Страница 67 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.299. Прочитайте запись:

а) $2\ 837 \approx 2\ 840$;

б) $2\ 837 \approx 2\ 800$;

в) $92\ 837 \approx 93\ 000$;

г) $192\ 837 \approx 190\ 000$.

Задание состоит в том, чтобы прочитать вслух математические записи, которые являются примерами округления чисел. Знак $ \approx $ означает «приблизительно равно».

Запись $2 837 \approx 2 840$ читается: «две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно двум тысячам восьмистам сорока». В данном примере число 2 837 округлено до разряда десятков. Так как цифра в следующем, более младшем разряде (единиц) равна 7, а $7 \ge 5$, то цифра в разряде десятков увеличивается на 1 (3 становится 4), а разряд единиц обнуляется.

Ответ: две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно двум тысячам восьмистам сорока.

Запись $2 837 \approx 2 800$ читается: «две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно двум тысячам восьмистам». В данном примере число 2 837 округлено до разряда сотен. Так как цифра в следующем, более младшем разряде (десятков) равна 3, а $3 < 5$, то цифра в разряде сотен остается без изменений, а все последующие разряды (десятки и единицы) обнуляются.

Ответ: две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно двум тысячам восьмистам.

Запись $92 837 \approx 93 000$ читается: «девяносто две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно девяноста трём тысячам». В данном примере число 92 837 округлено до разряда тысяч. Так как цифра в следующем, более младшем разряде (сотен) равна 8, а $8 \ge 5$, то цифра в разряде тысяч увеличивается на 1 (2 становится 3), а все последующие разряды обнуляются.

Ответ: девяносто две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно девяноста трём тысячам.

Запись $192 837 \approx 190 000$ читается: «сто девяносто две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно ста девяноста тысячам». В данном примере число 192 837 округлено до разряда десятков тысяч. Так как цифра в следующем, более младшем разряде (тысяч) равна 2, а $2 < 5$, то цифра в разряде десятков тысяч остается без изменений, а все последующие разряды обнуляются.

Ответ: сто девяносто две тысячи восемьсот тридцать семь приблизительно равно ста девяноста тысячам.

1.300. а) В каких случаях в предыдущем задании указаны приближе- ния чисел с недостатком, в каких — с избытком?

б) До какого разряда выполнено округление натуральных чисел в каждом случае?

Поскольку в вопросе содержится ссылка на предыдущее задание, которое не предоставлено, для ответа на вопросы будут использованы следующие гипотетические примеры округления чисел, которые могли быть в предыдущем задании:

• Пример 1: $234 \approx 230$
• Пример 2: $876 \approx 880$
• Пример 3: $1432 \approx 1400$
• Пример 4: $5689 \approx 5700$
• Пример 5: $45111 \approx 45000$
• Пример 6: $127500 \approx 130000$

а) В каких случаях в предыдущем задании указаны приближения чисел с недостатком, в каких — с избытком?

Приближение числа называется приближением с недостатком, если округленное число меньше исходного. Это происходит, когда первая отбрасываемая цифра (справа от разряда, до которого округляют) равна 0, 1, 2, 3 или 4.

Приближение числа называется приближением с избытком, если округленное число больше исходного. Это происходит, когда первая отбрасываемая цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9.

Проанализируем наши примеры:

• Пример 1: $234 \approx 230$. Так как $230 < 234$, это приближение с недостатком.
• Пример 2: $876 \approx 880$. Так как $880 > 876$, это приближение с избытком.
• Пример 3: $1432 \approx 1400$. Так как $1400 < 1432$, это приближение с недостатком.
• Пример 4: $5689 \approx 5700$. Так как $5700 > 5689$, это приближение с избытком.
• Пример 5: $45111 \approx 45000$. Так как $45000 < 45111$, это приближение с недостатком.
• Пример 6: $127500 \approx 130000$. Так как $130000 > 127500$, это приближение с избытком.

Ответ: Приближения с недостатком указаны в примерах 1, 3, 5. Приближения с избытком указаны в примерах 2, 4, 6.

б) До какого разряда выполнено округление натуральных чисел в каждом случае?

Чтобы определить разряд, до которого выполнено округление, нужно посмотреть на позицию самой правой цифры, отличной от нуля, в округленном числе. Все последующие цифры справа должны быть нулями.

• Пример 1 ($234 \approx 230$): самая правая ненулевая цифра (3) находится в разряде десятков.
• Пример 2 ($876 \approx 880$): самая правая ненулевая цифра (8) находится в разряде десятков.
• Пример 3 ($1432 \approx 1400$): самая правая ненулевая цифра (4) находится в разряде сотен.
• Пример 4 ($5689 \approx 5700$): самая правая ненулевая цифра (7) находится в разряде сотен.
• Пример 5 ($45111 \approx 45000$): самая правая ненулевая цифра (5) находится в разряде тысяч.
• Пример 6 ($127500 \approx 130000$): самая правая ненулевая цифра (3) находится в разряде десятков тысяч.

Ответ: Округление выполнено: до десятков в примерах 1 и 2; до сотен в примерах 3 и 4; до тысяч в примере 5; до десятков тысяч в примере 6.

1.301. Округлите число $a = 39481$:

а) до десятков;

б) до сотен;

в) до тысяч;

г) до десятков тысяч.

Правило округления числа: чтобы округлить число до определенного разряда, нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда.

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в округляемом разряде остается без изменений, а все цифры справа от нее заменяются нулями.
• Если справа стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу, а все цифры справа от нее заменяются нулями.

Исходное число: $a = 39481$.

а) до десятков

Округляем до разряда десятков, в котором стоит цифра 8. Смотрим на следующую цифру справа — это 1. Так как $1 < 5$, цифру 8 оставляем без изменений, а цифру в разряде единиц заменяем на 0.

$39481 \approx 39480$

Ответ: 39 480

б) до сотен

Округляем до разряда сотен, в котором стоит цифра 4. Смотрим на следующую цифру справа — это 8. Так как $8 \ge 5$, цифру 4 увеличиваем на единицу ($4+1=5$), а все цифры справа заменяем нулями.

$39481 \approx 39500$

Ответ: 39 500

в) до тысяч

Округляем до разряда тысяч, в котором стоит цифра 9. Смотрим на следующую цифру справа — это 4. Так как $4 < 5$, цифру 9 оставляем без изменений, а все цифры справа заменяем нулями.

$39481 \approx 39000$

Ответ: 39 000

г) до десятков тысяч

Округляем до разряда десятков тысяч, в котором стоит цифра 3. Смотрим на следующую цифру справа — это 9. Так как $9 \ge 5$, цифру 3 увеличиваем на единицу ($3+1=4$), а все цифры справа заменяем нулями.

$39481 \approx 40000$

Ответ: 40 000

1.302. Стороны прямоугольника равны 827 мм и 283 мм. Вычислите периметр прямоугольника в сантиметрах, взяв приближения длин сторон с точностью до десятков:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Даны стороны прямоугольника: $a = 827$ мм и $b = 283$ мм. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, сначала необходимо найти приближенные значения длин сторон с точностью до десятков миллиметров для каждого случая, а затем вычислить периметр и перевести его в сантиметры, зная, что $1$ см $= 10$ мм.

а) с недостатком;

Найдем приближения длин сторон с недостатком с точностью до десятков. Для этого отбрасываем разряд единиц, заменяя его нулем. $a_1 \approx 820$ мм.
$b_1 \approx 280$ мм.
Теперь вычислим периметр с этими значениями: $P_1 = 2(a_1 + b_1) = 2(820 \text{ мм} + 280 \text{ мм}) = 2 \cdot 1100 \text{ мм} = 2200$ мм. Переведем результат в сантиметры: $2200 \text{ мм} = 220$ см.
Ответ: 220 см.

б) с избытком;

Найдем приближения длин сторон с избытком с точностью до десятков. Для этого увеличиваем разряд десятков на единицу, а разряд единиц заменяем нулем. $a_2 \approx 830$ мм.
$b_2 \approx 290$ мм.
Вычислим периметр с этими значениями: $P_2 = 2(a_2 + b_2) = 2(830 \text{ мм} + 290 \text{ мм}) = 2 \cdot 1120 \text{ мм} = 2240$ мм. Переведем результат в сантиметры: $2240 \text{ мм} = 224$ см.
Ответ: 224 см.

в) с округлением.

Округлим длины сторон до десятков по стандартным математическим правилам. Для стороны $a = 827$ мм: цифра в разряде единиц равна 7, что больше или равно 5, поэтому округляем в большую сторону (увеличиваем разряд десятков на 1). $a_3 \approx 830$ мм.
Для стороны $b = 283$ мм: цифра в разряде единиц равна 3, что меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону (отбрасываем единицы). $b_3 \approx 280$ мм.
Вычислим периметр с округленными значениями: $P_3 = 2(a_3 + b_3) = 2(830 \text{ мм} + 280 \text{ мм}) = 2 \cdot 1110 \text{ мм} = 2220$ мм. Переведем результат в сантиметры: $2220 \text{ мм} = 222$ см.
Ответ: 222 см.