Номер 1.212, страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.212. a) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую — 8 человек, то в комнатах людей стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

б) В двух комнатах 45 человек. Из первой вышли 9, а из второй — 14, и людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в комнатах сначала?

а)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество человек, которое было в первой комнате первоначально, а $y$ — количество человек во второй комнате.

По условию, всего в двух комнатах было 56 человек, следовательно, первое уравнение системы:

$x + y = 56$

Когда в первую комнату пришли еще 12 человек, в ней стало $(x + 12)$ человек. Когда во вторую комнату пришли еще 8 человек, в ней стало $(y + 8)$ человек. После этого количество людей в комнатах стало равным. Отсюда получаем второе уравнение:

$x + 12 = y + 8$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 56 \\ x + 12 = y + 8 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = x + 12 - 8$

$y = x + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + (x + 4) = 56$

$2x + 4 = 56$

$2x = 52$

$x = 26$

Таким образом, в первой комнате первоначально было 26 человек.

Теперь найдем количество человек во второй комнате:

$y = x + 4 = 26 + 4 = 30$

Во второй комнате было 30 человек.

Проверка: $26 + 30 = 56$. После изменений в первой комнате стало $26 + 12 = 38$ человек, а во второй $30 + 8 = 38$ человек, что соответствует условию.

Ответ: первоначально в первой комнате было 26 человек, а во второй — 30 человек.

б)

Пусть $x$ — количество человек, которое было в первой комнате сначала, а $y$ — количество человек во второй комнате.

Всего в двух комнатах было 45 человек, значит:

$x + y = 45$

Из первой комнаты вышли 9 человек, в ней осталось $(x - 9)$ человек. Из второй комнаты вышли 14 человек, в ней осталось $(y - 14)$ человек. Количество людей в комнатах стало равным, поэтому:

$x - 9 = y - 14$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 45 \\ x - 9 = y - 14 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = x - 9 + 14$

$y = x + 5$

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$x + (x + 5) = 45$

$2x + 5 = 45$

$2x = 40$

$x = 20$

В первой комнате сначала было 20 человек.

Теперь найдем количество человек во второй комнате:

$y = x + 5 = 20 + 5 = 25$

Во второй комнате было 25 человек.

Проверка: $20 + 25 = 45$. После изменений в первой комнате осталось $20 - 9 = 11$ человек, а во второй $25 - 14 = 11$ человек, что соответствует условию.

Ответ: сначала в первой комнате было 20 человек, а во второй — 25 человек.