Страница 78 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.336. Коля написал два раза своё имя (рис. 38, а). Его сосед по парте заметил, что Коля может прочитать своё имя более чем 10 способами, и показал один из них (рис. 38, б). Сколькими способами Коля может прочитать своё имя?

а) К О Л Я

К О Л Я

б) К О Л Я

К О Л Я

Рис. 38

Для решения этой задачи необходимо посчитать все возможные пути, которыми можно прочитать слово "КОЛЯ". Согласно условию, буквы слова должны быть соседними, то есть располагаться в ячейках, которые соприкасаются сторонами или углами. Буквы расположены в виде сетки 2x4:

К О Л Я
К О Л Я

Мы будем последовательно вычислять количество способов, которыми можно составить начальные части слова, заканчивающиеся на каждой букве.

1. Выбор первой буквы "К"
Слово можно начать читать с любой из двух букв "К". Таким образом, у нас есть 2 начальные точки. Количество способов "дойти" до каждой из букв "К" равно 1.

2. Переход к букве "О"
Каждая из двух букв "О" является соседней для обеих букв "К".

• К верхней букве "О" можно перейти от верхней "К" и от нижней "К". Следовательно, количество способов составить слог "КО", заканчивающийся на верхней "О", равно $1+1=2$.
• Аналогично, к нижней букве "О" можно перейти от верхней "К" и от нижней "К". Количество способов составить слог "КО", заканчивающийся на нижней "О", равно $1+1=2$.

3. Переход к букве "Л"
Каждая из двух букв "Л" является соседней для обеих букв "О". Мы уже знаем, что до каждой из букв "О" можно добраться двумя способами.

• К верхней букве "Л" можно перейти от верхней "О" (2 способа) и от нижней "О" (2 способа). Таким образом, количество способов составить "КОЛ", заканчивающийся на верхней "Л", равно $2+2=4$.
• Аналогично, к нижней букве "Л" можно перейти от верхней "О" и от нижней "О". Количество способов равно $2+2=4$.

4. Переход к букве "Я"
Каждая из двух букв "Я" является соседней для обеих букв "Л". Мы уже знаем, что до каждой из букв "Л" можно добраться четырьмя способами.

• К верхней букве "Я" можно перейти от верхней "Л" (4 способа) и от нижней "Л" (4 способа). Таким образом, количество способов прочитать всё слово "КОЛЯ", заканчивая на верхней "Я", равно $4+4=8$.
• Аналогично, к нижней букве "Я" можно перейти от верхней "Л" и от нижней "Л". Количество способов равно $4+4=8$.

Чтобы найти общее количество способов прочитать слово "КОЛЯ", нужно сложить количество всех путей, которые заканчиваются на последней букве "Я".
Общее количество способов = (способы, заканчивающиеся на верхней "Я") + (способы, заканчивающиеся на нижней "Я") = $8 + 8 = 16$.

Ответ: 16.

1.337. На рисунке 39 показано, как можно прочитать слово МАРШРУТ. Подсчитайте число всех способов, которыми можно прочитать это слово.

Рис. 39

Для решения задачи необходимо подсчитать количество всех возможных путей, которыми можно прочитать слово «МАРШРУТ», перемещаясь по сетке с буквами. Проанализировав пример, показанный на рисунке, можно сформулировать правила движения:

1. Путь состоит из 7 последовательных ячеек, буквы в которых образуют слово «МАРШРУТ».
2. Переход от одной буквы к другой возможен в любую из 8 соседних ячеек (по горизонтали, вертикали или диагонали).
3. Каждая ячейка в пути может быть использована только один раз.
4. Координата столбца при движении от буквы к букве не должна уменьшаться. То есть, если текущая ячейка находится в столбце $j$, то следующая ячейка должна быть в столбце $j$ или $j+1$.

Будем решать задачу методом динамического программирования. Обозначим через $N_k(r, c)$ количество способов составить начальную часть слова из $k$ букв, заканчивающуюся в ячейке с координатами $(r, c)$, где $r$ – номер строки, а $c$ – номер столбца. Сетка с буквами выглядит так (пустые ячейки обозначены прочерком):

(1,1)М (1,2)Р (1,3)Р (1,4)Т
(2,1)- (2,2)А (2,3)Ш (2,4)У
(3,1)М (3,2)Р (3,3)Р (3,4)Т
(4,1)- (4,2)А (4,3)Ш (4,4)У
(5,1)М (5,2)Р (5,3)Р (5,4)Т

Шаг 1: Буква М (k=1)

Начать можно с любой из трех букв «М» в первом столбце. Таким образом, для каждой из этих ячеек существует один способ начать слово.

• $N_1(1,1) = 1$
• $N_1(3,1) = 1$
• $N_1(5,1) = 1$

Шаг 2: Буква А (k=2)

В ячейку с буквой «А» можно попасть из соседних ячеек с буквой «М».
Для ячейки А(2,2) соседними являются М(1,1) и М(3,1).
$N_2(2,2) = N_1(1,1) + N_1(3,1) = 1 + 1 = 2$
Для ячейки А(4,2) соседними являются М(3,1) и М(5,1).
$N_2(4,2) = N_1(3,1) + N_1(5,1) = 1 + 1 = 2$

Шаг 3: Буква Р (k=3)

В ячейки с буквой «Р» можно попасть из соседних ячеек с буквой «А», при условии, что номер столбца не уменьшается.
$N_3(1,2) = N_2(2,2) = 2$
$N_3(3,2) = N_2(2,2) + N_2(4,2) = 2 + 2 = 4$
$N_3(5,2) = N_2(4,2) = 2$
$N_3(1,3) = N_2(2,2) = 2$
$N_3(3,3) = N_2(2,2) + N_2(4,2) = 2 + 2 = 4$
$N_3(5,3) = N_2(4,2) = 2$

Шаг 4: Буква Ш (k=4)

В ячейки с буквой «Ш» можно попасть из соседних ячеек с буквой «Р».
Для Ш(2,3) соседними являются Р(1,2), Р(3,2), Р(1,3), Р(3,3).
$N_4(2,3) = N_3(1,2) + N_3(3,2) + N_3(1,3) + N_3(3,3) = 2 + 4 + 2 + 4 = 12$
Для Ш(4,3) соседними являются Р(3,2), Р(5,2), Р(3,3), Р(5,3).
$N_4(4,3) = N_3(3,2) + N_3(5,2) + N_3(3,3) + N_3(5,3) = 4 + 2 + 4 + 2 = 12$

Шаг 5: Буква Р (k=5)

Это пятая буква слова, и она также является буквой «Р». Согласно правилу, мы не можем использовать ту же ячейку дважды. Путь выглядит как ...Р → Ш → Р... , где ячейки для первой и второй «Р» должны быть разными. Количество путей до ячейки $Р_{next}$, идущих через $Ш$, равно общему числу путей до $Ш$ минус те пути, которые пришли в $Ш$ из $Р_{next}$.
Из Ш(2,3) можно перейти в соседние Р(1,3) и Р(3,3) (т.к. номер столбца $\geq 3$).
Вклад в $N_5(1,3)$ от Ш(2,3): $N_4(2,3) - N_3(1,3) = 12 - 2 = 10$.
Вклад в $N_5(3,3)$ от Ш(2,3): $N_4(2,3) - N_3(3,3) = 12 - 4 = 8$.
Из Ш(4,3) можно перейти в соседние Р(3,3) и Р(5,3).
Вклад в $N_5(3,3)$ от Ш(4,3): $N_4(4,3) - N_3(3,3) = 12 - 4 = 8$.
Вклад в $N_5(5,3)$ от Ш(4,3): $N_4(4,3) - N_3(5,3) = 12 - 2 = 10$.
Итоговые значения для пятого шага:
$N_5(1,3) = 10$
$N_5(3,3) = 8 + 8 = 16$
$N_5(5,3) = 10$

Шаг 6: Буква У (k=6)

В ячейки с буквой «У» можно попасть из соседних ячеек с буквой «Р» (из шага 5).
Для У(2,4) соседними являются Р(1,3) и Р(3,3).
$N_6(2,4) = N_5(1,3) + N_5(3,3) = 10 + 16 = 26$
Для У(4,4) соседними являются Р(3,3) и Р(5,3).
$N_6(4,4) = N_5(3,3) + N_5(5,3) = 16 + 10 = 26$

Шаг 7: Буква Т (k=7)

В ячейки с буквой «Т» можно попасть из соседних ячеек с буквой «У».
$N_7(1,4) = N_6(2,4) = 26$
$N_7(3,4) = N_6(2,4) + N_6(4,4) = 26 + 26 = 52$
$N_7(5,4) = N_6(4,4) = 26$

Итог

Общее число способов прочитать слово «МАРШРУТ» равно сумме всех путей, заканчивающихся на букве «Т».
Всего способов = $N_7(1,4) + N_7(3,4) + N_7(5,4) = 26 + 52 + 26 = 104$.

Ответ: 104.

1.338. Учащиеся выполняли задание, в котором требуется найти пропущенные числа:

$\begin{array}{ccc} \text{ } & 26 & 52 \\ 11 & \text{ } & 44 \end{array}$

У них получились разные ответы:

1) $\begin{array}{ccc} 26 & 26 & 52 \\ 11 & 33 & 44 \end{array}$

2) $\begin{array}{ccc} 19 & 26 & 52 \\ 11 & 18 & 44 \end{array}$

3) $\begin{array}{ccc} 2 & 26 & 52 \\ 11 & 25 & 44 \end{array}$

Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки, и придумайте ещё одно решение.

1) Правило: в каждой строке третье число равно сумме двух первых чисел.
Для первой строки: $26 + 26 = 52$.
Для второй строки: $11 + 33 = 44$.
Ответ: пропущенные числа — 26 и 33.

2) Правило: в каждом столбце разность между верхним и нижним числом постоянна и равна 8.
Для первого столбца: $19 - 11 = 8$.
Для второго столбца: $26 - 18 = 8$.
Для третьего столбца: $52 - 44 = 8$.
Ответ: пропущенные числа — 19 и 18.

3) Правило: сумма всех чисел в первой строке равна сумме всех чисел во второй строке.
Сумма чисел в первой строке: $2 + 26 + 52 = 80$.
Сумма чисел во второй строке: $11 + 25 + 44 = 80$.
Ответ: пропущенные числа — 2 и 25.

Ещё одно решение:
Правило: числа в каждой строке образуют геометрическую прогрессию, где каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего.
Для первой строки: $13 \times 2 = 26$ и $26 \times 2 = 52$.
Для второй строки: $11 \times 2 = 22$ и $22 \times 2 = 44$.
Ответ: пропущенные числа — 13 и 22.

1.339. Докажите, что предыдущая задача имеет бесконечно много решений.

В предыдущей задаче рассматривалось уравнение $(x-a)(x-6)=0$. В данной задаче под «решениями» понимаются все пары чисел $(x, a)$, которые удовлетворяют этому уравнению. Докажем, что таких пар бесконечно много.

Уравнение $(x-a)(x-6)=0$ представляет собой произведение двух сомножителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x-a=0$ или $x-6=0$.

Рассмотрим два случая, приводящие к решению.

1. $x - 6 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x=6$. Подставив это значение в исходное уравнение, получим $(6-a)(6-6)=0$, что эквивалентно $(6-a) \cdot 0 = 0$. Это равенство верно при любом значении переменной $a$. Следовательно, любая пара чисел вида $(6, a)$, где $a$ — любое действительное число, является решением. Поскольку существует бесконечное множество действительных чисел, то существует и бесконечное множество решений такого вида (например, $(6, 1)$, $(6, 5)$, $(6, -100)$ и т.д.).

2. $x - a = 0$

Из этого уравнения следует, что $x=a$. Это означает, что любая пара чисел, у которой первая и вторая компоненты равны, является решением. Например, пары $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(-\pi, -\pi)$ и т.д. Поскольку существует бесконечное множество таких пар, это также доказывает наличие бесконечного множества решений.

Так как мы показали существование двух бесконечных семейств решений, мы доказали, что исходное уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: Утверждение доказано.