $21 \times 3 = 63$ цифры.

Теперь сложим количество цифр из всех групп, чтобы найти общее количество:
$7 + 180 + 63 = 250$ цифр.

Ответ: 250 цифр.

б)

Нам известно, что для нумерации страниц, начиная с третьей, было использовано 169 цифр. Определим количество страниц в книге поэтапно.

1. Сначала посчитаем цифры, использованные для страниц с однозначными номерами (с 3 по 9).
Количество страниц: $9 - 3 + 1 = 7$ страниц.
На них потребовалось: $7 \times 1 = 7$ цифр.

2. Вычтем эти цифры из общего количества, чтобы узнать, сколько цифр осталось для нумерации следующих страниц.
$169 - 7 = 162$ цифры.
Все оставшиеся цифры пошли на нумерацию страниц с двузначными номерами, так как для трехзначных номеров потребовалось бы больше цифр.

3. Каждая страница с двузначным номером требует 2 цифры. Определим, сколько таких страниц было пронумеровано.
Количество двузначных страниц: $162 \div 2 = 81$ страница.

4. Мы пронумеровали 7 страниц с однозначными номерами (с 3 по 9) и 81 страницу с двузначными номерами (начиная с 10). Чтобы найти номер последней страницы, нужно к номеру последней однозначной страницы (9) прибавить количество пронумерованных двузначных страниц.
Номер последней страницы: $9 + 81 = 90$.
Таким образом, нумерация закончилась на 90-й странице, значит в книге 90 страниц.

Ответ: 90 страниц.

1.24. Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел?

Чтобы определить, сколько раз используется каждая цифра от 1 до 9, рассмотрим числа от 1 до 99 и подсчитаем вхождения каждой цифры в разрядах единиц и десятков.

Возьмём для примера любую цифру $d$ из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Сначала посчитаем, сколько раз цифра $d$ появляется в разряде единиц. Это происходит в числах, которые оканчиваются на $d$. В диапазоне от 1 до 99 это следующие числа: $d, 1d, 2d, \dots, 9d$. Всего получается 10 таких чисел. Например, для цифры 7 это будут числа 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97. Таким образом, в разряде единиц любая цифра от 1 до 9 встречается 10 раз.

Теперь посчитаем, сколько раз цифра $d$ появляется в разряде десятков. Это происходит в числах, которые начинаются на $d$. Это все числа от $d0$ до $d9$: $d0, d1, d2, \dots, d9$. Всего получается 10 таких чисел. Например, для цифры 7 это будут числа 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79. Таким образом, в разряде десятков любая цифра от 1 до 9 встречается 10 раз.

Общее количество появлений цифры $d$ равно сумме её появлений в разряде единиц и в разряде десятков. Если число состоит из двух одинаковых цифр (например, 77), то одна цифра учитывается в подсчете для единиц, а вторая — в подсчете для десятков, что верно.
Итоговое количество: $10 \text{ (в разряде единиц)} + 10 \text{ (в разряде десятков)} = 20$.

Так как эти рассуждения справедливы для любой цифры от 1 до 9, то каждая из них в записи первых 99 натуральных чисел используется ровно 20 раз.

Ответ: Каждая из цифр от 1 до 9 используется 20 раз.

1.25. Если в записи многозначного числа какие-либо цифры заменены буквами, то над записью числа ставят черту.
Например, запись $\overline{a5b7}$ означает, что это число содержит $a$ тысяч ($a \neq 0$), 5 сотен, $b$ десятков и 7 единиц, т. е. $\overline{a5b7} = a \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + b \cdot 10 + 7$. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа:

а) $\overline{5b}$;

б) $\overline{ab}$;

в) $\overline{1c8}$;

г) $\overline{a9b}$;

д) $abc$;

е) $\overline{1ab8}$;

ж) $\overline{a9b2}$;

з) $\overline{abcd}$.

а) Число $\overline{5b}$ является двузначным. В разряде десятков стоит цифра 5, а в разряде единиц – $b$. Чтобы записать это число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно умножить каждую цифру на ее разрядный множитель (10 для десятков, 1 для единиц) и сложить результаты.
$\overline{5b} = 5 \cdot 10 + b \cdot 1 = 50 + b$.
Ответ: $5 \cdot 10 + b$.

б) Число $\overline{ab}$ является двузначным. В разряде десятков стоит цифра $a$, а в разряде единиц – $b$.
$\overline{ab} = a \cdot 10 + b \cdot 1 = 10a + b$.
Ответ: $a \cdot 10 + b$.

в) Число $\overline{1c8}$ является трехзначным. В разряде сотен стоит цифра 1, в разряде десятков – $c$, а в разряде единиц – 8.
$\overline{1c8} = 1 \cdot 100 + c \cdot 10 + 8 \cdot 1 = 100 + 10c + 8$.
Ответ: $1 \cdot 100 + c \cdot 10 + 8$.

г) Число $\overline{a9b}$ является трехзначным. В разряде сотен стоит цифра $a$, в разряде десятков – 9, а в разряде единиц – $b$.
$\overline{a9b} = a \cdot 100 + 9 \cdot 10 + b \cdot 1 = 100a + 90 + b$.
Ответ: $a \cdot 100 + 9 \cdot 10 + b$.

д) Число $\overline{abc}$ является трехзначным. В разряде сотен стоит цифра $a$, в разряде десятков – $b$, а в разряде единиц – $c$.
$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c \cdot 1 = 100a + 10b + c$.
Ответ: $a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$.

е) Число $\overline{1ab8}$ является четырехзначным. В разряде тысяч стоит цифра 1, в разряде сотен – $a$, в разряде десятков – $b$, а в разряде единиц – 8.
$\overline{1ab8} = 1 \cdot 1000 + a \cdot 100 + b \cdot 10 + 8 \cdot 1 = 1000 + 100a + 10b + 8$.
Ответ: $1 \cdot 1000 + a \cdot 100 + b \cdot 10 + 8$.

ж) Число $\overline{a9b2}$ является четырехзначным. В разряде тысяч стоит цифра $a$, в разряде сотен – 9, в разряде десятков – $b$, а в разряде единиц – 2.
$\overline{a9b2} = a \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + b \cdot 10 + 2 \cdot 1 = 1000a + 900 + 10b + 2$.
Ответ: $a \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + b \cdot 10 + 2$.

з) Число $\overline{abcd}$ является четырехзначным. В разряде тысяч стоит цифра $a$, в разряде сотен – $b$, в разряде десятков – $c$, а в разряде единиц – $d$.
$\overline{abcd} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot 10 + d \cdot 1 = 1000a + 100b + 10c + d$.
Ответ: $a \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot 10 + d$.

1.26. Найдите в учебном пособии, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы:

а) Известно, что цифры 0, 1, 2, 3, ..., которые мы используем в вычислениях, называют арабскими, но придумали их не арабы. Кто придумал эти цифры?

б) Почему цифры 0, 1, 2, 3, ... называют арабскими?

а) Известно, что цифры 0, 1, 2, 3, ..., которые мы используем в вычислениях, называют арабскими, но придумали их не арабы. Кто придумал эти цифры?

Современная десятичная позиционная система счисления, которую мы используем, была разработана в древней Индии. Индийские математики примерно в V веке нашей эры создали систему, в которой значение цифры зависит от ее позиции в числе. Самым важным нововведением было введение символа для обозначения нуля («шунья»), что позволило легко выполнять сложные арифметические вычисления и записывать большие числа. Таким образом, создателями этих цифр и системы в целом являются индийские ученые.

Ответ: Эти цифры придумали в Индии.

б) Почему цифры 0, 1, 2, 3, ... называют арабскими?

Название «арабские» закрепилось за этими цифрами исторически, так как европейцы познакомились с ними через арабов. Арабские ученые и купцы, начиная с VII-VIII веков, активно перенимали и распространяли научные достижения других народов, в том числе индийскую систему счисления. Великий персидский математик Мухаммад аль-Хорезми в своем труде «Об индийском счёте» (около 825 года) подробно описал эту систему. В XII веке эта книга была переведена на латынь и стала известна в Европе. Поскольку европейцы получили эти знания из арабских источников, они и назвали цифры арабскими, хотя сами арабы называют их «индийскими цифрами» (ар-кам хиндия).

Ответ: Цифры называют арабскими, потому что они пришли в Европу через арабских ученых и их труды, которые популяризировали индийскую систему счисления.