Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.172 Когда говорят, что натуральное число $a$ делится нацело на натуральное число $b$?

Говорят, что натуральное число $a$ делится нацело на натуральное число $b$, если существует такое натуральное число $c$, что выполняется равенство: $a = b \cdot c$.

Это означает, что при делении числа $a$ (делимого) на число $b$ (делитель) в результате получается натуральное число $c$ (частное), а остаток от деления равен нулю.

В таком случае также говорят, что число $b$ является делителем числа $a$, а число $a$ является кратным числу $b$.

Например:
Число $42$ делится нацело на $6$, потому что существует натуральное число $7$, такое, что $42 = 6 \cdot 7$. Здесь $6$ — делитель числа $42$, а $42$ — кратное числу $6$.

Другой пример:
Число $16$ не делится нацело на $5$, так как нет такого натурального числа $c$, чтобы выполнялось равенство $16 = 5 \cdot c$. При делении $16$ на $5$ получается частное $3$ и остаток $1$.

Ответ: Говорят, что натуральное число $a$ делится нацело на натуральное число $b$, если существует такое натуральное число $c$, что $a = b \cdot c$.

1.173 Назовите делимое, делитель и частное в примере $35 : 5 = 7$.

В примере на деление $35 : 5 = 7$ каждый компонент имеет своё название.

Делимое
Делимое — это число, которое делят. В данном выражении это число 35.
Ответ: 35.

Делитель
Делитель — это число, на которое делят. В данном выражении это число 5.
Ответ: 5.

Частное
Частное — это результат деления. В данном выражении это число 7.
Ответ: 7.

1.174 На какие числа делится нацело любое натуральное число?

1.174 Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти такое число (или числа), которое является делителем любого натурального числа. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета: $1, 2, 3, 4, \dots$

По определению, число $a$ делится нацело на число $b$, если существует такое целое число $c$, что $a = b \cdot c$. Мы ищем такое число $b$, которое будет делителем для любого натурального числа $a$.

1. Проверим число 1.
Возьмем любое натуральное число $n$. При делении $n$ на 1 мы получаем:
$n \div 1 = n$
Так как любое натуральное число $n$ является целым, то деление на 1 всегда происходит без остатка. Следовательно, любое натуральное число делится на 1.

2. Проверим любое другое натуральное число $d > 1$.
Чтобы число $d$ было делителем любого натурального числа, оно должно делить, в том числе, и число 1. Однако, если мы разделим 1 на любое натуральное число $d$, которое больше 1, результат не будет целым числом:
$1 \div d = \frac{1}{d}$
Например, $1 \div 2 = 0.5$, $1 \div 5 = 0.2$. Эти результаты не являются целыми числами.
Следовательно, никакое натуральное число, кроме 1, не может делить нацело каждое натуральное число.

Таким образом, существует только одно такое число.

Ответ: Любое натуральное число делится нацело на 1.

1.175 Что получается при делении нуля на любое натуральное число?

При делении нуля на любое натуральное число в результате всегда получается ноль.

Давайте разберемся, почему это так, используя определение операции деления. Деление — это операция, обратная умножению. Если частное от деления числа $a$ на число $b$ равно $c$, то это означает, что произведение $c$ и $b$ равно $a$.

Это можно записать в виде правила: $a \div b = c$ тогда и только тогда, когда $c \times b = a$.

В нашем случае делимое $a = 0$, а делитель $b$ — это любое натуральное число. Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов: $1, 2, 3, \ldots$. Важно отметить, что любое натуральное число отлично от нуля.

Пусть $n$ — любое натуральное число (то есть $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$). Мы хотим найти результат выражения $0 \div n$. Обозначим искомый результат буквой $x$:

$0 \div n = x$

Используя правило связи деления и умножения, мы можем переписать это равенство следующим образом:

$x \times n = 0$

Теперь задача сводится к поиску такого числа $x$, которое при умножении на ненулевое число $n$ даст в результате 0. Из свойств умножения мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку по условию $n$ — натуральное число, оно не равно нулю ($n \neq 0$). Следовательно, для того чтобы равенство $x \times n = 0$ было верным, множитель $x$ должен быть равен нулю.

Таким образом, $x = 0$.

Примеры:

• $0 \div 7 = 0$, так как проверка умножением даёт $0 \times 7 = 0$.
• $0 \div 125 = 0$, так как проверка умножением даёт $0 \times 125 = 0$.

Ответ: 0

1.176. Можно ли делить на нуль?

В рамках стандартной арифметики и алгебры делить на нуль нельзя. Эта операция считается неопределенной, то есть не имеющей смысла. Чтобы понять почему, нужно вспомнить, что такое деление.

Деление является операцией, обратной умножению. Разделить число $a$ на число $b$ — значит найти такое число $c$, для которого будет верно равенство: $b \cdot c = a$.

Давайте применим это определение к делению на нуль.

Рассмотрим первый случай: деление числа, отличного от нуля, на нуль. Например, $5 : 0$. Если бы у этого выражения был результат, назовем его $c$, то должно было бы выполняться равенство $0 \cdot c = 5$. Но из свойств умножения известно, что произведение любого числа на нуль равно нулю. Таким образом, $0 \cdot c$ всегда равно $0$, а не $5$. Мы получили противоречие, из которого следует, что не существует такого числа $c$, которое было бы результатом деления $5$ на $0$.

Теперь рассмотрим второй случай: деление нуля на нуль, то есть $0 : 0$. Попробуем найти результат $c$. Для этого должно выполняться равенство $0 \cdot c = 0$. Этому равенству удовлетворяет абсолютно любое число $c$, так как любое число при умножении на ноль дает ноль. Поскольку результатом может быть и 1, и 2, и -100, и любое другое число, у операции нет единственного, однозначного ответа. В математике такая ситуация называется неопределенностью.

Так как при попытке разделить на нуль мы либо приходим к противоречию (для ненулевых чисел), либо получаем неопределенность (для нуля), эта операция запрещена.

Ответ: Нет, в стандартной арифметике делить на нуль нельзя, так как эта операция не определена.

1.177 Какое число называют частным чисел $8 \div 2$; $20 \div 4$?

Частное — это результат деления одного числа (делимого) на другое (делитель). В задаче требуется найти частное для двух пар чисел.

Частное чисел 8 и 2

Чтобы найти частное чисел 8 и 2, нужно разделить 8 на 2.

Выполним вычисление:

$8 \div 2 = 4$

Таким образом, число, которое называют частным чисел 8 и 2, – это 4.

Ответ: 4

Частное чисел 20 и 4

Чтобы найти частное чисел 20 и 4, нужно разделить 20 на 4.

Выполним вычисление:

$20 \div 4 = 5$

Таким образом, число, которое называют частным чисел 20 и 4, – это 5.

Ответ: 5

1.178 Докажите, что $18 : 2 = 9$; $12 : 4 = 3$; $0 : 5 = 0$.

18 : 2 = 9

Доказательство основывается на определении деления как операции, обратной умножению. Равенство $a : b = c$ является верным, если произведение частного ($c$) на делитель ($b$) равно делимому ($a$), то есть $c \times b = a$.
Для равенства $18 : 2 = 9$ необходимо проверить, будет ли верным равенство $9 \times 2 = 18$.
Выполним умножение: $9 \times 2 = 18$.
Так как полученное равенство $18 = 18$ верно, то и исходное равенство $18 : 2 = 9$ доказано.

Ответ: Равенство $18 : 2 = 9$ доказано, так как $9 \times 2 = 18$.

12 : 4 = 3

Аналогично, для доказательства равенства $12 : 4 = 3$ мы должны проверить, выполняется ли соответствующее равенство для умножения: $3 \times 4 = 12$.
Выполним проверку умножением: $3 \times 4 = 12$.
Так как равенство $12 = 12$ является верным, то и исходное равенство $12 : 4 = 3$ доказано.

Ответ: Равенство $12 : 4 = 3$ доказано, так как $3 \times 4 = 12$.

0 : 5 = 0

Чтобы доказать, что $0 : 5 = 0$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $0 \times 5 = 0$.
Согласно свойству умножения на ноль, произведение любого числа на ноль равно нулю. Таким образом, равенство $0 \times 5 = 0$ является верным.
Следовательно, исходное утверждение о делении $0 : 5 = 0$ доказано.

Ответ: Равенство $0 : 5 = 0$ доказано, так как $0 \times 5 = 0$.

1.179. Объясните, почему верно равенство:

а) $ (42 : 6) \cdot 6 = 42 $

б) $ (625 : 25) \cdot 25 = 625 $

Эти равенства верны, потому что умножение и деление являются взаимно обратными арифметическими операциями. Если какое-либо число разделить на другое (отличное от нуля), а затем результат умножить на то же самое число, то получится исходное число. В общем виде это свойство можно записать так: $(a : b) \cdot b = a$ (при условии, что $b \neq 0$).

а)

Рассмотрим равенство $(42 : 6) \cdot 6 = 42$.

Здесь число 42 сначала делится на 6, а затем полученный результат умножается на 6. Так как деление на 6 и умножение на 6 — это взаимно обратные действия, они "отменяют" друг друга, и мы возвращаемся к исходному числу 42.

Проверим это, выполнив действия по порядку:

1. $42 : 6 = 7$

2. $7 \cdot 6 = 42$

Получили $42 = 42$, что подтверждает верность равенства.

Ответ: Равенство верно, так как умножение на 6 является обратной операцией для деления на 6, и в результате получается исходное число 42.

б)

Рассмотрим равенство $(625 : 25) \cdot 25 = 625$.

В этом случае число 625 сначала делится на 25, а затем результат умножается на 25. По тому же правилу о взаимно обратных операциях, конечным результатом будет исходное число 625.

Проверим это, выполнив действия по порядку:

1. $625 : 25 = 25$

2. $25 \cdot 25 = 625$

Получили $625 = 625$, что подтверждает верность равенства.

Ответ: Равенство верно, так как деление и последующее умножение на одно и то же число (25) являются взаимно обратными действиями, что возвращает исходное число 625.

1.180. Заполните пропуски:

а) $(56 : 8) \cdot ... = 56$;

б) $(54 : ...) \cdot 9 = 54$;

в) $(45 : ...) \cdot ... = 45$;

г) $(50 : ...) \cdot ... = 50$.

а) В данном выражении $(56 : 8) \cdot ... = 56$ необходимо найти неизвестный множитель. Сначала выполним действие в скобках: $56 : 8 = 7$. Теперь уравнение принимает вид: $7 \cdot ... = 56$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (56) разделить на известный множитель (7). Получаем: $56 : 7 = 8$. Таким образом, в пропуск нужно вписать число 8. Проверим: $(56 : 8) \cdot 8 = 7 \cdot 8 = 56$. Всё верно. Ответ: $(56 : 8) \cdot 8 = 56$

б) В выражении $(54 : ...) \cdot 9 = 54$ нужно найти неизвестный делитель. Выражение в скобках $(54 : ...)$ можно рассматривать как неизвестный множитель. Чтобы его найти, разделим произведение (54) на известный множитель (9): $54 : 9 = 6$. Теперь мы знаем, что частное в скобках равно 6, то есть $54 : ... = 6$. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (54) разделить на частное (6): $54 : 6 = 9$. В пропуск вписываем число 9. Проверим: $(54 : 9) \cdot 9 = 6 \cdot 9 = 54$. Всё верно. Ответ: $(54 : 9) \cdot 9 = 54$

в) Выражение $(45 : ...) \cdot ... = 45$ имеет два пропуска. Заметим, что если число сначала разделить на какое-либо число, а затем результат умножить на то же самое число, то получится исходное число. Это свойство можно записать формулой: $(a : b) \cdot b = a$ (при $b \ne 0$). Следовательно, в оба пропуска можно вписать одинаковое число, являющееся делителем числа 45. Например, выберем число 5. Тогда получим: $(45 : 5) \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$. Равенство верное. Возможны и другие варианты, например, с числами 3, 9, 15. Ответ: $(45 : 5) \cdot 5 = 45$

г) Задание $(50 : ...) \cdot ... = 50$ решается аналогично предыдущему. Используем свойство $(a : b) \cdot b = a$. В оба пропуска нужно вписать одинаковое число, которое является делителем числа 50. Делителями 50 являются, например, числа 2, 5, 10, 25. Выберем число 10. Подставим его в пропуски: $(50 : 10) \cdot 10 = 5 \cdot 10 = 50$. Равенство выполняется. Ответ: $(50 : 10) \cdot 10 = 50$

1.181. Вычислите:

а) $(144 \div 12) \cdot 12$;

б) $(132 \div 11) \cdot 11$.

а) Для вычисления выражения $(144 : 12) \cdot 12$ можно заметить, что деление и умножение на одно и то же число (в данном случае на 12) являются взаимно обратными операциями. Это означает, что если число сначала разделить на другое число, а затем результат умножить на то же самое число, то получится исходное число. Это свойство можно записать в виде формулы: $(a : b) \cdot b = a$, при условии, что $b \neq 0$.
В нашем случае $a = 144$ и $b = 12$, поэтому $(144 : 12) \cdot 12 = 144$.
Также можно выполнить вычисления по действиям:
1. Сначала выполним действие в скобках: $144 : 12 = 12$.
2. Затем умножим полученный результат на 12: $12 \cdot 12 = 144$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 144

б) Этот пример решается аналогично предыдущему, используя то же свойство взаимно обратных операций $(a : b) \cdot b = a$.
Здесь $a = 132$ и $b = 11$. Таким образом, результат выражения будет равен исходному числу 132.
$(132 : 11) \cdot 11 = 132$.
Проверим, выполнив вычисления по шагам:
1. Выполним деление в скобках: $132 : 11 = 12$.
2. Умножим результат на 11: $12 \cdot 11 = 132$.
Результат подтверждается.
Ответ: 132

1.182. Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами:

а) 12;

б) 15;

в) 25;

г) 20;

д) 27;

е) 0;

ж) 16;

з) 24.

а) Число 12 можно записать в виде произведения двух множителей следующими способами, находя все пары его делителей:
$12 = 1 \cdot 12$
$12 = 2 \cdot 6$
$12 = 3 \cdot 4$
Так как от перестановки мест множителей произведение не меняется, но способ записи считается другим, мы можем также записать:
$12 = 12 \cdot 1$
$12 = 6 \cdot 2$
$12 = 4 \cdot 3$
Ответ: $1 \cdot 12$, $12 \cdot 1$, $2 \cdot 6$, $6 \cdot 2$, $3 \cdot 4$, $4 \cdot 3$.

б) Число 15 можно записать в виде произведения двух множителей следующими способами:
$15 = 1 \cdot 15$
$15 = 3 \cdot 5$
А также, поменяв множители местами:
$15 = 15 \cdot 1$
$15 = 5 \cdot 3$
Ответ: $1 \cdot 15$, $15 \cdot 1$, $3 \cdot 5$, $5 \cdot 3$.

в) Число 25 можно записать в виде произведения двух множителей следующими способами:
$25 = 1 \cdot 25$
$25 = 5 \cdot 5$
Поменяв множители местами в первом произведении, получаем $25 = 25 \cdot 1$. Во втором произведении множители одинаковы, поэтому перестановка не дает нового способа записи.
Ответ: $1 \cdot 25$, $25 \cdot 1$, $5 \cdot 5$.

г) Число 20 можно записать в виде произведения двух множителей следующими способами:
$20 = 1 \cdot 20$
$20 = 2 \cdot 10$
$20 = 4 \cdot 5$
А также, поменяв множители местами:
$20 = 20 \cdot 1$
$20 = 10 \cdot 2$
$20 = 5 \cdot 4$
Ответ: $1 \cdot 20$, $20 \cdot 1$, $2 \cdot 10$, $10 \cdot 2$, $4 \cdot 5$, $5 \cdot 4$.

д) Число 27 можно записать в виде произведения двух множителей следующими способами:
$27 = 1 \cdot 27$
$27 = 3 \cdot 9$
А также, поменяв множители местами:
$27 = 27 \cdot 1$
$27 = 9 \cdot 3$
Ответ: $1 \cdot 27$, $27 \cdot 1$, $3 \cdot 9$, $9 \cdot 3$.

е) Число 0 можно представить в виде произведения двух множителей бесконечным числом способов, так как произведение любого числа на ноль равно нулю. Общая формула: $0 = 0 \cdot n$, где $n$ – любое число.
Примеры:
$0 = 0 \cdot 1$
$0 = 7 \cdot 0$
$0 = 0 \cdot 0$
Ответ: $0 = 0 \cdot n$, где $n$ – любое число (например, $0 \cdot 5$).

ж) Число 16 можно записать в виде произведения двух множителей следующими способами:
$16 = 1 \cdot 16$
$16 = 2 \cdot 8$
$16 = 4 \cdot 4$
Поменяв множители местами, получаем также $16 = 16 \cdot 1$ и $16 = 8 \cdot 2$. В произведении $4 \cdot 4$ перестановка множителей не дает нового способа.
Ответ: $1 \cdot 16$, $16 \cdot 1$, $2 \cdot 8$, $8 \cdot 2$, $4 \cdot 4$.

з) Число 24 можно записать в виде произведения двух множителей следующими способами:
$24 = 1 \cdot 24$
$24 = 2 \cdot 12$
$24 = 3 \cdot 8$
$24 = 4 \cdot 6$
А также, поменяв множители местами:
$24 = 24 \cdot 1$
$24 = 12 \cdot 2$
$24 = 8 \cdot 3$
$24 = 6 \cdot 4$
Ответ: $1 \cdot 24$, $24 \cdot 1$, $2 \cdot 12$, $12 \cdot 2$, $3 \cdot 8$, $8 \cdot 3$, $4 \cdot 6$, $6 \cdot 4$.

1.183. Объясните, как найти неизвестное число $x$:

а) $31 \cdot x = 93$;

б) $x \cdot 4 = 168$;

в) $120 : x = 40$;

г) $x : 42 = 2$.

а) В данном уравнении $31 \cdot x = 93$ неизвестное число $x$ является множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение ($93$) разделить на известный множитель ($31$).

$x = 93 : 31$

$x = 3$

Ответ: 3

б) В данном уравнении $x \cdot 4 = 168$ неизвестное число $x$ является множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение ($168$) разделить на известный множитель ($4$).

$x = 168 : 4$

$x = 42$

Ответ: 42

в) В данном уравнении $120 : x = 40$ неизвестное число $x$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое ($120$) разделить на частное ($40$).

$x = 120 : 40$

$x = 3$

Ответ: 3

г) В данном уравнении $x : 42 = 2$ неизвестное число $x$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное ($2$) умножить на делитель ($42$).

$x = 42 \cdot 2$

$x = 84$

Ответ: 84

1.184. Найдите частное чисел:

а) 40 и 8;

б) 72 и 9;

в) 64 и 8;

г) 560 и 7;

д) 140 и 7;

е) 360 и 6;

ж) 606 и 2;

з) 808 и 4;

и) 909 и 9.

а) Чтобы найти частное чисел 40 и 8, необходимо разделить 40 на 8.

$40 \div 8 = 5$

Ответ: 5

б) Чтобы найти частное чисел 72 и 9, необходимо разделить 72 на 9.

$72 \div 9 = 8$

Ответ: 8

в) Чтобы найти частное чисел 64 и 8, необходимо разделить 64 на 8.

$64 \div 8 = 8$

Ответ: 8

г) Чтобы найти частное чисел 560 и 7, необходимо разделить 560 на 7.

$560 \div 7 = 80$

Ответ: 80

д) Чтобы найти частное чисел 140 и 7, необходимо разделить 140 на 7.

$140 \div 7 = 20$

Ответ: 20

е) Чтобы найти частное чисел 360 и 6, необходимо разделить 360 на 6.

$360 \div 6 = 60$

Ответ: 60

ж) Чтобы найти частное чисел 606 и 2, необходимо разделить 606 на 2.

$606 \div 2 = 303$

Ответ: 303

з) Чтобы найти частное чисел 808 и 4, необходимо разделить 808 на 4.

$808 \div 4 = 202$

Ответ: 202

и) Чтобы найти частное чисел 909 и 9, необходимо разделить 909 на 9.

$909 \div 9 = 101$

Ответ: 101

1.185. Вычислите частное по образцу:

а) $400 : 80 = (400 : 10) : (80 : 10) = 40 : 8 = ...;$

б) $800 : 400;$

В) $16000 : 800;$

Г) $300 : 50;$

Д) $6400 : 1600;$

е) $20000 : 4000;$

ж) $2000 : 500.$

а) Для вычисления частного $400 : 80$ используем свойство частного: если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное число, то частное не изменится. В данном случае, как показано в образце, удобно разделить оба числа на 10.

$400 : 80 = (400 : 10) : (80 : 10) = 40 : 8 = 5$.

Ответ: 5.

б) Для вычисления частного $800 : 400$ разделим делимое и делитель на 100, так как оба числа оканчиваются на два нуля, что упростит вычисление.

$800 : 400 = (800 : 100) : (400 : 100) = 8 : 4 = 2$.

Ответ: 2.

в) Для вычисления частного $16 000 : 800$ разделим делимое и делитель на 100, так как это наибольшая степень 10, на которую делятся оба числа без остатка.

$16 000 : 800 = (16 000 : 100) : (800 : 100) = 160 : 8 = 20$.

Ответ: 20.

г) Для вычисления частного $300 : 50$ разделим делимое и делитель на 10.

$300 : 50 = (300 : 10) : (50 : 10) = 30 : 5 = 6$.

Ответ: 6.

д) Для вычисления частного $6400 : 1600$ разделим делимое и делитель на 100.

$6400 : 1600 = (6400 : 100) : (1600 : 100) = 64 : 16 = 4$.

Ответ: 4.

е) Для вычисления частного $20 000 : 4000$ разделим делимое и делитель на 1000, так как оба числа оканчиваются на три нуля.

$20 000 : 4000 = (20 000 : 1000) : (4000 : 1000) = 20 : 4 = 5$.

Ответ: 5.

ж) Для вычисления частного $2000 : 500$ разделим делимое и делитель на 100.

$2000 : 500 = (2000 : 100) : (500 : 100) = 20 : 5 = 4$.

Ответ: 4.

1.186. При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно. Вычислите частное по образцу:

а) $95 : 5 = (95 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 190 : 10 = ...;$

б) $2400 : 50 = (2400 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 4800 : 100 = ...;$

в) $3200 : 5;$

г) $1320 : 5;$

д) $4320 : 5;$

е) $2350 : 50;$

ж) $7200 : 50;$

з) $9200 : 50.$

в) Для вычисления $3200 : 5$ умножим делимое и делитель на 2:

$3200 : 5 = (3200 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 6400 : 10 = 640$.
Ответ: 640.

г) Для вычисления $1320 : 5$ умножим делимое и делитель на 2:

$1320 : 5 = (1320 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 2640 : 10 = 264$.
Ответ: 264.

д) Для вычисления $4320 : 5$ умножим делимое и делитель на 2:

$4320 : 5 = (4320 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 8640 : 10 = 864$.
Ответ: 864.

е) Для вычисления $2350 : 50$ умножим делимое и делитель на 2:

$2350 : 50 = (2350 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 4700 : 100 = 47$.
Ответ: 47.

ж) Для вычисления $7200 : 50$ умножим делимое и делитель на 2:

$7200 : 50 = (7200 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 14400 : 100 = 144$.
Ответ: 144.

з) Для вычисления $9200 : 50$ умножим делимое и делитель на 2:

$9200 : 50 = (9200 \cdot 2) : (50 \cdot 2) = 18400 : 100 = 184$.
Ответ: 184.