Номер 1.24, страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Натуральные числа и нуль. 1.2. Десятичная система записи натуральных чисел - номер 1.24, страница 10.

Условие.

1.24. Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, сколько раз используется каждая цифра от 1 до 9, рассмотрим числа от 1 до 99 и подсчитаем вхождения каждой цифры в разрядах единиц и десятков.

Возьмём для примера любую цифру $d$ из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Сначала посчитаем, сколько раз цифра $d$ появляется в разряде единиц. Это происходит в числах, которые оканчиваются на $d$. В диапазоне от 1 до 99 это следующие числа: $d, 1d, 2d, \dots, 9d$. Всего получается 10 таких чисел. Например, для цифры 7 это будут числа 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97. Таким образом, в разряде единиц любая цифра от 1 до 9 встречается 10 раз.

Теперь посчитаем, сколько раз цифра $d$ появляется в разряде десятков. Это происходит в числах, которые начинаются на $d$. Это все числа от $d0$ до $d9$: $d0, d1, d2, \dots, d9$. Всего получается 10 таких чисел. Например, для цифры 7 это будут числа 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79. Таким образом, в разряде десятков любая цифра от 1 до 9 встречается 10 раз.

Общее количество появлений цифры $d$ равно сумме её появлений в разряде единиц и в разряде десятков. Если число состоит из двух одинаковых цифр (например, 77), то одна цифра учитывается в подсчете для единиц, а вторая — в подсчете для десятков, что верно.
Итоговое количество: $10 \text{ (в разряде единиц)} + 10 \text{ (в разряде десятков)} = 20$.

Так как эти рассуждения справедливы для любой цифры от 1 до 9, то каждая из них в записи первых 99 натуральных чисел используется ровно 20 раз.

Ответ: Каждая из цифр от 1 до 9 используется 20 раз.