Страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.27 Объясните, почему из $a < b$ и $b < c$ следует, что $a < c$.

Это утверждение, известное как свойство транзитивности неравенств, можно объяснить двумя способами: алгебраически и геометрически.

Алгебраическое объяснение

По определению, неравенство $a < b$ означает, что разность $b-a$ является положительным числом.
$a < b \implies b - a > 0$

Аналогично, неравенство $b < c$ означает, что разность $c-b$ является положительным числом.
$b < c \implies c - b > 0$

Чтобы доказать, что $a < c$, нам нужно показать, что разность $c-a$ также является положительным числом. Выразим эту разность, прибавив и отняв от нее одно и то же число $b$:
$c - a = c - b + b - a = (c - b) + (b - a)$

Мы представили разность $c-a$ в виде суммы двух слагаемых: $(c-b)$ и $(b-a)$. Из условий задачи мы знаем, что оба этих слагаемых — положительные числа. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом.
Следовательно, $c-a > 0$.

А раз разность $c-a$ положительна, то по определению это означает, что $a < c$.

Геометрическое объяснение

Рассмотрим расположение чисел $a$, $b$ и $c$ на числовой прямой.

Неравенство $a < b$ означает, что точка, соответствующая числу $a$, находится левее точки, соответствующей числу $b$.

Неравенство $b < c$ означает, что точка $b$ находится левее точки $c$.

Если точка $a$ лежит левее точки $b$, а точка $b$ в свою очередь лежит левее точки $c$, то логично, что точка $a$ будет находиться левее точки $c$. Это и означает, что $a < c$.

Ответ: Если $a < b$ и $b < c$, то разности $(b-a)$ и $(c-b)$ являются положительными числами. Их сумма, равная $(b-a) + (c-b) = c-a$, также является положительным числом. А если $c-a > 0$, то по определению $a < c$.

1.28. Какое число называют положительным?

Положительным числом называют любое действительное число, которое больше нуля. Если обозначить некоторое число буквой $a$, то условие его положительности записывается в виде неравенства: $a > 0$.

На координатной прямой все положительные числа находятся справа от точки отсчета (нуля).

Примерами положительных чисел могут служить: $1$; $5$; $10,5$; $\frac{3}{4}$; $\pi$.

Важно отметить, что число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Ответ: Положительным называют число, которое больше нуля.

1.29. Является ли нуль положительным числом?

Нет, нуль не является положительным числом. В математике принято строгое разделение всех действительных чисел на три группы:

• Положительные числа: это все числа, которые строго больше нуля (математически это записывается как $x > 0$).
• Отрицательные числа: это все числа, которые строго меньше нуля (математически это записывается как $x < 0$).
• Нуль: это число $0$, которое не принадлежит ни к одной из вышеуказанных групп.

Таким образом, нуль — это уникальное число, которое служит точкой отсчета и границей между положительными и отрицательными числами на числовой оси. Он не является ни положительным, ни отрицательным.

Важно не путать понятие «положительное число» с понятием «неотрицательное число». Неотрицательные числа — это множество, которое включает в себя все положительные числа и нуль (то есть все числа $x$, для которых выполняется условие $x \ge 0$). Аналогично, неположительные числа — это все отрицательные числа и нуль ($x \le 0$).

Ответ: нет, нуль не является положительным числом.

1.30. Существует ли целое число, меньшее любого натурального числа?

Да, такое целое число существует. Более того, таких чисел бесконечно много.

Для ответа на этот вопрос давайте определим, какие числа называются натуральными, а какие — целыми.

Множество натуральных чисел $N$ — это числа, которые используются при счете: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Самое маленькое натуральное число — это 1.

Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, им противоположные (отрицательные целые числа) и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Нам нужно найти такое целое число $x$, которое будет меньше любого натурального числа $n$. Это можно записать в виде неравенства: $x < n$ для любого $n \in N$.

Поскольку наименьшее натуральное число — это 1, то любое натуральное число $n$ удовлетворяет условию $n \ge 1$. Следовательно, если мы найдем целое число $x$, которое меньше 1, то оно будет меньше и всех остальных натуральных чисел.

Рассмотрим несколько примеров:

• Число 0. Это целое число. Сравним его с любым натуральным числом $n$. Так как $n \ge 1$, то $0 < 1 \le n$. Значит, $0 < n$ для любого натурального числа $n$. Таким образом, 0 — это целое число, меньшее любого натурального числа.

• Любое отрицательное целое число, например, -1, -5, -100. По определению, любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Все натуральные числа являются положительными. Следовательно, любое отрицательное целое число меньше любого натурального числа. Например, для числа -5 и любого натурального $n$: $-5 < n$.

Таким образом, все неположительные целые числа (то есть 0 и все отрицательные целые числа) меньше любого натурального числа.

Ответ: Да, существует. Например, число 0, а также любое отрицательное целое число.

1.31. Прочитайте неравенство:

а) $1 < 2$;

б) $7 < 10$;

в) $11 < 23$;

г) $12 > 4$;

д) $26 > 21$;

е) $123 < 132$.

а) Неравенство $1 < 2$ обозначает, что число 1 меньше числа 2. Читается: "один меньше двух".
Ответ: один меньше двух.

б) Неравенство $7 < 10$ обозначает, что число 7 меньше числа 10. Читается: "семь меньше десяти".
Ответ: семь меньше десяти.

в) Неравенство $11 < 23$ обозначает, что число 11 меньше числа 23. Читается: "одиннадцать меньше двадцати трёх".
Ответ: одиннадцать меньше двадцати трёх.

г) Неравенство $12 > 4$ обозначает, что число 12 больше числа 4. Читается: "двенадцать больше четырёх".
Ответ: двенадцать больше четырёх.

д) Неравенство $26 > 21$ обозначает, что число 26 больше числа 21. Читается: "двадцать шесть больше двадцати одного".
Ответ: двадцать шесть больше двадцати одного.

е) Неравенство $123 < 132$ обозначает, что число 123 меньше числа 132. Читается: "сто двадцать три меньше ста тридцати двух".
Ответ: сто двадцать три меньше ста тридцати двух.

1.32. Запишите неравенство:

а) $3 > 1$

б) $121 < 203$

в) $17 > 16$

г) $28 < 31$

д) $100 > 31$

е) $15 < 1500$

а) Чтобы записать утверждение "3 больше 1" в виде неравенства, используется математический знак "больше", который выглядит как `>`. Первое число, которое больше, ставится слева от знака, а второе — справа.

Ответ: $3 > 1$

б) Утверждение "121 меньше 203" записывается с помощью знака "меньше" — `<`. Число, которое меньше, ставится слева от знака, а то, которое больше, — справа.

Ответ: $121 < 203$

в) Фраза "17 больше 16" означает, что число 17 превосходит число 16. Это записывается с использованием знака "больше" ($>$).

Ответ: $17 > 16$

г) Фраза "28 меньше 31" означает, что число 28 меньше числа 31. Для этого используется знак "меньше" ($<$).

Ответ: $28 < 31$

д) Для записи утверждения "100 больше 31" необходимо использовать знак "больше" ($>$), так как 100 является большим числом по сравнению с 31.

Ответ: $100 > 31$

е) Утверждение "15 меньше 1500" записывается в виде неравенства с помощью знака "меньше" ($<$), поскольку 15 значительно меньше, чем 1500.

Ответ: $15 < 1500$

1.33. Верно ли поставлены знаки сравнения:

а) $123 > 121$;

б) $1000 < 100$;

в) $14\,376 > 13\,999$;

г) $377\,551 < 37\,751$;

д) $105\,987 > 105\,978$;

е) $756\,453 < 756\,454$?

а) $123 > 121$

Для сравнения двух трехзначных чисел начинаем сравнивать цифры в старших разрядах. В разряде сотен цифры одинаковые (1). В разряде десятков цифры также одинаковые (2). Сравниваем цифры в разряде единиц: $3 > 1$. Следовательно, число $123$ больше числа $121$. Знак сравнения поставлен верно.

Ответ: верно.

б) $1000 < 100$

Сравниваем количество разрядов (цифр) в числах. Число $1000$ является четырехзначным, а число $100$ — трехзначным. Число, в котором больше разрядов, всегда больше. Следовательно, $1000 > 100$. Знак сравнения поставлен неверно.

Ответ: неверно.

в) $14 376 > 13 999$

Оба числа являются пятизначными. Сравниваем цифры поразрядно, начиная со старшего разряда (десятки тысяч). Цифры в этом разряде совпадают (1). Переходим к следующему разряду (тысячи). Сравниваем цифры: $4 > 3$. Следовательно, число $14 376$ больше числа $13 999$. Знак сравнения поставлен верно.

Ответ: верно.

г) $377 551 < 37 751$

Сравниваем количество разрядов в числах. Число $377 551$ является шестизначным, а число $37 751$ — пятизначным. Число с большим количеством разрядов всегда больше. Следовательно, $377 551 > 37 751$. Знак сравнения поставлен неверно.

Ответ: неверно.

д) $105 987 > 105 978$

Оба числа шестизначные. Сравниваем поразрядно, начиная со старшего разряда. Цифры в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч, тысяч и сотен совпадают (1, 0, 5, 9). Переходим к разряду десятков. Сравниваем цифры: $8 > 7$. Следовательно, число $105 987$ больше числа $105 978$. Знак сравнения поставлен верно.

Ответ: верно.

е) $756 453 < 756 454$

Оба числа шестизначные. Сравниваем поразрядно, начиная со старшего разряда. Цифры в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч, тысяч, сотен и десятков совпадают (7, 5, 6, 4, 5). Переходим к разряду единиц. Сравниваем цифры: $3 < 4$. Следовательно, число $756 453$ меньше числа $756 454$. Знак сравнения поставлен верно.

Ответ: верно.