Страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.255. Определите делитель:

а) $56 : a = 11$ (ост. 1);

б) $93 : b = 2$ (ост. 3);

в) $146 : c = 12$ (ост. 2);

г) $228 : d = 3$ (ост. 3).

а) При делении с остатком связь между компонентами выражается формулой: Делимое = Делитель · Неполное частное + Остаток. Также важно помнить, что остаток всегда должен быть меньше делителя.
Подставим известные значения из условия $56 : a = 11$ (ост. 1):
$56 = a \cdot 11 + 1$
Чтобы найти произведение $a \cdot 11$, вычтем остаток из делимого:
$11a = 56 - 1$
$11a = 55$
Теперь найдем неизвестный делитель $a$, разделив 55 на неполное частное 11:
$a = 55 : 11$
$a = 5$
Проверим, выполняется ли условие, что остаток меньше делителя: $1 < 5$. Условие выполнено.
Ответ: 5

б) Аналогично решим для выражения $93 : b = 2$ (ост. 3).
Запишем формулу с известными значениями:
$93 = b \cdot 2 + 3$
Найдем произведение делителя на неполное частное:
$2b = 93 - 3$
$2b = 90$
Найдем делитель $b$:
$b = 90 : 2$
$b = 45$
Проверим, что остаток меньше делителя: $3 < 45$. Условие выполнено.
Ответ: 45

в) Для выражения $146 : c = 12$ (ост. 2) составим уравнение:
$146 = c \cdot 12 + 2$
Вычтем остаток из делимого:
$12c = 146 - 2$
$12c = 144$
Найдем делитель $c$:
$c = 144 : 12$
$c = 12$
Проверим, что остаток меньше делителя: $2 < 12$. Условие выполнено.
Ответ: 12

г) Для выражения $228 : d = 3$ (ост. 3) составим уравнение:
$228 = d \cdot 3 + 3$
Вычтем остаток из делимого:
$3d = 228 - 3$
$3d = 225$
Найдем делитель $d$:
$d = 225 : 3$
$d = 75$
Проверим, что остаток меньше делителя: $3 < 75$. Условие выполнено.
Ответ: 75

1.256. Какой остаток получится от деления числа

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 + 1$

на:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5;

д) 6;

е) 7;

ж) 8;

з) 9;

и) 10;

к) 100?

Обозначим данное число как $A = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 + 1$. Первое слагаемое в этом выражении является произведением всех натуральных чисел от 1 до 10, что можно записать как $10!$ (10 факториал). Таким образом, $A = 10! + 1$. Для нахождения остатка от деления числа $A$ на делитель $d$, мы можем использовать свойство: $(a+b) \pmod{d} = (a \pmod{d} + b \pmod{d}) \pmod{d}$. В нашем случае это $(10! + 1) \pmod{d}$.

а) Найдем остаток от деления на 2. Произведение $10! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 10$ содержит множитель 2, следовательно, $10!$ делится на 2 без остатка. Значит, $10! \equiv 0 \pmod{2}$. Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{2}$. Остаток от деления на 2 равен 1. Ответ: 1

б) Найдем остаток от деления на 3. Произведение $10!$ содержит множитель 3, следовательно, $10!$ делится на 3 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{3}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$. Остаток от деления на 3 равен 1. Ответ: 1

в) Найдем остаток от деления на 4. Произведение $10!$ содержит множитель 4, следовательно, $10!$ делится на 4 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{4}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{4}$. Остаток от деления на 4 равен 1. Ответ: 1

г) Найдем остаток от деления на 5. Произведение $10!$ содержит множитель 5, следовательно, $10!$ делится на 5 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{5}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{5}$. Остаток от деления на 5 равен 1. Ответ: 1

д) Найдем остаток от деления на 6. Произведение $10!$ содержит множители 2 и 3, значит, оно делится на $2 \cdot 3 = 6$ без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{6}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{6}$. Остаток от деления на 6 равен 1. Ответ: 1

е) Найдем остаток от деления на 7. Произведение $10!$ содержит множитель 7, следовательно, $10!$ делится на 7 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{7}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$. Остаток от деления на 7 равен 1. Ответ: 1

ж) Найдем остаток от деления на 8. Произведение $10!$ содержит множители 2 и 4, значит, оно делится на $2 \cdot 4 = 8$ без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{8}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{8}$. Остаток от деления на 8 равен 1. Ответ: 1

з) Найдем остаток от деления на 9. Произведение $10!$ содержит множители 3 и 6, значит, оно делится на $3 \cdot 6 = 18$, а следовательно, и на 9 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{9}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$. Остаток от деления на 9 равен 1. Ответ: 1

и) Найдем остаток от деления на 10. Произведение $10!$ содержит множитель 10, следовательно, $10!$ делится на 10 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{10}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{10}$. Остаток от деления на 10 равен 1. Ответ: 1

к) Найдем остаток от деления на 100. Чтобы число делилось на 100, оно должно делиться на 4 и на 25. Произведение $10!$ содержит множитель 4. Произведение $10!$ также содержит множители 5 и 10. Так как $5 \cdot 10 = 50$, а в произведении есть еще множитель 2, то $10!$ делится на $2 \cdot 50 = 100$. Следовательно, $10!$ делится на 100 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{100}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{100}$. Остаток от деления на 100 равен 1. Ответ: 1

1.257. Проволоку длиной $3 \text{ м}$ нужно разрезать на куски по $12 \text{ см}$. Сколько таких кусков получится?

Для того чтобы определить, сколько кусков проволоки получится, необходимо сначала привести общую длину проволоки и длину одного куска к одной и той же единице измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры.

В одном метре 100 сантиметров. Следовательно, общая длина проволоки в сантиметрах будет равна:
$3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$

Теперь, зная общую длину проволоки (300 см) и длину каждого куска (12 см), можно найти количество кусков, разделив общую длину на длину одного куска:
$\frac{300 \text{ см}}{12 \text{ см}} = 25$

Таким образом, из проволоки получится 25 кусков.

Ответ: 25.

1.258. a) В классе 33 человека. Ребят построили в колонну по 4 человека в ряд. Сколько человек стоит в последнем (неполном) ряду?

б) Класс построили в колонну по 4 человека в ряд. Получилось 8 полных и один неполный ряд из трёх человек. Сколько человек в классе?

а) Чтобы определить количество человек в последнем (неполном) ряду, необходимо общее число учеников разделить на количество человек в одном ряду. Остаток от деления и будет ответом на вопрос.

Общее число учеников в классе — 33 человека.

Количество человек в одном ряду — 4.

Выполним деление с остатком:

$33 \div 4 = 8$ (ост. 1)

Это означает, что получилось 8 полных рядов по 4 человека, и 1 человек остался для формирования последнего, неполного ряда.

Ответ: 1 человек.

б) Чтобы найти общее количество человек в классе, нужно умножить количество полных рядов на число человек в каждом ряду и прибавить к результату количество человек в неполном ряду.

Количество полных рядов — 8.

Количество человек в одном ряду — 4.

Количество человек в неполном ряду — 3.

1. Сначала вычислим, сколько всего человек в полных рядах:

$8 \times 4 = 32$ (человека)

2. Теперь добавим к этому числу количество человек из неполного ряда, чтобы найти общее количество учеников в классе:

$32 + 3 = 35$ (человек)

Ответ: 35 человек.

1.259. В подъезде семнадцатиэтажного дома расположены квартиры с 1-й по 68-ю. На каком этаже расположена квартира 63?

Для решения задачи сначала необходимо определить, сколько квартир приходится на один этаж. В подъезде 17 этажей и 68 квартир. Предполагая, что квартиры распределены по этажам равномерно, мы можем разделить общее количество квартир на количество этажей.

1. Находим количество квартир на одном этаже:
Разделим общее число квартир на число этажей:$68 \div 17 = 4$Следовательно, на каждом этаже находится по 4 квартиры.

2. Определяем этаж для квартиры №63:
Чтобы найти этаж, на котором расположена нужная квартира, разделим её номер на количество квартир на одном этаже:$63 \div 4 = 15$ (остаток 3)Результат деления показывает, что 15 этажей уже полностью заселены. На 15 этажах находятся квартиры с 1-й по 60-ю ($15 \times 4 = 60$).Так как остаток от деления не равен нулю, квартира №63 находится на следующем этаже.Квартиры с 61-й по 64-ю будут расположены на 16-м этаже.
Таким образом, квартира №63 находится на 16-м этаже.

Математически это можно выразить как операцию деления с округлением результата до ближайшего целого числа в большую сторону:$\lceil \frac{63}{4} \rceil = \lceil 15.75 \rceil = 16$

Ответ: 16

1.260. Семь девочек играли в прятки. Они решили, что водить будет та из них, которая окажется 25-й при счёте по кругу. Вера начала счёт с себя: 1, 2, 3, .... Катя, не дожидаясь окончания счёта, сказала: «Водить буду я». Какой номер был у Кати в начале счёта?

В этой задаче используется принцип счёта по кругу, который математически решается с помощью нахождения остатка от деления. Всего в игре участвует 7 девочек, а счёт ведётся до 25.

Чтобы найти, на какой по счёту девочке остановится считалка, нужно разделить конечное число счёта (25) на количество участниц (7) и найти остаток.

Выполним деление с остатком:
$25 \div 7 = 3$ (остаток 4)
Это можно записать в виде формулы: $25 = 3 \times 7 + 4$.

Это означает, что счёт пройдёт 3 полных круга по всем девочкам, и после этого остановится на девочке, которая стоит четвёртой в круге. Вера начала счёт с себя и была первой. Следовательно, Катя, которая знала, что водить будет она, стояла в кругу под номером 4.

Ответ: У Кати был номер 4.

1.261. Какое наименьшее число при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке:

а) 0;

б) 1;

в) 2?

а) 0

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 0, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Число, дающее в остатке 0, делится нацело.

Числа 3, 5 и 7 являются простыми, а значит, взаимно простыми. Наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению.

Вычислим НОК:
$НОК(3, 5, 7) = 3 \times 5 \times 7 = 15 \times 7 = 105$.

Таким образом, наименьшее число, которое делится на 3, 5 и 7 без остатка, — это 105.

Проверка:
$105 \div 3 = 35$ (остаток 0)
$105 \div 5 = 21$ (остаток 0)
$105 \div 7 = 15$ (остаток 0)

Ответ: 105.

б) 1

Требуется найти наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 1.

Пусть искомое число — это $N$. По условию задачи, $N$ можно представить в виде:
$N = 3k + 1$
$N = 5m + 1$
$N = 7n + 1$
где $k, m, n$ — целые числа (частные от деления).

Из этих равенств следует, что если из числа $N$ вычесть 1, то полученное число $(N - 1)$ будет делиться на 3, 5 и 7 без остатка.

Следовательно, число $(N - 1)$ является наименьшим общим кратным чисел 3, 5 и 7. Как мы уже вычислили в пункте а), $НОК(3, 5, 7) = 105$.

Тогда:
$N - 1 = 105$
$N = 105 + 1 = 106$.

Проверим:
$106 \div 3 = 35$ (остаток 1)
$106 \div 5 = 21$ (остаток 1)
$106 \div 7 = 15$ (остаток 1)

Ответ: 106.

в) 2

Аналогично предыдущему пункту, найдём наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 2.

Пусть искомое число — это $M$. Тогда:
$M = 3p + 2$
$M = 5q + 2$
$M = 7r + 2$
где $p, q, r$ — целые числа.

Это означает, что число $(M - 2)$ делится на 3, 5 и 7 нацело.

Чтобы найти наименьшее $M$, мы должны найти наименьшее значение для $(M-2)$, которое кратно 3, 5 и 7. Это значение равно $НОК(3, 5, 7) = 105$.

Получаем уравнение:
$M - 2 = 105$
$M = 105 + 2 = 107$.

Проверим:
$107 \div 3 = 35$ (остаток 2)
$107 \div 5 = 21$ (остаток 2)
$107 \div 7 = 15$ (остаток 2)

Ответ: 107.

1.262. а) Какое наименьшее число при делении на 25 имеет неполное частное, равное остатку?

б) Какое наибольшее число при делении на 25 имеет неполное частное, равное остатку?

Пусть искомое число — это $a$. При делении числа $a$ на 25 с остатком, его можно представить в виде формулы: $a = 25 \cdot q + r$, где $q$ — это неполное частное, а $r$ — остаток.

По определению деления с остатком, остаток всегда должен быть меньше делителя. В нашем случае это означает, что $0 \le r < 25$.

Согласно условию задачи, неполное частное равно остатку, то есть $q = r$.

Подставим это равенство в основную формулу:

$a = 25 \cdot r + r$

$a = 26r$

Чтобы найти наименьшее число $a$, нам нужно выбрать наименьшее возможное значение для $r$. Поскольку обычно в таких задачах ищут наименьшее натуральное (положительное целое) число, мы выберем наименьшее натуральное значение для остатка $r$, которое равно 1. (Случай $r = 0$ дал бы число $a = 0$, так как $0 = 25 \cdot 0 + 0$, что является тривиальным решением).

При $r = 1$ получаем:

$a = 26 \cdot 1 = 26$

Проверим результат: при делении 26 на 25 мы получаем неполное частное 1 и остаток 1. Условие "неполное частное равно остатку" выполнено.

Ответ: 26.

Мы используем ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $a = 26r$. Условия также остаются прежними: неполное частное $q$ равно остатку $r$, и остаток должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 25$.

Чтобы найти наибольшее число $a$, нам нужно выбрать наибольшее возможное значение для $r$. Поскольку остаток $r$ должен быть целым числом и строго меньше 25, его наибольшее возможное значение равно 24.

Подставим $r = 24$ в нашу формулу:

$a = 26 \cdot 24 = 624$

Проверим результат: разделим 624 на 25. Неполное частное будет 24 ($25 \cdot 24 = 600$), а остаток — $624 - 600 = 24$. Условие "неполное частное равно остатку" выполнено.

Ответ: 624.

1.263. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Найдите число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 4 даёт в остатке 3, при делении на 5 даёт в остатке 4.

Пусть искомое число – это $N$.

По условию задачи, число $N$ при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, и при делении на 5 дает в остатке 4. Это можно записать в виде системы уравнений:

$N = 2k_1 + 1$

$N = 3k_2 + 2$

$N = 4k_3 + 3$

$N = 5k_4 + 4$

где $k_1, k_2, k_3, k_4$ – некоторые целые числа (частные от деления).

Обратим внимание на то, что в каждом из этих случаев остаток на единицу меньше делителя:

$1 = 2 - 1$

$2 = 3 - 1$

$3 = 4 - 1$

$4 = 5 - 1$

Это означает, что если к искомому числу $N$ прибавить 1, то полученное число $N+1$ будет делиться на 2, 3, 4 и 5 без остатка.

$N + 1 = 2k_1 + 1 + 1 = 2(k_1 + 1)$

$N + 1 = 3k_2 + 2 + 1 = 3(k_2 + 1)$

$N + 1 = 4k_3 + 3 + 1 = 4(k_3 + 1)$

$N + 1 = 5k_4 + 4 + 1 = 5(k_4 + 1)$

Таким образом, число $N+1$ является общим кратным для чисел 2, 3, 4 и 5. Чтобы найти наименьшее натуральное число $N$, удовлетворяющее условиям, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3, 4 и 5.

Найдем НОК(2, 3, 4, 5). Для этого разложим числа на простые множители:

$2 = 2$

$3 = 3$

$4 = 2^2$

$5 = 5$

НОК находится как произведение всех простых множителей в их наивысших степенях:

НОК(2, 3, 4, 5) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Итак, наименьшее натуральное значение для $N+1$ равно 60. Теперь найдем само число $N$:

$N + 1 = 60$

$N = 60 - 1 = 59$

Проверим найденное число:

• $59 \div 2 = 29$ (остаток 1)
• $59 \div 3 = 19$ (остаток 2)
• $59 \div 4 = 14$ (остаток 3)
• $59 \div 5 = 11$ (остаток 4)

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 59