Страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.268. Упростите числовое выражение:

а) $17 + 73 - 59 + 90;$

б) $3 \cdot 15 \cdot 4 : 9 : 20 \cdot 8.$

а) $17 + 73 - 59 + 90$

Для упрощения выражения будем выполнять действия сложения и вычитания по порядку, слева направо. Для удобства можно сначала сложить числа, которые в сумме дают круглое число.

1. Сначала выполним сложение $17$ и $73$:

$17 + 73 = 90$

2. Теперь выражение примет вид:

$90 - 59 + 90$

3. Выполним вычитание:

$90 - 59 = 31$

4. И, наконец, выполним последнее сложение:

$31 + 90 = 121$

Ответ: 121

б) $3 \cdot 15 \cdot 4 : 9 : 20 \cdot 8$

В выражении, содержащем только умножение и деление, можно для удобства представить его в виде дроби. Множители записываются в числитель, а делители — в знаменатель.

$\frac{3 \cdot 15 \cdot 4 \cdot 8}{9 \cdot 20}$

Теперь последовательно сократим эту дробь:

1. Сократим $15$ в числителе и $9$ в знаменателе на $3$:

$\frac{3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 8}{3 \cdot 20}$

2. Сократим одинаковые множители $3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5 \cdot 4 \cdot 8}{20}$

3. Вычислим произведение в числителе $5 \cdot 4 = 20$:

$\frac{20 \cdot 8}{20}$

4. Сократим одинаковые множители $20$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{20} \cdot 8}{\cancel{20}} = 8$

Ответ: 8

1.269. Укажите порядок действий:

а) $53 \cdot 2 + 44;$

б) $320 - 56 \cdot 2 + 120 : 6;$

в) $48 : 16 + 13 \cdot 4;$

г) $53 \cdot (2 + 44);$

д) $320 - (56 \cdot 2 + 120 : 6);$

е) $(48 : 6 + 13) \cdot 4.$

а) $53 \cdot 2 + 44$

В данном выражении два действия: умножение и сложение. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется умножение, а затем сложение.
1. Первое действие: умножение $53 \cdot 2 = 106$.
2. Второе действие: сложение $106 + 44 = 150$.

Ответ: 150.

б) $320 - 56 \cdot 2 + 120 : 6$

В выражении присутствуют вычитание, умножение, сложение и деление. Умножение и деление имеют более высокий приоритет и выполняются слева направо. Затем выполняются сложение и вычитание, также слева направо.
1. Первое действие: умножение $56 \cdot 2 = 112$.
2. Второе действие: деление $120 : 6 = 20$.
3. Третье действие: вычитание $320 - 112 = 208$.
4. Четвертое действие: сложение $208 + 20 = 228$.

Ответ: 228.

в) $48 : 16 + 13 \cdot 4$

В выражении есть деление, сложение и умножение. Сначала выполняются операции деления и умножения слева направо, а затем сложение.
1. Первое действие: деление $48 : 16 = 3$.
2. Второе действие: умножение $13 \cdot 4 = 52$.
3. Третье действие: сложение $3 + 52 = 55$.

Ответ: 55.

г) $53 \cdot (2 + 44)$

В данном выражении есть скобки, поэтому сначала выполняется действие в скобках (сложение), а затем умножение.
1. Первое действие: сложение в скобках $2 + 44 = 46$.
2. Второе действие: умножение $53 \cdot 46 = 2438$.

Ответ: 2438.

д) $320 - (56 \cdot 2 + 120 : 6)$

Выражение содержит скобки. Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение. Последним действием выполняется вычитание за скобками.
1. Первое действие: умножение в скобках $56 \cdot 2 = 112$.
2. Второе действие: деление в скобках $120 : 6 = 20$.
3. Третье действие: сложение в скобках $112 + 20 = 132$.
4. Четвертое действие: вычитание $320 - 132 = 188$.

Ответ: 188.

е) $(48 : 6 + 13) \cdot 4$

Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняется деление, а затем сложение. После этого результат умножается на число за скобками.
1. Первое действие: деление в скобках $48 : 6 = 8$.
2. Второе действие: сложение в скобках $8 + 13 = 21$.
3. Третье действие: умножение $21 \cdot 4 = 84$.

Ответ: 84.

1.270. Укажите порядок действий и упростите числовое выражение:

а) $28 \cdot 2 + 4;$

б) $28 \cdot (2+4);$

в) $100 : 4 + 6;$

г) $100 : (4 + 6);$

д) $320 - 64 : 8 + 16;$

е) $(320 - 64) : 8 + 16.$

а) $28 \cdot 2 + 4$

В данном выражении, согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение.

1) Первое действие – умножение: $28 \cdot 2 = 56$.

2) Второе действие – сложение: $56 + 4 = 60$.

Результат: $28 \cdot 2 + 4 = 56 + 4 = 60$.

Ответ: 60

б) $28 \cdot (2 + 4)$

В этом выражении сначала выполняется действие в скобках, а затем результат умножается на число за скобками.

1) Первое действие – сложение в скобках: $2 + 4 = 6$.

2) Второе действие – умножение: $28 \cdot 6 = 168$.

Результат: $28 \cdot (2 + 4) = 28 \cdot 6 = 168$.

Ответ: 168

в) $100 : 4 + 6$

Здесь сначала выполняется деление, так как оно имеет более высокий приоритет, чем сложение.

1) Первое действие – деление: $100 : 4 = 25$.

2) Второе действие – сложение: $25 + 6 = 31$.

Результат: $100 : 4 + 6 = 25 + 6 = 31$.

Ответ: 31

г) $100 : (4 + 6)$

Первым делом выполняется действие в скобках.

1) Первое действие – сложение в скобках: $4 + 6 = 10$.

2) Второе действие – деление: $100 : 10 = 10$.

Результат: $100 : (4 + 6) = 100 : 10 = 10$.

Ответ: 10

д) $320 - 64 : 8 + 16$

Порядок действий: сначала деление, затем вычитание и сложение выполняются последовательно слева направо.

1) Первое действие – деление: $64 : 8 = 8$.

2) Второе действие – вычитание: $320 - 8 = 312$.

3) Третье действие – сложение: $312 + 16 = 328$.

Результат: $320 - 64 : 8 + 16 = 320 - 8 + 16 = 312 + 16 = 328$.

Ответ: 328

е) $(320 - 64) : 8 + 16$

Порядок действий: сначала операция в скобках, затем деление, и в конце сложение.

1) Первое действие – вычитание в скобках: $320 - 64 = 256$.

2) Второе действие – деление: $256 : 8 = 32$.

3) Третье действие – сложение: $32 + 16 = 48$.

Результат: $(320 - 64) : 8 + 16 = 256 : 8 + 16 = 32 + 16 = 48$.

Ответ: 48

Вычислите (1.271–1.273):

1.271 а) $320 - (64 : 8 + 16);$

б) $45 + 24 \cdot 5 - (59 - 9);$

в) $98 - 72 : 9 - (35 + 55) : 3;$

г) $270 : (303 : 3 - 11) + 48;$

д) $26 - (53 - 48) \cdot 4 - 4;$

е) $48 - (31 - 15) \cdot 2 - 2;$

ж) $66 - (65 - 47) : 6 + 3;$

з) $54 : (13 - 10) \cdot 2 + 36.$

а) $320 - (64 : 8 + 16)$
Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем остальные действия.
1. Выполним деление в скобках: $64 : 8 = 8$.
2. Выполним сложение в скобках: $8 + 16 = 24$.
3. Выполним вычитание: $320 - 24 = 296$.
$320 - (64 : 8 + 16) = 320 - (8 + 16) = 320 - 24 = 296$.
Ответ: 296

б) $45 + 24 \cdot 5 - (59 - 9)$
Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце сложение и вычитание слева направо.
1. Выполним вычитание в скобках: $59 - 9 = 50$.
2. Выполним умножение: $24 \cdot 5 = 120$.
3. Выполним сложение: $45 + 120 = 165$.
4. Выполним вычитание: $165 - 50 = 115$.
$45 + 24 \cdot 5 - (59 - 9) = 45 + 120 - 50 = 165 - 50 = 115$.
Ответ: 115

в) $98 - 72 : 9 - (35 + 55) : 3$
Порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание слева направо.
1. Выполним сложение в скобках: $35 + 55 = 90$.
2. Выполним деления слева направо: $72 : 9 = 8$; $90 : 3 = 30$.
3. Выполним вычитания слева направо: $98 - 8 = 90$; $90 - 30 = 60$.
$98 - 72 : 9 - (35 + 55) : 3 = 98 - 8 - 90 : 3 = 98 - 8 - 30 = 90 - 30 = 60$.
Ответ: 60

г) $270 : (303 : 3 - 11) + 48$
Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), потом деление за скобками, и в конце сложение.
1. Выполним деление в скобках: $303 : 3 = 101$.
2. Выполним вычитание в скобках: $101 - 11 = 90$.
3. Выполним деление за скобками: $270 : 90 = 3$.
4. Выполним сложение: $3 + 48 = 51$.
$270 : (303 : 3 - 11) + 48 = 270 : (101 - 11) + 48 = 270 : 90 + 48 = 3 + 48 = 51$.
Ответ: 51

д) $26 - (53 - 48) \cdot 4 - 4$
Порядок действий: сначала действие в скобках, затем умножение, затем вычитания слева направо.
1. Выполним вычитание в скобках: $53 - 48 = 5$.
2. Выполним умножение: $5 \cdot 4 = 20$.
3. Выполним вычитания слева направо: $26 - 20 = 6$; $6 - 4 = 2$.
$26 - (53 - 48) \cdot 4 - 4 = 26 - 5 \cdot 4 - 4 = 26 - 20 - 4 = 6 - 4 = 2$.
Ответ: 2

е) $48 - (31 - 15) \cdot 2 - 2$
Порядок действий: сначала действие в скобках, затем умножение, затем вычитания слева направо.
1. Выполним вычитание в скобках: $31 - 15 = 16$.
2. Выполним умножение: $16 \cdot 2 = 32$.
3. Выполним вычитания слева направо: $48 - 32 = 16$; $16 - 2 = 14$.
$48 - (31 - 15) \cdot 2 - 2 = 48 - 16 \cdot 2 - 2 = 48 - 32 - 2 = 16 - 2 = 14$.
Ответ: 14

ж) $66 - (65 - 47) : 6 + 3$
Порядок действий: сначала действие в скобках, затем деление, затем вычитание и сложение слева направо.
1. Выполним вычитание в скобках: $65 - 47 = 18$.
2. Выполним деление: $18 : 6 = 3$.
3. Выполним вычитание: $66 - 3 = 63$.
4. Выполним сложение: $63 + 3 = 66$.
$66 - (65 - 47) : 6 + 3 = 66 - 18 : 6 + 3 = 66 - 3 + 3 = 63 + 3 = 66$.
Ответ: 66

з) $54 : (13 - 10) \cdot 2 + 36$
Порядок действий: сначала действие в скобках, затем деление и умножение слева направо, в конце сложение.
1. Выполним вычитание в скобках: $13 - 10 = 3$.
2. Выполним деление: $54 : 3 = 18$.
3. Выполним умножение: $18 \cdot 2 = 36$.
4. Выполним сложение: $36 + 36 = 72$.
$54 : (13 - 10) \cdot 2 + 36 = 54 : 3 \cdot 2 + 36 = 18 \cdot 2 + 36 = 36 + 36 = 72$.
Ответ: 72

1.272 а) $848 + 6 - 756 : (45 - 45 : 5);$

Б) $48 : 4 + 1200 : (75 - 75 : 5);$

В) $9 + 252 : (108 : 18 - 5);$

Г) $655 - 324 : (48 : 12 - 3).$

а) $848 + 6 - 756 : (45 - 45 : 5)$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках (деление, затем вычитание), потом деление за скобками, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним деление в скобках: $45 : 5 = 9$.
2. Выполним вычитание в скобках: $45 - 9 = 36$.
3. Выполним деление за скобками: $756 : 36 = 21$.
4. Выполним сложение: $848 + 6 = 854$.
5. Выполним вычитание: $854 - 21 = 833$.

Итоговое выражение: $848 + 6 - 756 : (45 - 9) = 848 + 6 - 756 : 36 = 854 - 21 = 833$.
Ответ: 833

б) $48 : 4 + 1200 : (75 - 75 : 5)$

Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и в конце сложение.

1. Выполним деление в скобках: $75 : 5 = 15$.
2. Выполним вычитание в скобках: $75 - 15 = 60$.
3. Выполним первое деление: $48 : 4 = 12$.
4. Выполним второе деление: $1200 : 60 = 20$.
5. Выполним сложение: $12 + 20 = 32$.

Итоговое выражение: $48 : 4 + 1200 : (75 - 15) = 48 : 4 + 1200 : 60 = 12 + 20 = 32$.
Ответ: 32

в) $9 + 252 : (108 : 18 - 5)$

Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и в конце сложение.

1. Выполним деление в скобках: $108 : 18 = 6$.
2. Выполним вычитание в скобках: $6 - 5 = 1$.
3. Выполним деление за скобками: $252 : 1 = 252$.
4. Выполним сложение: $9 + 252 = 261$.

Итоговое выражение: $9 + 252 : (6 - 5) = 9 + 252 : 1 = 9 + 252 = 261$.
Ответ: 261

г) $655 - 324 : (48 : 12 - 3)$

Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и в конце вычитание.

1. Выполним деление в скобках: $48 : 12 = 4$.
2. Выполним вычитание в скобках: $4 - 3 = 1$.
3. Выполним деление за скобками: $324 : 1 = 324$.
4. Выполним вычитание: $655 - 324 = 331$.

Итоговое выражение: $655 - 324 : (4 - 3) = 655 - 324 : 1 = 655 - 324 = 331$.
Ответ: 331

1.273 а) $48 \cdot 57 + 52 \cdot 57;$

в) $145 : 5 + 455 : 5;$

д) $6324 : 102 + 14076 : 102;$

б) $123 \cdot 36 + 77 \cdot 36;$

г) $333 : 9 + 666 : 9;$

е) $2628 : 36 + 972 : 36.$

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$. Вынесем общий множитель 57 за скобки.
$48 \cdot 57 + 52 \cdot 57 = (48 + 52) \cdot 57$
Сначала выполним действие в скобках:
$48 + 52 = 100$
Затем умножим результат на 57:
$100 \cdot 57 = 5700$
Ответ: 5700

б) Здесь также применяется распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель 36 за скобки.
$123 \cdot 36 + 77 \cdot 36 = (123 + 77) \cdot 36$
Вычислим сумму в скобках:
$123 + 77 = 200$
Теперь умножим полученную сумму на 36:
$200 \cdot 36 = 7200$
Ответ: 7200

в) В этом примере мы используем свойство деления суммы на число: $a : c + b : c = (a + b) : c$. Мы можем сначала сложить делимые, а затем разделить на общий делитель 5.
$145 : 5 + 455 : 5 = (145 + 455) : 5$
Найдем сумму в скобках:
$145 + 455 = 600$
Разделим полученный результат на 5:
$600 : 5 = 120$
Ответ: 120

г) Аналогично предыдущему примеру, применим свойство деления суммы на число. Сначала сложим числа 333 и 666, а потом разделим на общий делитель 9.
$333 : 9 + 666 : 9 = (333 + 666) : 9$
Вычислим сумму в скобках:
$333 + 666 = 999$
Теперь разделим 999 на 9:
$999 : 9 = 111$
Ответ: 111

д) Используем то же свойство деления суммы на число. Общий делитель здесь 102.
$6324 : 102 + 14076 : 102 = (6324 + 14076) : 102$
Выполним сложение в скобках:
$6324 + 14076 = 20400$
Разделим полученную сумму на 102:
$20400 : 102 = 200$
Ответ: 200

е) Последний пример решается аналогично. Складываем делимые и делим на общий делитель 36.
$2628 : 36 + 972 : 36 = (2628 + 972) : 36$
Найдем сумму в скобках:
$2628 + 972 = 3600$
Теперь разделим результат на 36:
$3600 : 36 = 100$
Ответ: 100

Прочитайте выражение, используя слова «сумма», «разность», «произведение», «частное», «квадрат числа», «куб числа» (1.274–1.277):

1.274. а) $3 + 15;$

б) $15 - 6;$

в) $15 \cdot 3;$

г) $15 : 3;$

д) $(3 + 5)^2;$

е) $(15 - 3)^2;$

ж) $(15 \cdot 3)^2;$

з) $(15 : 3)^2;$

и) $3^2 + 5^2;$

к) $8^2 + 9^2;$

л) $9^2 - 7^2;$

м) $10^2 - 2^2.$

а) Выражение $3 + 15$ читается как «сумма чисел 3 и 15». Значение этого выражения равно $3 + 15 = 18$.
Ответ: сумма чисел 3 и 15; 18.

б) Выражение $15 - 6$ читается как «разность чисел 15 и 6». Значение этого выражения равно $15 - 6 = 9$.
Ответ: разность чисел 15 и 6; 9.

в) Выражение $15 \cdot 3$ читается как «произведение чисел 15 и 3». Значение этого выражения равно $15 \cdot 3 = 45$.
Ответ: произведение чисел 15 и 3; 45.

г) Выражение $15 : 3$ читается как «частное чисел 15 и 3». Значение этого выражения равно $15 : 3 = 5$.
Ответ: частное чисел 15 и 3; 5.

д) Выражение $(3 + 5)^2$ читается как «квадрат суммы чисел 3 и 5». Значение этого выражения равно $(3 + 5)^2 = 8^2 = 64$.
Ответ: квадрат суммы чисел 3 и 5; 64.

е) Выражение $(15 - 3)^2$ читается как «квадрат разности чисел 15 и 3». Значение этого выражения равно $(15 - 3)^2 = 12^2 = 144$.
Ответ: квадрат разности чисел 15 и 3; 144.

ж) Выражение $(15 \cdot 3)^2$ читается как «квадрат произведения чисел 15 и 3». Значение этого выражения равно $(15 \cdot 3)^2 = 45^2 = 2025$.
Ответ: квадрат произведения чисел 15 и 3; 2025.

з) Выражение $(15 : 3)^2$ читается как «квадрат частного чисел 15 и 3». Значение этого выражения равно $(15 : 3)^2 = 5^2 = 25$.
Ответ: квадрат частного чисел 15 и 3; 25.

и) Выражение $3^2 + 5^2$ читается как «сумма квадратов чисел 3 и 5». Значение этого выражения равно $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.
Ответ: сумма квадратов чисел 3 и 5; 34.

к) Выражение $8^2 + 9^2$ читается как «сумма квадратов чисел 8 и 9». Значение этого выражения равно $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$.
Ответ: сумма квадратов чисел 8 и 9; 145.

л) Выражение $9^2 - 7^2$ читается как «разность квадратов чисел 9 и 7». Значение этого выражения равно $9^2 - 7^2 = 81 - 49 = 32$.
Ответ: разность квадратов чисел 9 и 7; 32.

м) Выражение $10^2 - 2^2$ читается как «разность квадратов чисел 10 и 2». Значение этого выражения равно $10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96$.
Ответ: разность квадратов чисел 10 и 2; 96.

1.275. a) $45 : (5 + 4);$

б) $45 : 5 + 4;$

в) $13 \cdot 12 - 11;$

г) $13 \cdot (12 - 11);$

д) $18 \cdot (8 - 6 : 3);$

е) $18 \cdot 8 - 6 : 3;$

ж) $18 \cdot (8 - 6) : 3;$

з) $(18 \cdot 8 - 6) : 3;$

и) $18 \cdot 8 + 6 : 3.$

а) $45 : (5 + 4)$

В соответствии с порядком выполнения арифметических операций, сначала выполняем действие в скобках:

$5 + 4 = 9$

Затем выполняем деление:

$45 : 9 = 5$

Ответ: 5

б) $45 : 5 + 4$

Согласно порядку выполнения действий, деление имеет приоритет перед сложением. Сначала выполняем деление:

$45 : 5 = 9$

Затем выполняем сложение:

$9 + 4 = 13$

Ответ: 13

в) $13 \cdot 12 - 11$

Умножение выполняется перед вычитанием:

$13 \cdot 12 = 156$

Затем выполняем вычитание:

$156 - 11 = 145$

Ответ: 145

г) $13 \cdot (12 - 11)$

Сначала выполняем действие в скобках:

$12 - 11 = 1$

Затем выполняем умножение:

$13 \cdot 1 = 13$

Ответ: 13

д) $18 \cdot (8 - 6 : 3)$

Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок деление имеет приоритет перед вычитанием:

$6 : 3 = 2$

Теперь выполняем вычитание в скобках:

$8 - 2 = 6$

Наконец, выполняем умножение:

$18 \cdot 6 = 108$

Ответ: 108

е) $18 \cdot 8 - 6 : 3$

Умножение и деление выполняются слева направо перед вычитанием:

1. Умножение: $18 \cdot 8 = 144$

2. Деление: $6 : 3 = 2$

3. Вычитание: $144 - 2 = 142$

Ответ: 142

ж) $18 \cdot (8 - 6) : 3$

Сначала выполняем действие в скобках:

$8 - 6 = 2$

Далее умножение и деление выполняются по порядку слева направо:

$18 \cdot 2 = 36$

$36 : 3 = 12$

Ответ: 12

з) $(18 \cdot 8 - 6) : 3$

Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок умножение имеет приоритет:

$18 \cdot 8 = 144$

Теперь вычитание в скобках:

$144 - 6 = 138$

Наконец, выполняем деление:

$138 : 3 = 46$

Ответ: 46

и) $18 \cdot 8 + 6 : 3$

Умножение и деление выполняются слева направо перед сложением:

1. Умножение: $18 \cdot 8 = 144$

2. Деление: $6 : 3 = 2$

3. Сложение: $144 + 2 = 146$

Ответ: 146

1.276. а) $a+b$;

б) $a-b$;

в) $a \cdot b$;

г) $a : b$;

д) $(a+b)^2$;

е) $(a-b)^2$;

ж) $(a+b)^3$;

з) $(a-b)^3$;

и) $(a \cdot b)^2$;

к) $(a : b)^2$;

л) $(a \cdot b)^3$;

м) $(a : b)^3$;

н) $a^2+b^2$;

о) $a^3+b^3$;

п) $a^2-b^2$;

р) $a^3-b^3$;

где $a$ и $b$ — натуральные числа.

В задаче требуется определить, какие из предложенных выражений всегда будут давать в результате натуральное число, если переменные $a$ и $b$ сами являются натуральными числами. Натуральные числа — это числа, используемые для счета: $1, 2, 3, ...$

а) $a+b$

Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Это свойство замкнутости множества натуральных чисел относительно операции сложения.
Ответ: всегда является натуральным числом.

б) $a-b$

Разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Если $a \le b$, результат не будет натуральным числом. Например, если $a=3$ и $b=5$, то $a-b = 3-5 = -2$, что не является натуральным числом. Если $a=b$, результат равен 0, что также не является натуральным числом.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

в) $a \cdot b$

Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операции умножения.
Ответ: всегда является натуральным числом.

г) $a : b$

Частное от деления двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Результат будет натуральным числом только в том случае, если $a$ делится на $b$ без остатка. Например, если $a=2$ и $b=3$, то $a:b = 2/3$, что не является натуральным числом.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

д) $(a+b)^2$

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, их сумма $a+b$ также всегда является натуральным числом. Квадрат натурального числа — это произведение этого числа на само себя, что также всегда дает в результате натуральное число.
Ответ: всегда является натуральным числом.

е) $(a-b)^2$

Выражение $a-b$ может быть натуральным, целым отрицательным числом или нулем. Если $a=b$, то $a-b=0$, и $(a-b)^2 = 0^2 = 0$. Ноль не является натуральным числом. Поэтому данное выражение не всегда дает в результате натуральное число.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

ж) $(a+b)^3$

Сумма $a+b$ является натуральным числом. Куб натурального числа всегда является натуральным числом.
Ответ: всегда является натуральным числом.

з) $(a-b)^3$

Выражение $a-b$ может быть натуральным, целым отрицательным числом или нулем. Если $a < b$, то $a-b$ — отрицательное число, и его куб также будет отрицательным. Например, если $a=1$ и $b=2$, то $(1-2)^3 = (-1)^3 = -1$, что не является натуральным числом.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

и) $(a \cdot b)^2$

Произведение $a \cdot b$ двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Квадрат натурального числа также всегда является натуральным числом.
Ответ: всегда является натуральным числом.

к) $(a : b)^2$

Частное $a:b$ не всегда является натуральным числом. Если частное является дробью, то и его квадрат будет дробью. Например, если $a=1$ и $b=2$, то $(1:2)^2 = (0.5)^2 = 0.25$.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

л) $(a \cdot b)^3$

Произведение $a \cdot b$ является натуральным числом. Куб натурального числа всегда является натуральным числом.
Ответ: всегда является натуральным числом.

м) $(a : b)^3$

Частное $a:b$ не всегда является натуральным числом. Если частное является дробью, то и его куб будет дробью. Например, если $a=2$ и $b=3$, то $(2:3)^3 = (2/3)^3 = 8/27$.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

н) $a^2+b^2$

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $a^2$ и $b^2$ также являются натуральными числами. Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
Ответ: всегда является натуральным числом.

о) $a^3+b^3$

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $a^3$ и $b^3$ также являются натуральными числами. Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
Ответ: всегда является натуральным числом.

п) $a^2-b^2$

Выражения $a^2$ и $b^2$ являются натуральными числами. Однако их разность не всегда будет натуральным числом. Например, если $a=2$ и $b=3$, то $a^2-b^2 = 4-9 = -5$.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

р) $a^3-b^3$

Выражения $a^3$ и $b^3$ являются натуральными числами. Их разность не всегда будет натуральным числом. Например, если $a=1$ и $b=2$, то $a^3-b^3 = 1-8 = -7$.
Ответ: не всегда является натуральным числом.

1.277. а) $a : (b + c);$

б) $a : b + c;$

в) $a \cdot b - c;$

г) $a \cdot (b - c);$

д) $a \cdot (b - c : d);$

е) $a \cdot b - c : d;$

ж) $a \cdot (b - c) : d;$

з) $(a \cdot b - c) : d;$

и) $a \cdot b + c : d,$

где $a, b, c$ и $d$ — натуральные числа.

а) В выражении $a : (b + c)$ порядок действий следующий:
1. Сначала выполняется действие в скобках — сложение: $b + c$.
2. Затем выполняется деление: число $a$ делится на результат, полученный в скобках.
Ответ: 1) $b+c$; 2) $a : (b+c)$.

б) В выражении $a : b + c$ порядок действий следующий:
1. Согласно правилам, деление выполняется раньше сложения: $a : b$.
2. Затем к результату деления прибавляется число $c$.
Ответ: 1) $a:b$; 2) $(a:b) + c$.

в) В выражении $a \cdot b - c$ порядок действий следующий:
1. Умножение имеет приоритет перед вычитанием, поэтому сначала выполняется умножение: $a \cdot b$.
2. Затем из полученного произведения вычитается число $c$.
Ответ: 1) $a \cdot b$; 2) $(a \cdot b) - c$.

г) В выражении $a \cdot (b - c)$ порядок действий следующий:
1. Первым действием выполняется операция в скобках — вычитание: $b - c$.
2. Затем число $a$ умножается на результат, полученный в скобках.
Ответ: 1) $b-c$; 2) $a \cdot (b-c)$.

д) В выражении $a \cdot (b - c : d)$ порядок действий следующий:
1. Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок деление имеет приоритет над вычитанием, поэтому первым выполняется деление: $c : d$.
2. Вторым действием выполняется вычитание в скобках: из $b$ вычитается результат деления.
3. Третьим действием выполняется умножение: число $a$ умножается на результат, полученный в скобках.
Ответ: 1) $c:d$; 2) $b - (c:d)$; 3) $a \cdot (b - c:d)$.

е) В выражении $a \cdot b - c : d$ порядок действий следующий:
1. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются перед вычитанием. Порядок их выполнения — слева направо. Сначала умножение: $a \cdot b$.
2. Затем деление: $c : d$.
3. Последним действием выполняется вычитание: из результата умножения вычитается результат деления.
Ответ: 1) $a \cdot b$; 2) $c:d$; 3) $(a \cdot b) - (c:d)$.

ж) В выражении $a \cdot (b - c) : d$ порядок действий следующий:
1. Сначала выполняется действие в скобках — вычитание: $b - c$.
2. Затем выполняются умножение и деление по порядку слева направо. Сначала умножение: $a$ умножается на результат вычитания.
3. Затем деление: полученное произведение делится на $d$.
Ответ: 1) $b-c$; 2) $a \cdot (b-c)$; 3) $(a \cdot (b-c)) : d$.

з) В выражении $(a \cdot b - c) : d$ порядок действий следующий:
1. Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок умножение имеет приоритет над вычитанием, поэтому сначала выполняется умножение: $a \cdot b$.
2. Затем в скобках выполняется вычитание: из полученного произведения вычитается $c$.
3. Последним действием выполняется деление: результат, полученный в скобках, делится на $d$.
Ответ: 1) $a \cdot b$; 2) $(a \cdot b) - c$; 3) $((a \cdot b) - c) : d$.

и) В выражении $a \cdot b + c : d$ порядок действий следующий:
1. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются перед сложением. Порядок их выполнения — слева направо. Сначала умножение: $a \cdot b$.
2. Затем деление: $c : d$.
3. Последним действием выполняется сложение: результат умножения складывается с результатом деления.
Ответ: 1) $a \cdot b$; 2) $c:d$; 3) $(a \cdot b) + (c:d)$.