Страница 64 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.293. a) Сумма двух чисел равна 96, а разность равна 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 87, а разность равна 19. Найдите эти числа.

в) Сумма двух чисел равна 500, а разность равна 6. Найдите эти числа.

а)

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$, где $x$ — большее число, а $y$ — меньшее. Согласно условию, их сумма равна 96, а разность равна 18. Мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 96 \\ x - y = 18 \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, сложим оба уравнения почленно. Это позволит нам исключить переменную $y$.

$(x + y) + (x - y) = 96 + 18$

$2x = 114$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{114}{2}$

$x = 57$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$57 + y = 96$

$y = 96 - 57$

$y = 39$

Проверим правильность решения, подставив значения в оба исходных условия:
Сумма: $57 + 39 = 96$.
Разность: $57 - 39 = 18$.
Оба условия выполняются.

Ответ: 57 и 39.

б)

Пусть два числа — это $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 87, а разность — 19. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 87 \\ x - y = 19 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 87 + 19$

$2x = 106$

Найдем $x$:

$x = \frac{106}{2}$

$x = 53$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$53 + y = 87$

$y = 87 - 53$

$y = 34$

Проверим:
Сумма: $53 + 34 = 87$.
Разность: $53 - 34 = 19$.
Условия верны.

Ответ: 53 и 34.

в)

Обозначим два числа как $x$ и $y$. Их сумма равна 500, а разность — 6. Запишем это в виде системы уравнений:

$\begin{cases} x + y = 500 \\ x - y = 6 \end{cases}$

Сложим оба уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 500 + 6$

$2x = 506$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{506}{2}$

$x = 253$

Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$253 + y = 500$

$y = 500 - 253$

$y = 247$

Проверим:
Сумма: $253 + 247 = 500$.
Разность: $253 - 247 = 6$.
Условия верны.

Ответ: 253 и 247.

1.294. Из «Арифметики» Л. Н. Толстого.

а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?

а) Обозначим количество овец у одного мужика за $x$, а у другого — за $y$. Согласно условию, всего у них 35 овец, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 35$. Также известно, что у одного на 9 овец больше, чем у другого, то есть $x = y + 9$. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 35 \\ x = y + 9 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $y$:

$(y + 9) + y = 35$

$2y + 9 = 35$

$2y = 35 - 9$

$2y = 26$

$y = 13$

Теперь, зная $y$, найдем $x$:

$x = 13 + 9 = 22$

Таким образом, у одного мужика 22 овцы, а у другого 13 овец. Проверим: $22 + 13 = 35$.
Ответ: у одного мужика 22 овцы, а у другого 13 овец.

б) Аналогично предыдущей задаче, обозначим количество овец у мужиков за $x$ и $y$. Общее количество овец — 40, значит, $x + y = 40$. У одного на 6 овец меньше, чем у другого, что можно записать как $x = y - 6$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 40 \\ x = y - 6 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(y - 6) + y = 40$

$2y - 6 = 40$

$2y = 40 + 6$

$2y = 46$

$y = 23$

Теперь найдем $x$:

$x = 23 - 6 = 17$

Получается, что у одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы. Проверим: $17 + 23 = 40$.
Ответ: у одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

1.295. a) На двух полках книг было поровну. С первой полки переставили 10 книг на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой?

б) В первой пачке на 30 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы уравнять число тетрадей в пачках?

в) Предположим, что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 р. больше, чем у меня?

а) Пусть изначально на каждой полке было $x$ книг. Когда с первой полки переставили 10 книг, на ней осталось $x - 10$ книг. Эти 10 книг добавили на вторую полку, и на ней стало $x + 10$ книг.
Чтобы найти, на сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой, нужно из количества книг на второй полке вычесть количество книг на первой:
$(x + 10) - (x - 10) = x + 10 - x + 10 = 20$
Таким образом, на второй полке стало на 20 книг больше.
Ответ: на 20 книг.

б) Пусть во второй пачке $y$ тетрадей, тогда в первой пачке $y + 30$ тетрадей. Разница между ними составляет 30 тетрадей.
Пусть из первой пачки во вторую переложили $k$ тетрадей. Тогда в первой пачке станет $(y + 30) - k$ тетрадей, а во второй $y + k$ тетрадей. Чтобы количество тетрадей уравнялось, должно выполняться равенство:
$(y + 30) - k = y + k$
$30 - k = k$
$30 = 2k$
$k = 30 / 2 = 15$
Нужно переложить половину разницы.
Ответ: 15 тетрадей.

в) Пусть у каждого из нас было по $S$ рублей. Пусть я дам вам $x$ рублей.
Тогда у меня останется $S - x$ рублей, а у вас станет $S + x$ рублей.
По условию, у вас должно стать на 10 рублей больше, чем у меня. Составим уравнение, где разница между вашими и моими деньгами равна 10:
$(S + x) - (S - x) = 10$
$S + x - S + x = 10$
$2x = 10$
$x = 10 / 2 = 5$
Я должен дать вам 5 рублей. Тогда у меня станет на 5 рублей меньше, а у вас на 5 рублей больше, и разница составит 10 рублей.
Ответ: 5 рублей.

1.296. a) Подарок в упаковке стоит 7000 р. Упаковка дешевле подарка на 600 р. Сколько стоит упаковка?

б) Бутылка масла весит 900 г. Масло на 100 г тяжелее бутылки. Сколько весит пустая бутылка?

Для решения этой задачи введем две переменные. Пусть $x$ — это стоимость подарка в рублях, а $y$ — это стоимость упаковки в рублях.

На основе условий задачи можно составить систему из двух линейных уравнений:

1. Подарок вместе с упаковкой стоит 7000 р. Это значит, что сумма стоимости подарка и стоимости упаковки равна 7000.
$x + y = 7000$

2. Упаковка дешевле подарка на 600 р. Это значит, что если из стоимости подарка вычесть 600, мы получим стоимость упаковки.
$y = x - 600$

Таким образом, мы имеем систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 7000 \\ y = x - 600 \end{cases}$

Чтобы найти стоимость упаковки ($y$), воспользуемся методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения: $x = y + 600$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$(y + 600) + y = 7000$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $y$:
$2y + 600 = 7000$
$2y = 7000 - 600$
$2y = 6400$
$y = \frac{6400}{2}$
$y = 3200$

Следовательно, стоимость упаковки составляет 3200 рублей.

Ответ: 3200 р.

Обозначим переменными вес компонентов. Пусть $m$ — вес масла в граммах, а $b$ — вес пустой бутылки в граммах.

Составим систему уравнений, основываясь на данных из условия задачи:

1. Общий вес бутылки с маслом составляет 900 г. Это означает, что сумма веса масла и веса бутылки равна 900.
$m + b = 900$

2. Масло на 100 г тяжелее бутылки. Это значит, что вес масла равен весу бутылки плюс 100 г.
$m = b + 100$

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} m + b = 900 \\ m = b + 100 \end{cases}$

Нам нужно найти вес пустой бутылки ($b$). Для этого подставим выражение для $m$ из второго уравнения в первое:
$(b + 100) + b = 900$

Теперь решим это уравнение относительно $b$:
$2b + 100 = 900$
$2b = 900 - 100$
$2b = 800$
$b = \frac{800}{2}$
$b = 400$

Таким образом, вес пустой бутылки составляет 400 граммов.

Ответ: 400 г.

1.297. На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой: «Если сложить день и номер месяца моего рождения, то получится 20; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения, то получится 14; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900, то получится год моего рождения». Когда родился учитель математики?

Для решения этой задачи введем переменные: пусть $d$ — день рождения, $m$ — номер месяца рождения, а $y$ — год рождения учителя.

Исходя из условий, данных в загадке, составим систему уравнений:
1) $d + m = 20$ (сумма дня и номера месяца равна 20)
2) $d - m = 14$ (разность дня и номера месяца равна 14)
3) $d \cdot m + 1900 = y$ (произведение дня и месяца, сложенное с 1900, дает год рождения)

Сначала найдем день и номер месяца рождения, решив систему из первых двух уравнений:
$ \begin{cases} d + m = 20 \\ d - m = 14 \end{cases} $
Сложим первое уравнение со вторым:
$(d + m) + (d - m) = 20 + 14$
$2d = 34$
$d = \frac{34}{2} = 17$

Мы нашли день рождения — 17 число. Теперь подставим значение $d=17$ в первое уравнение, чтобы найти номер месяца $m$:
$17 + m = 20$
$m = 20 - 17 = 3$

Номер месяца рождения — 3, что соответствует марту. Таким образом, дата рождения — 17 марта.

Теперь, используя третье уравнение и найденные значения $d=17$ и $m=3$, вычислим год рождения $y$:
$y = d \cdot m + 1900$
$y = 17 \cdot 3 + 1900$
$y = 51 + 1900 = 1951$

Итак, год рождения учителя — 1951.

Ответ: Учитель математики родился 17 марта 1951 года.

1.298. Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Убедитесь, что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение. Прочитайте составленную вами задачу классу, и пусть кто-то её решит, а вы оцените это решение.

Пример задачи

В двух ящиках лежит 120 кг яблок. В первом ящике на 20 кг яблок больше, чем во втором. Сколько килограммов яблок в каждом ящике?

Проверка условия

В задаче необходимо найти два числа (вес яблок в каждом ящике) по их известной сумме (120 кг) и разности (20 кг). Поскольку и сумма, и разность являются четными числами, задача будет иметь целочисленное решение, а значит, числовые данные подобраны хорошо.

Решение задачи

Обозначим массу яблок в первом (более тяжелом) ящике как $x$, а во втором — как $y$.

Согласно условию, мы можем составить систему из двух уравнений:
1. Сумма масс: $x + y = 120$
2. Разность масс: $x - y = 20$

Для нахождения двух чисел по их сумме $S$ и разности $D$ можно использовать общие формулы. Большее число равно полусумме суммы и разности, а меньшее — полуразности суммы и разности.

Найдем массу яблок в первом ящике (большее число):
$x = (120 + 20) / 2 = 140 / 2 = 70$ (кг)

Найдем массу яблок во втором ящике (меньшее число):
$y = (120 - 20) / 2 = 100 / 2 = 50$ (кг)

Можно также найти $y$ после нахождения $x$, подставив его значение в первое уравнение:
$70 + y = 120$
$y = 120 - 70$
$y = 50$ (кг)

Проведем проверку:
Сумма: $70 + 50 = 120$ кг. (Верно)
Разность: $70 - 50 = 20$ кг. (Верно)
Задача решена верно.

Ответ: в первом ящике 70 кг яблок, а во втором — 50 кг.