Страница 74 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.321. а) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, сумма которых равна 912. Найдите двузначное число.

б) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, сумма которых равна 926. Найдите двузначное число.

в) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, сумма которых равна 5929. Найдите трёхзначное число.

г) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, сумма которых равна 8360. Найдите трёхзначное число.

а) Пусть искомое двузначное число равно $x$. Когда к нему приписывают цифру 5 слева, получается новое трёхзначное число, которое можно выразить как $500 + x$. Когда к нему приписывают цифру 5 справа, получается число $10x + 5$. По условию, сумма этих двух чисел равна 912. Составим уравнение:
$(500 + x) + (10x + 5) = 912$
$505 + 11x = 912$
$11x = 912 - 505$
$11x = 407$
$x = 407 \div 11$
$x = 37$
Проверка: если исходное число 37, то приписав 5 слева, получим 537, а приписав 5 справа, получим 375. Их сумма: $537 + 375 = 912$. Условие выполнено.
Ответ: 37

б) Пусть искомое двузначное число равно $x$. Когда к нему приписывают цифру 1 слева, получается число $100 + x$. Когда к нему приписывают цифру 1 справа, получается число $10x + 1$. Сумма этих двух чисел равна 926. Составим уравнение:
$(100 + x) + (10x + 1) = 926$
$101 + 11x = 926$
$11x = 926 - 101$
$11x = 825$
$x = 825 \div 11$
$x = 75$
Проверка: если исходное число 75, то приписав 1 слева, получим 175, а приписав 1 справа, получим 751. Их сумма: $175 + 751 = 926$. Условие выполнено.
Ответ: 75

в) Пусть искомое трёхзначное число равно $y$. Когда к нему приписывают цифру 2 слева, получается новое четырёхзначное число, которое можно выразить как $2000 + y$. Когда к нему приписывают цифру 2 справа, получается число $10y + 2$. Сумма этих двух чисел равна 5929. Составим уравнение:
$(2000 + y) + (10y + 2) = 5929$
$2002 + 11y = 5929$
$11y = 5929 - 2002$
$11y = 3927$
$y = 3927 \div 11$
$y = 357$
Проверка: если исходное число 357, то приписав 2 слева, получим 2357, а приписав 2 справа, получим 3572. Их сумма: $2357 + 3572 = 5929$. Условие выполнено.
Ответ: 357

г) Пусть искомое трёхзначное число равно $y$. Когда к нему приписывают цифру 7 слева, получается число $7000 + y$. Когда к нему приписывают цифру 7 справа, получается число $10y + 7$. Сумма этих двух чисел равна 8360. Составим уравнение:
$(7000 + y) + (10y + 7) = 8360$
$7007 + 11y = 8360$
$11y = 8360 - 7007$
$11y = 1353$
$y = 1353 \div 11$
$y = 123$
Проверка: если исходное число 123, то приписав 7 слева, получим 7123, а приписав 7 справа, получим 1237. Их сумма: $7123 + 1237 = 8360$. Условие выполнено.
Ответ: 123

1.322. a) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 234. Найдите двузначное число.

б) К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 162. Найдите двузначное число.

в) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 2214. Найдите трёхзначное число.

г) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 639. Найдите трёхзначное число.

а) Пусть искомое двузначное число равно $x$. Когда к числу $x$ приписывают цифру 5 слева, получается новое число, равное $500 + x$. Когда к числу $x$ приписывают цифру 5 справа, получается новое число, равное $10x + 5$.
Разность этих двух чисел равна 234. Это можно записать в виде уравнения, используя модуль, так как не указано, какое из чисел больше:
$|(500 + x) - (10x + 5)| = 234$
$|495 - 9x| = 234$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $495 - 9x = 234$
$9x = 495 - 234$
$9x = 261$
$x = 261 / 9 = 29$
Проверка: число 29 — двузначное. Новые числа: 529 и 295. Разность: $529 - 295 = 234$. Решение верное.
2) $495 - 9x = -234$
$9x = 495 + 234$
$9x = 729$
$x = 729 / 9 = 81$
Проверка: число 81 — двузначное. Новые числа: 581 и 815. Разность: $815 - 581 = 234$. Решение также верное.
Оба числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 29 или 81.

б) Пусть искомое двузначное число равно $x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 6 слева, получается число $600 + x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 6 справа, получается число $10x + 6$.
Разность этих чисел равна 162. Составим уравнение:
$|(600 + x) - (10x + 6)| = 162$
$|594 - 9x| = 162$
Рассмотрим два возможных случая:
1) $594 - 9x = 162$
$9x = 594 - 162$
$9x = 432$
$x = 432 / 9 = 48$
Проверка для числа 48: новые числа — 648 и 486. Разность $648 - 486 = 162$. Решение верное.
2) $594 - 9x = -162$
$9x = 594 + 162$
$9x = 756$
$x = 756 / 9 = 84$
Проверка для числа 84: новые числа — 684 и 846. Разность $846 - 684 = 162$. Решение также верное.

Ответ: 48 или 84.

в) Пусть искомое трёхзначное число равно $x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 слева, получается четырёхзначное число $9000 + x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 справа, получается четырёхзначное число $10x + 9$.
Разность этих чисел равна 2214. Составим уравнение:
$|(9000 + x) - (10x + 9)| = 2214$
$|8991 - 9x| = 2214$
Рассмотрим два возможных случая:
1) $8991 - 9x = 2214$
$9x = 8991 - 2214$
$9x = 6777$
$x = 6777 / 9 = 753$
Число 753 является трёхзначным. Проверка: новые числа 9753 и 7539. Разность $9753 - 7539 = 2214$. Решение верное.
2) $8991 - 9x = -2214$
$9x = 8991 + 2214$
$9x = 11205$
$x = 11205 / 9 = 1245$
Число 1245 является четырёхзначным, а по условию искомое число должно быть трёхзначным. Следовательно, это решение не подходит.

Ответ: 753.

г) Пусть искомое трёхзначное число равно $x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 слева, получается число $9000 + x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 справа, получается число $10x + 9$.
Разность этих чисел равна 639. Составим уравнение:
$|(9000 + x) - (10x + 9)| = 639$
$|8991 - 9x| = 639$
Рассмотрим два возможных случая:
1) $8991 - 9x = 639$
$9x = 8991 - 639$
$9x = 8352$
$x = 8352 / 9 = 928$
Число 928 является трёхзначным. Проверка: новые числа 9928 и 9289. Разность $9928 - 9289 = 639$. Решение верное.
2) $8991 - 9x = -639$
$9x = 8991 + 639$
$9x = 9630$
$x = 9630 / 9 = 1070$
Число 1070 является четырёхзначным, что не соответствует условию задачи. Следовательно, это решение не подходит.

Ответ: 928.

1.323. Автотурист отправился в путешествие на четырёхколёсном автомобиле с одним запасным колесом. По дороге он менял колёса с таким расчётом, чтобы каждое колесо проехало один и тот же путь. Определите:

а) сколько километров проехало каждое колесо, если автомобиль проехал 4000 км;

б) сколько километров проехал автомобиль, если каждое из пяти колёс проехало 4000 км.

а) сколько километров проехало каждое колесо, если автомобиль проехал 4000 км;
Поскольку автомобиль четырехколесный, то суммарное расстояние, пройденное всеми колесами, установленными на автомобиле, равно произведению расстояния, пройденного автомобилем, на количество колес. Назовем это "колесо-километраж".
Суммарный "колесо-километраж" составляет: $4 \times 4000 \text{ км} = 16000 \text{ км}$.
Этот суммарный пробег равномерно распределяется на все 5 колес (4 основных и 1 запасное), так как по условию каждое колесо проехало один и тот же путь.
Следовательно, расстояние, которое проехало каждое колесо, равно:
$16000 \text{ км} \div 5 = 3200 \text{ км}$.
Ответ: 3200 км.

б) сколько километров проехал автомобиль, если каждое из пяти колёс проехало 4000 км.
Найдем суммарный пробег всех пяти колес. Поскольку каждое из 5 колес проехало 4000 км, то общий "колесо-километраж" составляет:
$5 \times 4000 \text{ км} = 20000 \text{ км}$.
Этот суммарный пробег был обеспечен четырьмя местами для колес на автомобиле. Чтобы найти расстояние, которое проехал сам автомобиль, нужно разделить общий "колесо-километраж" на количество одновременно используемых колес.
Следовательно, автомобиль проехал:
$20000 \text{ км} \div 4 = 5000 \text{ км}$.
Ответ: 5000 км.

1.324 На столе лежат девять спичек (рис. 32). Расположите их так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было:

а) по 4;

б) по 6;

в) по 9;

г) по 11.

а) Эта задача является головоломкой на нестандартное мышление. Расположить 9 спичек так, чтобы в каждом из нескольких горизонтальных рядов было по 4 спички, используя все 9, геометрически невозможно. Решение заключается в том, чтобы выложить из девяти спичек слово «ЧЕТЫРЕ». Таким образом, на столе будет лежать число 4, представленное в виде слова, и условие «по 4» будет выполнено в переносном смысле.
Ответ: Выложить из 9 спичек слово «ЧЕТЫРЕ».

б) Аналогично предыдущему пункту, решение состоит в том, чтобы использовать 9 спичек для составления слова «ШЕСТЬ». Так как создать геометрическую фигуру, в каждом горизонтальном ряду которой было бы по 6 спичек, из 9 спичек невозможно, используется игра слов.
Ответ: Выложить из 9 спичек слово «ШЕСТЬ».

в) В этом случае существует прямое геометрическое решение. Нужно положить все девять спичек в один горизонтальный ряд, вплотную друг к другу. В результате получится один-единственный горизонтальный ряд, и в нем будет ровно 9 спичек, что полностью удовлетворяет условию «в каждом горизонтальном ряду было по 9».
Ответ: Выложить все 9 спичек в одну линию (в один горизонтальный ряд).

г) Как и в пунктах а) и б), прямое решение невозможно, так как у нас всего 9 спичек, а требуется получить 11. Задача решается с помощью составления слова. Из девяти спичек нужно выложить слово «ОДИННАДЦАТЬ». Это и будет расположением, которое в результате дает число 11 в рамках данной головоломки.
Ответ: Выложить из 9 спичек слово «ОДИННАДЦАТЬ».