Страница 6 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. а) Назовите 15 первых натуральных чисел.

б) Считают ли число нуль натуральным числом?

а) Натуральные числа — это числа, которые возникают естественным образом при счете предметов. Счет начинается с числа 1. Каждое следующее натуральное число получается путем прибавления единицы к предыдущему. Таким образом, ряд натуральных чисел начинается с 1, затем идет 2, 3, и так далее до бесконечности. Чтобы назвать первые 15 натуральных чисел, нужно перечислить их по порядку от 1 до 15.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

б) В большинстве математических традиций, в том числе в российском школьном курсе математики, число нуль не считается натуральным числом. Натуральные числа используются для счета (первый предмет, второй предмет и т.д.), а нуль обозначает отсутствие предметов, то есть "ни одного". Множество натуральных чисел принято обозначать латинской буквой $N$ и оно представляет собой последовательность: $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$. Нуль является целым числом, но не натуральным.
Ответ: нет.

1.2. Есть ли в натуральном ряду:

а) первое число;

б) последнее число?

а) первое число

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов. Ряд натуральных чисел начинается с наименьшего числа, которое можно использовать для счета, — это число 1. Ряд выглядит так: $1, 2, 3, 4, 5, ...$. Таким образом, в натуральном ряду есть первое, или наименьшее, число.

Ответ: Да, в натуральном ряду есть первое число, и это число 1.

б) последнее число

Натуральный ряд является бесконечным. Это означает, что для любого, даже самого большого, натурального числа $n$, которое мы можем себе представить, всегда существует следующее за ним число, равное $n+1$. Поскольку мы всегда можем прибавить единицу к любому натуральному числу и получить новое, еще большее натуральное число, это означает, что самого большого, или последнего, числа в натуральном ряду не существует.

Ответ: Нет, в натуральном ряду нет последнего числа.

1.3. У каждого ли числа в натуральном ряду есть:

а) последующее число;

б) предшествующее число?

а) последующее число

Натуральный ряд чисел — это последовательность целых положительных чисел, начинающаяся с 1: $1, 2, 3, 4, ...$. Ряд бесконечен. Для любого натурального числа $n$ последующим называется число, которое следует непосредственно за ним. Это число можно найти, прибавив к $n$ единицу, то есть оно равно $n+1$. Поскольку прибавление 1 к любому натуральному числу всегда дает в результате другое, большее натуральное число, у каждого натурального числа есть последующее. Например, для числа 7 последующим будет $7+1=8$, для числа 150 — $150+1=151$. Так как натуральный ряд не имеет максимального элемента, этот процесс можно продолжать бесконечно.

Ответ: да, у каждого числа в натуральном ряду есть последующее число.

б) предшествующее число

Для любого натурального числа $n$ предшествующим называется число, которое стоит непосредственно перед ним. Это число можно найти, вычтя из $n$ единицу, то есть оно равно $n-1$. Рассмотрим, всегда ли результат $n-1$ будет натуральным числом. Например, для числа 10 предшествующим будет $10-1=9$, и 9 — это натуральное число. Для числа 2 предшествующим будет $2-1=1$, и 1 — это натуральное число. Однако, если мы возьмем самое маленькое натуральное число, которым является 1, то его предшествующее число будет равно $1-1=0$. Число 0 не является натуральным числом, так как натуральные числа используются для счета предметов и начинаются с 1. Следовательно, не у каждого натурального числа есть предшествующее число, которое также является натуральным. Число 1 является исключением.

Ответ: нет, не у каждого числа в натуральном ряду есть предшествующее число. У числа 1 нет предшествующего натурального числа.

1.4. a) Назовите число, которое следует в натуральном ряду за числом: 13, 276, 3590, 999 999.

б) Назовите число, которое предшествует в натуральном ряду числу: 2, 74, 100, 3050, 438 109, 1 000 000.

а) Чтобы найти число, которое следует в натуральном ряду за данным числом, необходимо к исходному числу прибавить единицу ($+1$).

Для числа 13 следующим будет: $13 + 1 = 14$.

Для числа 276 следующим будет: $276 + 1 = 277$.

Для числа 3590 следующим будет: $3590 + 1 = 3591$.

Для числа 999 999 следующим будет: $999 999 + 1 = 1 000 000$.

Ответ: 14, 277, 3591, 1 000 000.

б) Чтобы найти число, которое предшествует в натуральном ряду данному числу, необходимо от исходного числа отнять единицу ($-1$). Каждое натуральное число, кроме 1, имеет предшествующее ему натуральное число.

Для числа 2 предшествующим будет: $2 - 1 = 1$.

Для числа 74 предшествующим будет: $74 - 1 = 73$.

Для числа 100 предшествующим будет: $100 - 1 = 99$.

Для числа 3050 предшествующим будет: $3050 - 1 = 3049$.

Для числа 438 109 предшествующим будет: $438 109 - 1 = 438 108$.

Для числа 1 000 000 предшествующим будет: $1 000 000 - 1 = 999 999$.

Ответ: 1, 73, 99, 3049, 438 108, 999 999.

1.5. Сколько чисел в натуральном ряду:

а) от 1 до 29;

б) от 1 до 38;

в) от 30 до 38;

г) от 100 до 125?

Чтобы определить количество натуральных чисел в заданном промежутке (включая концы промежутка), можно использовать общую формулу. Если промежуток задан от числа $a$ до числа $b$, то количество чисел в нем равно $b - a + 1$.

а) от 1 до 29
Здесь начальное число $a=1$, а конечное $b=29$.
Количество чисел: $29 - 1 + 1 = 29$.
Когда счет начинается с 1, количество чисел просто равно последнему числу в ряду.
Ответ: 29.

б) от 1 до 38
Здесь начальное число $a=1$, а конечное $b=38$.
Количество чисел: $38 - 1 + 1 = 38$.
Аналогично пункту а), счет начинается с 1.
Ответ: 38.

в) от 30 до 38
Здесь начальное число $a=30$, а конечное $b=38$.
Применяем формулу: $38 - 30 + 1 = 8 + 1 = 9$.
В этом промежутке 9 натуральных чисел.
Ответ: 9.

г) от 100 до 125
Здесь начальное число $a=100$, а конечное $b=125$.
Применяем формулу: $125 - 100 + 1 = 25 + 1 = 26$.
В этом промежутке 26 натуральных чисел.
Ответ: 26.

1.6. Сколько чисел в натуральном ряду между числами:

a) 1 и 29;

б) 1 и 38;

в) 30 и 38;

г) 100 и 125?

Чтобы найти количество натуральных чисел между двумя данными числами, нужно из большего числа вычесть меньшее и от полученной разности отнять еще единицу. Если даны числа $a$ и $b$, где $b > a$, то количество натуральных чисел между ними вычисляется по формуле:

Количество чисел = $b - a - 1$

а) 1 и 29

Вычислим количество натуральных чисел между 1 и 29, используя формулу:

$29 - 1 - 1 = 27$

Между числами 1 и 29 находится 27 натуральных чисел.
Ответ: 27

б) 1 и 38

Вычислим количество натуральных чисел между 1 и 38:

$38 - 1 - 1 = 36$

Между числами 1 и 38 находится 36 натуральных чисел.
Ответ: 36

в) 30 и 38

Вычислим количество натуральных чисел между 30 и 38:

$38 - 30 - 1 = 7$

Между числами 30 и 38 находится 7 натуральных чисел (31, 32, 33, 34, 35, 36, 37).
Ответ: 7

г) 100 и 125

Вычислим количество натуральных чисел между 100 и 125:

$125 - 100 - 1 = 24$

Между числами 100 и 125 находится 24 натуральных числа.
Ответ: 24

1.7. Найдите в учебном пособии, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы:

а) От какого слова происходит слово «арифметика»?

б) Что изучает арифметика?

в) В какое время и где жил Диофант — автор наиболее известного в древние времена учебника «Арифметика»?

г) В каком году вышло первое издание известного в России учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого?

д) В каких странах число нуль считают натуральным числом?

а) От какого слова происходит слово «арифметика»?

Слово «арифметика» происходит от древнегреческого слова «ἀριθμός» (аритмос), что означает «число». От него было образовано прилагательное «ἀριθμητική» (аритметике), что дословно переводится как «искусство счёта» или «числовое искусство».
Ответ: от древнегреческого слова «ἀριθμός», означающего «число».

б) Что изучает арифметика?

Арифметика — это раздел математики, изучающий числа, их свойства и отношения. Она охватывает простейшие и наиболее общие понятия, связанные с числами, и основные действия над ними: сложение, вычитание, умножение и деление. Арифметика является основой для других, более сложных разделов математики.
Ответ: арифметика изучает числа, их свойства и операции над ними.

в) В какое время и где жил Диофант — автор наиболее известного в древние времена учебника «Арифметика»?

Диофант Александрийский был древнегреческим математиком, который жил и работал в городе Александрия (на территории современного Египта, в то время провинции Римской империи). Точные годы его жизни не установлены, но, по оценкам историков, основанным на содержании его трудов, он жил в III веке нашей эры (приблизительно 200/214 – 284/298 гг. н. э.). Его главный труд «Арифметика» представляет собой сборник задач, приводящих к неопределенным уравнениям, решения которых ищутся в рациональных числах.
Ответ: Диофант жил в III веке н.э. в городе Александрия (Римский Египет).

г) В каком году вышло первое издание известного в России учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого?

Первое издание учебника «Арифметика, сиречь наука числительная...» Леонтия Филипповича Магницкого было опубликовано в Москве по указу Петра I в январе 1703 года. Эта книга стала первым в России печатным учебником по математике и служила основным пособием на протяжении почти полувека.
Ответ: в 1703 году.

д) В каких странах число нуль считают натуральным числом?

Вопрос о включении нуля в множество натуральных чисел является предметом математического соглашения (конвенции), а не национального законодательства или традиции конкретной страны. Существует два основных подхода:
1. Множество натуральных чисел начинается с 1: $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $. Это традиционный подход, распространенный в школьном образовании России и многих других стран, а также в таких областях, как теория чисел.
2. Множество натуральных чисел начинается с 0: $ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} $. Этот подход принят во многих работах по теории множеств, математической логике, информатике. В частности, его придерживалась влиятельная группа французских математиков «Николя Бурбаки».
Таким образом, нельзя дать однозначный ответ по странам, но можно отметить, что во французской математической школе ноль чаще включают в состав натуральных чисел.
Ответ: это вопрос математического соглашения, а не географии; ноль считают натуральным числом, например, во французской математической традиции, а также в таких областях, как теория множеств и информатика.

1.8. В те далёкие времена, когда счёт не был хорошо развит, слово «семь» использовалось также в значении «много», что отражено в поговорках и загадках, например: семеро одного не ждут; семь раз отмерь, один отрежь. Приведите как можно больше таких примеров.

В древности число семь считалось сакральным, магическим и часто символизировало полноту, завершённость или просто большое, неопределённое количество чего-либо. Поэтому во многих русских поговорках, пословицах и фразеологизмах слово «семь» используется в значении «много». Помимо приведённых в задаче примеров «семеро одного не ждут» и «семь раз отмерь, один отрежь», можно назвать и другие:

• У семи нянек дитя без глазу.
  Значение: когда за одно дело отвечает слишком много людей, результат часто бывает плачевным из-за несогласованности и перекладывания ответственности. Здесь «семь» означает «много».
• Семь бед — один ответ.
  Значение: рискуя, будь готов отвечать за все возможные негативные последствия сразу. «Семь бед» — это множество неприятностей.
• Лук — от семи недуг.
  Значение: лук считается очень полезным и способным вылечить большое количество болезней. «Семь недуг» — это «много болезней».
• За семью печатями.
  Значение: нечто, что хранится в строжайшей тайне, что-то сокровенное и недоступное. «Семь печатей» — это множество преград на пути к тайне.
• На седьмом небе от счастья.
  Значение: испытывать высшую степень радости, блаженства. Число семь здесь подчёркивает предельную, очень большую степень счастья.
• Один с сошкой, семеро с ложкой.
  Значение: один человек работает, а много других (семеро) хотят воспользоваться плодами его труда, не прикладывая усилий.
• Семь вёрст до небес, и всё лесом.
  Значение: так говорят о длинном, запутанном и бестолковом рассказе или объяснении. «Семь вёрст» — очень большое, далёкое расстояние.
• У него семь пятниц на неделе.
  Значение: так характеризуют человека непостоянного, легкомысленного, который часто меняет свои решения. «Семь» здесь подчёркивает чрезмерное, невозможное количество изменений.
• Для милого дружка и семь вёрст не околица.
  Значение: ради близкого человека не жалко преодолеть большое расстояние или трудности. «Семь вёрст» — это «много», большое расстояние.

Ответ: Приведены примеры поговорок и фразеологизмов, в которых слово «семь» используется в значении «много»: «У семи нянек дитя без глазу», «Семь бед — один ответ», «Лук — от семи недуг», «За семью печатями», «На седьмом небе от счастья», «Один с сошкой, семеро с ложкой», «Семь вёрст до небес, и всё лесом», «У него семь пятниц на неделе», «Для милого дружка и семь вёрст не околица».