Страница 9 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.9. Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе? Как называют эти знаки?

Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе?

Для записи натуральных чисел в десятичной системе счисления, которая является общепринятой во всем мире, используется ровно десять различных знаков. Само название системы — "десятичная" — происходит от слова "десять" и указывает на количество этих базовых символов. Путем комбинирования этих десяти знаков можно записать любое натуральное число, сколь угодно большое.

Как называют эти знаки?

Эти знаки называются цифрами. В десятичной системе счисления используются так называемые арабские цифры. Это следующий набор из десяти символов: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Необходимо различать понятия "цифра" и "число": цифра — это лишь символ, в то время как число выражает количественную характеристику и может состоять из одной или нескольких цифр. Например, для записи числа $2024$ используются цифры $2, 0, 2, 4$.

Ответ: Для записи натуральных чисел в десятичной системе используют десять знаков. Эти знаки называют цифрами ($0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$).

1.10. Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего?

Для записи чисел в десятичной системе счисления используются десять арабских цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Разряд числа — это позиция (место), которую занимает цифра в записи числа. Например, в числе 473 цифра 3 стоит в разряде единиц, 7 – в разряде десятков, а 4 – в разряде сотен.

Высший разряд числа — это самый левый разряд в его записи. Цифра, стоящая в этом разряде, не может быть нулём, так как запись многозначного числа не начинается с нуля (если это не само число ноль). Например, число 47 мы не записываем как 047. Поэтому в высшем разряде могут стоять любые цифры, кроме нуля: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

В любом другом разряде, который не является высшим (то есть во всех разрядах правее первого), может стоять любая из десяти существующих цифр. Например, в числе 105 цифра 0 стоит в разряде десятков; в числе 218 цифра 1 стоит в разряде десятков; в числе 329 цифра 2 стоит в разряде десятков; в числе 503 цифра 3 стоит в разряде единиц. Можно привести примеры для каждой цифры от 0 до 9, показав, что она может находиться в разряде, не являющемся высшим. Следовательно, никаких ограничений на цифры в этих разрядах нет.

Ответ: В любом разряде числа, кроме высшего, могут стоять цифры $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

1.11. Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа?

Высший разряд числа — это позиция самой левой цифры в его записи (при условии, что число не равно нулю). Эта цифра имеет наибольший "вес" и определяет порядок величины числа. Например, в числе 481 высшим разрядом является разряд сотен, и в нём стоит цифра 4. В числе 92 высший разряд — это десятки, и в нём стоит цифра 9.

В принятой нами десятичной системе счисления для записи чисел используются десять цифр: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Однако цифра 0 не может стоять в высшем разряде (быть первой слева), так как в этом случае она не является значащей и не влияет на величину числа. Например, запись «05» эквивалентна записи «5». Первой значащей цифрой здесь является 5.

Единственное исключение — это само число 0, которое состоит из одной цифры 0. Во всех остальных случаях запись числа начинается с цифры, отличной от нуля.

Следовательно, в высшем разряде числа могут стоять любые цифры, кроме нуля.

Ответ: В высшем разряде числа могут стоять цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

1.12. Прочитайте следующие числа: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000, 10 000 000.

10

Число $10$ читается как «десять».

Ответ: десять.

100

Число $100$ читается как «сто».

Ответ: сто.

1000

Число $1000$ читается как «тысяча».

Ответ: тысяча.

10 000

Число $10 \ 000$ читается как «десять тысяч».

Ответ: десять тысяч.

100 000

Число $100 \ 000$ читается как «сто тысяч».

Ответ: сто тысяч.

1 000 000

Число $1 \ 000 \ 000$ читается как «один миллион».

Ответ: один миллион.

10 000 000

Число $10 \ 000 \ 000$ читается как «десять миллионов».

Ответ: десять миллионов.

1.13. Запишите следующие числа: сто тысяч, миллион, десять тысяч, сто миллионов, миллиард, десять миллионов, сто миллиардов, десять миллиардов.

сто тысяч
Число "тысяча" записывается как 1 000 (три нуля). "Сто тысяч" означает, что нам нужно взять сто таких тысяч. Математически это выражается как произведение 100 на 1 000. $100 \times 1000 = 100000$. Таким образом, мы записываем 100 и добавляем три нуля.
Ответ: 100 000

миллион
Число "миллион" является следующим крупным классом после тысяч. Один миллион равен тысяче тысяч ($1000 \times 1000$) и записывается как единица с шестью нулями.
Ответ: 1 000 000

десять тысяч
Число "десять тысяч" означает, что мы берем десять раз по тысяче. Это произведение 10 на 1 000. $10 \times 1000 = 10000$. Мы записываем 10 и добавляем три нуля.
Ответ: 10 000

сто миллионов
Число "миллион" записывается как 1 000 000 (шесть нулей). "Сто миллионов" означает, что нам нужно взять сто таких миллионов. $100 \times 1000000 = 100000000$. Записываем 100 и добавляем шесть нулей.
Ответ: 100 000 000

миллиард
Число "миллиард" (в некоторых странах его называют "биллион") следует за миллионом. Один миллиард равен тысяче миллионов ($1000 \times 1000000$) и записывается как единица с девятью нулями.
Ответ: 1 000 000 000

десять миллионов
Число "десять миллионов" означает, что мы берем десять раз по миллиону. Это произведение 10 на 1 000 000. $10 \times 1000000 = 10000000$. Записываем 10 и добавляем шесть нулей.
Ответ: 10 000 000

сто миллиардов
Число "миллиард" записывается как 1 000 000 000 (девять нулей). "Сто миллиардов" означает, что нам нужно взять сто таких миллиардов. $100 \times 1000000000 = 100000000000$. Записываем 100 и добавляем девять нулей.
Ответ: 100 000 000 000

десять миллиардов
Число "десять миллиардов" означает, что мы берем десять раз по миллиарду. Это произведение 10 на 1 000 000 000. $10 \times 1000000000 = 10000000000$. Записываем 10 и добавляем девять нулей.
Ответ: 10 000 000 000

1.14. Запишите и прочитайте число:

a) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное;

г) семизначное.

а) двузначное;

Двузначное число — это число, для записи которого используются две цифры. Каждая цифра занимает определённую позицию, или разряд (единицы, десятки). Например, запишем число $57$. Оно состоит из $5$ десятков и $7$ единиц и читается как «пятьдесят семь».

Ответ: $57$ — пятьдесят семь.

б) трёхзначное;

Трёхзначное число — это число, состоящее из трёх цифр (разряды единиц, десятков и сотен). В качестве примера запишем число $305$. В нём $3$ сотни, $0$ десятков и $5$ единиц. Читается оно как «триста пять».

Ответ: $305$ — триста пять.

в) четырёхзначное;

Четырёхзначное число состоит из четырёх цифр. К разрядам добавляется разряд тысяч. Для примера возьмём число $4912$. Оно состоит из $4$ тысяч, $9$ сотен, $1$ десятка и $2$ единиц. Читается это число как «четыре тысячи девятьсот двенадцать».

Ответ: $4912$ — четыре тысячи девятьсот двенадцать.

г) семизначное.

Семизначное число состоит из семи цифр и относится к классу миллионов. Запишем, например, число $2 546 891$. Для удобства чтения большие числа разбивают на классы по три цифры справа налево. Это число содержит $2$ миллиона, $546$ тысяч, $8$ сотен, $9$ десятков и $1$ единицу. Читается оно как «два миллиона пятьсот сорок шесть тысяч восемьсот девяносто один».

Ответ: $2 546 891$ — два миллиона пятьсот сорок шесть тысяч восемьсот девяносто один.

1.15. Запишите первое и последнее в натуральном ряду число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное.

а) двузначное;

Натуральный ряд чисел начинается с 1. Однозначные натуральные числа — это числа от 1 до 9. Первое число, которое следует за последним однозначным числом (9), это 10. Оно состоит из двух цифр, следовательно, 10 является первым (наименьшим) двузначным натуральным числом. Самое большое двузначное число — это число, которое предшествует первому трехзначному числу (100). Это число 99. Таким образом, 99 является последним (наибольшим) двузначным натуральным числом.

Ответ: 10 и 99.

б) трёхзначное;

По аналогии, первое трехзначное число следует сразу за последним двузначным числом (99). Это число 100. Оно является наименьшим натуральным числом, состоящим из трех цифр. Последнее трехзначное число — это число, которое идет перед первым четырехзначным числом (1000). Это число 999. Оно является наибольшим натуральным числом из трех цифр.

Ответ: 100 и 999.

в) четырёхзначное.

Первое четырехзначное число следует за последним трехзначным числом (999). Это число 1000. Это наименьшее натуральное число, для записи которого требуется четыре цифры. Первое пятизначное число — это 10000. Число, которое ему предшествует в натуральном ряду, — 9999. Это наибольшее число, состоящее из четырех цифр.

Ответ: 1000 и 9999.

1.16. Сколько натуральных чисел:

а) однозначных;

б) двузначных;

в) трёхзначных?

а) однозначных;

Натуральные числа – это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Однозначные натуральные числа – это те, которые записываются одной цифрой. К ним относятся числа от 1 до 9. Чтобы найти их количество, можно просто пересчитать их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего их 9. Также можно найти их количество, вычтя из наибольшего однозначного числа (9) наименьшее (1) и прибавив 1: $9 - 1 + 1 = 9$.

Ответ: 9

б) двузначных;

Двузначные натуральные числа – это числа, которые записываются двумя цифрами. Наименьшее двузначное число – 10, а наибольшее – 99. Чтобы найти их количество, можно из наибольшего двузначного числа вычесть все однозначные числа. Всего чисел от 1 до 99 – девяносто девять. Из них 9 чисел – однозначные. Следовательно, количество двузначных чисел равно: $99 - 9 = 90$. Другой способ – вычесть из наибольшего двузначного числа наименьшее и прибавить 1: $99 - 10 + 1 = 89 + 1 = 90$.

Ответ: 90

в) трёхзначных?

Трёхзначные натуральные числа – это числа, которые записываются тремя цифрами. Наименьшее такое число – 100, а наибольшее – 999. Чтобы найти их количество, можно из общего количества натуральных чисел до 999 вычесть все однозначные и двузначные числа. Всего чисел от 1 до 999 – девятьсот девяносто девять. Количество однозначных и двузначных чисел равно 99. Таким образом, количество трёхзначных чисел составляет: $999 - 99 = 900$. Также можно использовать формулу: из наибольшего трёхзначного числа вычесть наименьшее и прибавить 1: $999 - 100 + 1 = 899 + 1 = 900$.

Ответ: 900

1.17. В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч и т. д.

а) 123;

б) 1240;

в) 102;

г) 4397;

д) 13 487 905;

е) 2 000 009.

а) В числе 123: цифра 3 находится в разряде единиц, цифра 2 — в разряде десятков, цифра 1 — в разряде сотен.
Ответ: разряд единиц — 3, разряд десятков — 2, разряд сотен — 1.

б) В числе 1240: цифра 0 находится в разряде единиц, цифра 4 — в разряде десятков, цифра 2 — в разряде сотен, цифра 1 — в разряде тысяч.
Ответ: разряд единиц — 0, разряд десятков — 4, разряд сотен — 2, разряд тысяч — 1.

в) В числе 102: цифра 2 находится в разряде единиц, цифра 0 — в разряде десятков, цифра 1 — в разряде сотен.
Ответ: разряд единиц — 2, разряд десятков — 0, разряд сотен — 1.

г) В числе 4397: цифра 7 находится в разряде единиц, цифра 9 — в разряде десятков, цифра 3 — в разряде сотен, цифра 4 — в разряде тысяч.
Ответ: разряд единиц — 7, разряд десятков — 9, разряд сотен — 3, разряд тысяч — 4.

д) В числе 13 487 905: цифра 5 — разряд единиц, 0 — разряд десятков, 9 — разряд сотен, 7 — разряд тысяч, 8 — разряд десятков тысяч, 4 — разряд сотен тысяч, 3 — разряд миллионов, 1 — разряд десятков миллионов.
Ответ: разряд единиц — 5, разряд десятков — 0, разряд сотен — 9, разряд тысяч — 7, разряд десятков тысяч — 8, разряд сотен тысяч — 4, разряд миллионов — 3, разряд десятков миллионов — 1.

е) В числе 2 000 009: цифра 9 находится в разряде единиц, цифра 2 — в разряде миллионов. Все промежуточные разряды (десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и сотни тысяч) представлены цифрой 0.
Ответ: разряд единиц — 9; разряды десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч — 0; разряд миллионов — 2.

1.18. Запишите число, состоящее из:

а) 1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 5 единиц;

б) 5 десятков тысяч, 9 тысяч, 7 сотен и 4 единиц;

в) 8 сотен и 6 десятков;

г) 7 сотен тысяч и 3 десятков.

Для того чтобы записать число, состоящее из разрядных слагаемых, необходимо представить каждый разряд в виде числа и сложить их. Разрядные единицы (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.) соответствуют позициям цифр в числе справа налево.

а) 1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 5 единиц.

Представим число как сумму его разрядных слагаемых:

$1 \times 1000 + 2 \times 100 + 3 \times 10 + 5 \times 1 = 1000 + 200 + 30 + 5 = 1235$

Или, расставляя цифры по разрядам: 1 в разряде тысяч, 2 в разряде сотен, 3 в разряде десятков, 5 в разряде единиц. Получаем число 1235.

Ответ: 1235

б) 5 десятков тысяч, 9 тысяч, 7 сотен и 4 единиц.

В этом числе отсутствует разряд десятков, поэтому на его месте будет стоять цифра 0. Представим число как сумму:

$5 \times 10000 + 9 \times 1000 + 7 \times 100 + 0 \times 10 + 4 \times 1 = 50000 + 9000 + 700 + 4 = 59704$

Расставляя цифры по разрядам: 5 в разряде десятков тысяч, 9 в разряде тысяч, 7 в разряде сотен, 0 в разряде десятков, 4 в разряде единиц. Получаем число 59704.

Ответ: 59704

в) 8 сотен и 6 десятков.

В этом числе отсутствует разряд единиц, поэтому на его месте будет 0. Представим число как сумму:

$8 \times 100 + 6 \times 10 + 0 \times 1 = 800 + 60 = 860$

Расставляя цифры по разрядам: 8 в разряде сотен, 6 в разряде десятков, 0 в разряде единиц. Получаем число 860.

Ответ: 860

г) 7 сотен тысяч и 3 десятков.

В этом числе отсутствуют разряды десятков тысяч, тысяч, сотен и единиц. На их местах будут стоять нули. Представим число как сумму:

$7 \times 100000 + 0 \times 10000 + 0 \times 1000 + 0 \times 100 + 3 \times 10 + 0 \times 1 = 700000 + 30 = 700030$

Расставляя цифры по разрядам: 7 в разряде сотен тысяч, 0 в разряде десятков тысяч, 0 в разряде тысяч, 0 в разряде сотен, 3 в разряде десятков, 0 в разряде единиц. Получаем число 700030.

Ответ: 700030

1.19. Прочитайте следующие числа, запишите их в виде суммы разрядных слагаемых:

а) $48$;

б) $159$;

в) $2945$;

г) $34 196$;

д) $102$;

е) $150$;

ж) $4067$;

з) $10 504$;

и) $6401$;

к) $5060$;

л) $12 007$;

м) $104 090$.

а) Число 48 (сорок восемь) состоит из 4 десятков и 8 единиц. Чтобы записать его в виде суммы разрядных слагаемых, нужно представить каждый разряд в виде отдельного числа и сложить их: $48 = 4 \cdot 10 + 8 \cdot 1 = 40 + 8$.
Ответ: $48 = 40 + 8$

б) Число 159 (сто пятьдесят девять) состоит из 1 сотни, 5 десятков и 9 единиц. Сумма его разрядных слагаемых: $159 = 1 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 9 \cdot 1 = 100 + 50 + 9$.
Ответ: $159 = 100 + 50 + 9$

в) Число 2945 (две тысячи девятьсот сорок пять) состоит из 2 тысяч, 9 сотен, 4 десятков и 5 единиц. Сумма его разрядных слагаемых: $2945 = 2 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 2000 + 900 + 40 + 5$.
Ответ: $2945 = 2000 + 900 + 40 + 5$

г) Число 34 196 (тридцать четыре тысячи сто девяносто шесть) состоит из 3 десятков тысяч, 4 тысяч, 1 сотни, 9 десятков и 6 единиц. Сумма его разрядных слагаемых: $34196 = 3 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 9 \cdot 10 + 6 \cdot 1 = 30000 + 4000 + 100 + 90 + 6$.
Ответ: $34196 = 30000 + 4000 + 100 + 90 + 6$

д) Число 102 (сто два) состоит из 1 сотни и 2 единиц. Разряд десятков равен нулю, поэтому в сумме разрядных слагаемых он отсутствует. Сумма: $102 = 1 \cdot 100 + 2 \cdot 1 = 100 + 2$.
Ответ: $102 = 100 + 2$

е) Число 150 (сто пятьдесят) состоит из 1 сотни и 5 десятков. Разряд единиц равен нулю. Сумма разрядных слагаемых: $150 = 1 \cdot 100 + 5 \cdot 10 = 100 + 50$.
Ответ: $150 = 100 + 50$

ж) Число 4067 (четыре тысячи шестьдесят семь) состоит из 4 тысяч, 6 десятков и 7 единиц. Разряд сотен равен нулю. Сумма разрядных слагаемых: $4067 = 4 \cdot 1000 + 6 \cdot 10 + 7 \cdot 1 = 4000 + 60 + 7$.
Ответ: $4067 = 4000 + 60 + 7$

з) Число 10 504 (десять тысяч пятьсот четыре) состоит из 1 десятка тысяч, 5 сотен и 4 единиц. Разряды тысяч и десятков равны нулю. Сумма разрядных слагаемых: $10504 = 1 \cdot 10000 + 5 \cdot 100 + 4 \cdot 1 = 10000 + 500 + 4$.
Ответ: $10504 = 10000 + 500 + 4$

и) Число 6401 (шесть тысяч четыреста один) состоит из 6 тысяч, 4 сотен и 1 единицы. Разряд десятков равен нулю. Сумма разрядных слагаемых: $6401 = 6 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 1 \cdot 1 = 6000 + 400 + 1$.
Ответ: $6401 = 6000 + 400 + 1$

к) Число 5060 (пять тысяч шестьдесят) состоит из 5 тысяч и 6 десятков. Разряды сотен и единиц равны нулю. Сумма разрядных слагаемых: $5060 = 5 \cdot 1000 + 6 \cdot 10 = 5000 + 60$.
Ответ: $5060 = 5000 + 60$

л) Число 12 007 (двенадцать тысяч семь) состоит из 1 десятка тысяч, 2 тысяч и 7 единиц. Разряды сотен и десятков равны нулю. Сумма разрядных слагаемых: $12007 = 1 \cdot 10000 + 2 \cdot 1000 + 7 \cdot 1 = 10000 + 2000 + 7$.
Ответ: $12007 = 10000 + 2000 + 7$

м) Число 104 090 (сто четыре тысячи девяносто) состоит из 1 сотни тысяч, 4 тысяч и 9 десятков. Разряды десятков тысяч, сотен и единиц равны нулю. Сумма разрядных слагаемых: $104090 = 1 \cdot 100000 + 4 \cdot 1000 + 9 \cdot 10 = 100000 + 4000 + 90$.
Ответ: $104090 = 100000 + 4000 + 90$

1.20. Запишите числа:

а) триста двадцать;

б) сто тридцать тысяч пятьдесят;

в) двести восемь тысяч двадцать четыре;

г) два миллиона три тысячи;

д) одиннадцать миллионов двенадцать.

а) Число "триста двадцать" состоит из двух частей: "триста", что соответствует числу $300$, и "двадцать", что соответствует числу $20$. Чтобы записать итоговое число цифрами, нужно сложить эти части: $300 + 20 = 320$.
Ответ: 320

б) Число "сто тридцать тысяч пятьдесят" состоит из "сто тридцать тысяч" ($130\;000$) и "пятьдесят" ($50$). При записи этого числа цифрами нужно помнить, что в классе единиц разряд сотен отсутствует, поэтому на его месте ставится ноль. Складываем значения: $130\;000 + 50 = 130\;050$.
Ответ: 130 050

в) Число "двести восемь тысяч двадцать четыре" раскладывается на "двести восемь тысяч" ($208\;000$) и "двадцать четыре" ($24$). В классе единиц разряд сотен равен нулю. Суммируем части и получаем число: $208\;000 + 24 = 208\;024$.
Ответ: 208 024

г) Число "два миллиона три тысячи" состоит из "два миллиона" ($2\;000\;000$) и "три тысячи" ($3\;000$). В этом числе отсутствуют разряды сотен и десятков тысяч, а также весь класс единиц (сотни, десятки, единицы), поэтому на их местах записываются нули. Сложение даёт: $2\;000\;000 + 3\;000 = 2\;003\;000$.
Ответ: 2 003 000

д) Число "одиннадцать миллионов двенадцать" состоит из "одиннадцать миллионов" ($11\;000\;000$) и "двенадцать" ($12$). Весь класс тысяч (сотни, десятки и единицы тысяч), а также разряд сотен в классе единиц равны нулю, поэтому на этих позициях будут стоять нули. Складываем части: $11\;000\;000 + 12 = 11\;000\;012$.
Ответ: 11 000 012