Страница 13 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.34. Поставьте знак сравнения ($=$, $<$, $>$) между числами:

а) 123 и 123;

б) 169 и 196;

в) 253 и 252;

г) 348 и 299;

д) 102 и 1000;

е) 1250 и 999;

ж) 4687 и 5687;

з) 154 932 и 9999;

и) 641 и 700;

к) 5906 и 5096;

л) 1207 и 1207;

м) 4090 и 4900.

а) Сравниваем числа 123 и 123. Эти числа полностью идентичны, каждая цифра в соответствующем разряде совпадает. Следовательно, числа равны.
Ответ: $123 = 123$

б) Сравниваем числа 169 и 196. Оба числа имеют одинаковое количество цифр (трехзначные). Сравнение начинаем со старшего разряда (сотни). Цифры в разряде сотен одинаковы (1). Переходим к следующему разряду (десятки). Цифра 6 меньше цифры 9. Значит, первое число меньше второго.
Ответ: $169 < 196$

в) Сравниваем числа 253 и 252. Оба числа трехзначные. Цифры в разрядах сотен (2) и десятков (5) совпадают. Сравниваем цифры в разряде единиц: 3 больше 2. Следовательно, первое число больше второго.
Ответ: $253 > 252$

г) Сравниваем числа 348 и 299. Оба числа трехзначные. Сравниваем цифры в старшем разряде (сотни). Цифра 3 больше цифры 2. Следовательно, первое число больше второго.
Ответ: $348 > 299$

д) Сравниваем числа 102 и 1000. Число 102 состоит из трех цифр, а число 1000 — из четырех. Число, у которого больше цифр, является большим.
Ответ: $102 < 1000$

е) Сравниваем числа 1250 и 999. Число 1250 является четырехзначным, а 999 — трехзначным. Число с большим количеством разрядов больше.
Ответ: $1250 > 999$

ж) Сравниваем числа 4687 и 5687. Оба числа четырехзначные. Сравниваем цифры в старшем разряде (тысячи): 4 меньше 5. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $4687 < 5687$

з) Сравниваем числа 154 932 и 9999. Число 154 932 является шестизначным, а число 9999 — четырехзначным. Число, у которого больше цифр, больше.
Ответ: $154932 > 9999$

и) Сравниваем числа 641 и 700. Оба числа трехзначные. Сравниваем цифры в старшем разряде (сотни): 6 меньше 7. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $641 < 700$

к) Сравниваем числа 5906 и 5096. Оба числа четырехзначные. Цифры в разряде тысяч совпадают (5). Сравниваем цифры в следующем разряде (сотни): 9 больше 0. Следовательно, первое число больше второго.
Ответ: $5906 > 5096$

л) Сравниваем числа 1207 и 1207. Эти числа полностью совпадают, поэтому они равны.
Ответ: $1207 = 1207$

м) Сравниваем числа 4090 и 4900. Оба числа четырехзначные. Цифры в разряде тысяч совпадают (4). Сравниваем цифры в разряде сотен: 0 меньше 9. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $4090 < 4900$

1.35. Сравните числа:

а) 60 и 66;

б) 354 и 396;

в) 857 и 858;

г) 458 и 549;

д) 302 и 3002;

е) 1345 и 345;

ж) 0 и 687;

з) 932 и 0;

и) 649 и 650;

к) 6766 и 6666;

л) 8507 и 8570;

м) 6080 и 6080.

а) Сравниваем числа 60 и 66. Оба числа являются двузначными. Сравнение натуральных чисел начинают со старшего разряда. В разряде десятков у обоих чисел стоит цифра 6. Сравниваем следующий разряд — единицы. У числа 60 в разряде единиц стоит 0, а у числа 66 — 6. Так как $0 < 6$, то и $60 < 66$. Ответ: $60 < 66$

б) Сравниваем числа 354 и 396. Оба числа трехзначные. В разряде сотен у обоих чисел стоит цифра 3. Сравниваем разряд десятков: у числа 354 — 5, у числа 396 — 9. Так как $5 < 9$, то $354 < 396$. Ответ: $354 < 396$

в) Сравниваем числа 857 и 858. Оба числа трехзначные. В разряде сотен у обоих чисел стоит 8, в разряде десятков — 5. Сравниваем разряд единиц: у числа 857 — 7, у числа 858 — 8. Так как $7 < 8$, то $857 < 858$. Ответ: $857 < 858$

г) Сравниваем числа 458 и 549. Оба числа трехзначные. Сравниваем старший разряд — сотни. У числа 458 в разряде сотен стоит 4, а у числа 549 — 5. Так как $4 < 5$, то $458 < 549$. Ответ: $458 < 549$

д) Сравниваем числа 302 и 3002. Число 302 — трехзначное, а число 3002 — четырехзначное. Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше разрядов (цифр). Следовательно, $302 < 3002$. Ответ: $302 < 3002$

е) Сравниваем числа 1345 и 345. Число 1345 — четырехзначное, а число 345 — трехзначное. Число, в котором больше разрядов, является большим. Следовательно, $1345 > 345$. Ответ: $1345 > 345$

ж) Сравниваем числа 0 и 687. Любое натуральное число (положительное целое) всегда больше нуля. Так как 687 является натуральным числом, то $0 < 687$. Ответ: $0 < 687$

з) Сравниваем числа 932 и 0. Любое натуральное число больше нуля. Так как 932 является натуральным числом, то $932 > 0$. Ответ: $932 > 0$

и) Сравниваем числа 649 и 650. Оба числа трехзначные. В разряде сотен у обоих чисел стоит 6. Сравниваем разряд десятков: у числа 649 — 4, у числа 650 — 5. Так как $4 < 5$, то $649 < 650$. Ответ: $649 < 650$

к) Сравниваем числа 6766 и 6666. Оба числа четырехзначные. В старшем разряде (тысячи) у обоих чисел стоит 6. Сравниваем следующий разряд — сотни. У числа 6766 в разряде сотен стоит 7, а у числа 6666 — 6. Так как $7 > 6$, то $6766 > 6666$. Ответ: $6766 > 6666$

л) Сравниваем числа 8507 и 8570. Оба числа четырехзначные. В разрядах тысяч и сотен у них одинаковые цифры (8 и 5 соответственно). Сравниваем разряд десятков: у числа 8507 — 0, у числа 8570 — 7. Так как $0 < 7$, то $8507 < 8570$. Ответ: $8507 < 8570$

м) Сравниваем числа 6080 и 6080. Эти числа имеют одинаковое количество разрядов, и все цифры в соответствующих разрядах у них совпадают. Следовательно, эти числа равны. Ответ: $6080 = 6080$

1.36. Что больше:

а) 20 см или 15 см;

б) 120 см или 1 м;

в) 1 м или 99 см;

г) 5 м 25 см или 526 см?

а) Для сравнения величин 20 см и 15 см, имеющих одинаковые единицы измерения, достаточно сравнить их числовые значения. Так как $20 > 15$, то 20 см больше, чем 15 см.

Ответ: 20 см.

б) Чтобы сравнить 120 см и 1 м, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры. В одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Теперь сравним 120 см и 100 см. Поскольку $120 > 100$, то 120 см больше, чем 1 м.

Ответ: 120 см.

в) Сравним 1 м и 99 см. Для этого также приведем величины к одной единице измерения. Переведем 1 м в сантиметры: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Теперь сравним 100 см и 99 см. Так как $100 > 99$, то 1 м больше, чем 99 см.

Ответ: 1 м.

г) Чтобы сравнить 5 м 25 см и 526 см, представим 5 м 25 см в сантиметрах. Сначала переведем метры в сантиметры: $5 \text{ м} = 5 \times 100 \text{ см} = 500 \text{ см}$. Затем добавим оставшиеся сантиметры: $500 \text{ см} + 25 \text{ см} = 525 \text{ см}$. Теперь сравним полученное значение с 526 см. Поскольку $526 > 525$, то 526 см больше, чем 5 м 25 см.

Ответ: 526 см.

1.37. Миша старше Маши, а Маша старше Кати. Кто старше: Миша или Катя?

Для ответа на этот вопрос, давайте проанализируем условия задачи по порядку.

1. Нам дано, что Миша старше Маши. Если обозначить их возраст буквами М (Миша) и А (Маша), то можно записать это как неравенство: $М > А$.

2. Также нам известно, что Маша старше Кати. Если обозначить возраст Кати буквой К, то это можно записать как: $А > К$.

3. Теперь мы можем объединить эти два неравенства в одну цепочку. Поскольку Миша старше Маши, а Маша старше Кати, мы получаем следующую последовательность возрастов от старшего к младшему:

$М > А > К$

Из этой цепочки напрямую следует, что возраст Миши больше возраста Кати ($М > К$). Таким образом, Миша старше Кати.

Ответ: Миша.

1.38. Саша моложе Даши, а Даша моложе Коли. Кто моложе: Саша или Коля?

Для решения этой логической задачи давайте проанализируем и сравним возраст каждого из упомянутых людей.

Введем условные обозначения для возраста:
$С$ — возраст Саши.
$Д$ — возраст Даши.
$К$ — возраст Коли.

Теперь переведем условия задачи на язык математических неравенств.

1. Условие «Саша моложе Даши» означает, что возраст Саши меньше возраста Даши. Математически это записывается как:
$С < Д$

2. Условие «Даша моложе Коли» означает, что возраст Даши меньше возраста Коли. Это можно записать как:
$Д < К$

Теперь мы имеем два неравенства: $С < Д$ и $Д < К$. Поскольку оба неравенства связаны через возраст Даши ($Д$), мы можем объединить их в одну цепочку:
$С < Д < К$

Из этого двойного неравенства мы видим, что возраст Саши ($С$) меньше возраста Коли ($К$). Следовательно, Саша моложе Коли.

Ответ: Саша.

1.39. Сосна выше ели, а ель выше берёзы. Какое дерево самое высокое; самое низкое?

Для решения этой логической задачи введем условные обозначения для высоты каждого дерева: пусть $С$ — это высота сосны, $Е$ — высота ели, а $Б$ — высота берёзы.

Из первого условия, «Сосна выше ели», мы можем составить математическое неравенство: $С > Е$.

Из второго условия, «ель выше берёзы», мы получаем второе неравенство: $Е > Б$.

Теперь мы можем объединить эти два неравенства в одну общую цепочку, так как они связаны через высоту ели ($Е$). Это дает нам следующее соотношение высот: $С > Е > Б$.

самое высокое

Анализируя полученное соотношение $С > Е > Б$, мы видим, что высота сосны ($С$) является самой большой. Она больше высоты ели, которая, в свою очередь, больше высоты берёзы. Таким образом, сосна — самое высокое дерево.
Ответ: сосна.

самое низкое

Исходя из того же соотношения $С > Е > Б$, мы видим, что высота берёзы ($Б$) является самой маленькой. Она меньше высоты ели, которая ниже сосны. Следовательно, берёза — самое низкое дерево.
Ответ: берёза.

1.40. Арбуз тяжелее яблока, и дыня тяжелее яблока. Можно ли по этим данным определить, что тяжелее: арбуз или дыня?

Для ответа на этот вопрос давайте представим данные в виде математических неравенств. Обозначим массу арбуза как $А$, массу дыни как $Д$, а массу яблока как $Я$.

Из условия задачи мы знаем следующее:

1. Арбуз тяжелее яблока. Это означает, что $А > Я$.

2. Дыня тяжелее яблока. Это означает, что $Д > Я$.

Нам нужно сравнить массы арбуза ($А$) и дыни ($Д$). Однако из имеющихся данных мы можем сделать вывод только о том, что массы и арбуза, и дыни больше массы яблока. Мы не можем сравнить их между собой. Чтобы это доказать, рассмотрим несколько возможных ситуаций, которые не противоречат условию.

Пример 1:
Предположим, масса яблока $Я = 200$ г.
Масса арбуза $А = 5000$ г (5 кг).
Масса дыни $Д = 3000$ г (3 кг).
В этом случае оба условия выполняются: $5000 > 200$ и $3000 > 200$. Здесь арбуз тяжелее дыни ($А > Д$).

Пример 2:
Предположим, масса яблока $Я = 200$ г.
Масса арбуза $А = 4000$ г (4 кг).
Масса дыни $Д = 6000$ г (6 кг).
В этом случае оба условия также выполняются: $4000 > 200$ и $6000 > 200$. Но здесь дыня тяжелее арбуза ($Д > А$).

Пример 3:
Также возможна ситуация, когда их массы равны. Например, $А = 4000$ г и $Д = 4000$ г. Условия $4000 > 200$ и $4000 > 200$ выполняются. В этом случае $А = Д$.

Поскольку возможны все три варианта отношений между массами арбуза и дыни, сделать однозначный вывод на основе предоставленных данных нельзя.

Ответ: Нет, по этим данным определить, что тяжелее: арбуз или дыня, невозможно.

1.41. Книга дороже тетради, и альбом дороже тетради. Можно ли по этим данным определить, что дороже: альбом или книга?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем имеющиеся данные с помощью логических рассуждений и примеров.

Введем обозначения для цен товаров:

Пусть $К$ — цена книги.
Пусть $А$ — цена альбома.
Пусть $Т$ — цена тетради.

Из условия задачи мы знаем два факта, которые можно записать в виде математических неравенств:

1. Книга дороже тетради: $К > Т$.

2. Альбом дороже тетради: $А > Т$.

Вопрос заключается в том, можем ли мы на основании этих двух неравенств однозначно сравнить $К$ и $А$. Чтобы это проверить, рассмотрим несколько возможных ситуаций, которые удовлетворяют исходным условиям.

Ситуация 1: Книга дороже альбома.
Предположим, цена тетради ($Т$) равна 20 руб. Пусть цена книги ($К$) равна 50 руб., а цена альбома ($А$) — 30 руб. Проверим условия:

$К > Т \implies 50 > 20$ (верно).
$А > Т \implies 30 > 20$ (верно).

В этом случае оба условия задачи выполнены, и при этом книга дороже альбома ($К > А$).

Ситуация 2: Альбом дороже книги.
Снова предположим, что цена тетради ($Т$) равна 20 руб. Но теперь пусть цена книги ($К$) будет 40 руб., а цена альбома ($А$) — 60 руб. Проверим условия:

$К > Т \implies 40 > 20$ (верно).
$А > Т \implies 60 > 20$ (верно).

В этом случае условия также выполнены, но уже альбом дороже книги ($А > К$).

Ситуация 3: Книга и альбом стоят одинаково.
Пусть цена тетради ($Т$) по-прежнему 20 руб., а цена книги ($К$) и цена альбома ($А$) равны 50 руб. Проверим условия:

$К > Т \implies 50 > 20$ (верно).
$А > Т \implies 50 > 20$ (верно).

В этом случае условия выполнены, и цены на книгу и альбом равны ($К = А$).

Так как мы смогли подобрать примеры, в которых при соблюдении исходных условий книга оказывалась дороже альбома, альбом — дороже книги, а также их цены были равны, мы не можем сделать однозначный вывод. Имеющейся информации недостаточно для сравнения цен книги и альбома.

Ответ: нет, по этим данным определить, что дороже — альбом или книга, нельзя.