Страница 76 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.328. a) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты — 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько — только монеты? (Решите задачу, используя рисунок 33.)

Марки $8$ Монеты $5$

$11$

Рис. 33

б) Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимаются и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?

в) Из 35 учащихся класса 12 участвовали в конкурсе чтецов, 10 — в конкурсе на лучший рисунок, 4 принимали участие в обоих конкурсах. Сколько учащихся не участвовало ни в одном конкурсе?

а)

Это возможно, если некоторые ученики коллекционируют и марки, и монеты одновременно. На рисунке 33 это показано как пересечение двух кругов. Когда мы складываем число коллекционеров марок (8) и число коллекционеров монет (5), мы дважды считаем тех, кто находится в пересечении.

1) Найдем, сколько получилось бы человек, если бы каждый коллекционировал что-то одно:

$8 + 5 = 13$ (человек)

2) Эта сумма на $13 - 11 = 2$ человека больше, чем общее число коллекционеров. Это означает, что 2 человека коллекционируют и марки, и монеты.

$13 - 11 = 2$ (человека) – коллекционируют и марки, и монеты.

3) Теперь найдем, сколько человек коллекционируют только марки. Для этого из общего числа коллекционеров марок вычтем тех, кто собирает и то, и другое:

$8 - 2 = 6$ (человек) – коллекционируют только марки.

4) Аналогично найдем, сколько человек коллекционируют только монеты:

$5 - 2 = 3$ (человека) – коллекционируют только монеты.

Ответ: Это возможно, так как 2 человека коллекционируют и марки, и монеты. Только марки коллекционируют 6 человек, только монеты — 3 человека.

б)

По условию задачи, все 38 учащихся класса занимаются либо в хоре, либо в лыжной секции. Нам нужно найти, сколько учащихся занимаются в обеих секциях одновременно.

1) Сложим количество учащихся в хоре и в лыжной секции:

$24 + 15 = 39$ (учащихся)

2) Полученная сумма (39) больше, чем общее количество учащихся в классе (38). Разница возникла из-за того, что ученики, посещающие обе секции, были посчитаны дважды. Эта разница и есть искомое количество учеников.

$39 - 38 = 1$ (учащийся)

Ответ: 1 учащийся занимается и в хоре, и в лыжной секции.

в)

Чтобы найти, сколько учащихся не участвовало ни в одном конкурсе, сначала нужно определить, сколько всего учеников приняло участие хотя бы в одном из конкурсов.

1) В конкурсе чтецов участвовало 12 человек, в конкурсе на лучший рисунок — 10 человек. При этом 4 человека участвовали в обоих конкурсах. Чтобы найти общее число участников, нужно сложить участников каждого конкурса и вычесть тех, кого посчитали дважды (участников обоих конкурсов).

$12 + 10 - 4 = 18$ (учащихся) – приняли участие хотя бы в одном конкурсе.

2) Теперь, зная, что всего в классе 35 учащихся, а 18 из них участвовали в конкурсах, найдем количество тех, кто не участвовал ни в одном.

$35 - 18 = 17$ (учащихся)

Ответ: 17 учащихся не участвовало ни в одном конкурсе.

1.329 а) В нашем классе 32 учащихся. Из них 23 любят кошек, 18 – собак. Причём 10 учащихся любят и кошек, и собак. Сколько учащихся нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

б) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино — 21, а 5 учащихся не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько учащихся нашего класса ходили и на экскурсию, и в кино?

в) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино и в музей — 6, а 2 учащихся не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько учащихся нашего класса ходили в кино?

г) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Два человека, коллекционирующие и марки, и монеты, составляют половину всех коллекционеров монет и треть всех коллекционеров марок. Сколько всего коллекционеров в нашем классе?

а) Для решения этой задачи используем формулу включений-исключений. Пусть $K$ – множество учащихся, которые любят кошек, а $C$ – множество учащихся, которые любят собак. По условию, всего в классе 32 учащихся, $|K| = 23$, $|C| = 18$, а количество учащихся, которые любят и кошек, и собак, составляет $|K \cap C| = 10$.

Сначала найдем, сколько учащихся любят хотя бы одно из этих животных. Это количество равно размеру объединения множеств $K$ и $C$:

$|K \cup C| = |K| + |C| - |K \cap C| = 23 + 18 - 10 = 31$

Итак, 31 учащийся любит хотя бы одно животное. Чтобы найти количество учащихся, которые не любят ни кошек, ни собак, нужно из общего числа учащихся вычесть это количество:

$32 - |K \cup C| = 32 - 31 = 1$

Ответ: 1 учащийся не любит ни кошек, ни собак.

б) В классе 30 учащихся. Пусть $M$ – множество учащихся, ходивших в музей, а $K$ – множество учащихся, ходивших в кино. Известно, что $|M| = 23$ и $|K| = 21$. Также известно, что 5 учащихся не ходили ни в музей, ни в кино.

Найдем количество учащихся, которые ходили хотя бы на одно мероприятие (в музей или в кино). для этого вычтем из общего числа учащихся тех, кто никуда не ходил:

$30 - 5 = 25$

Это число соответствует размеру объединения множеств $M$ и $K$, то есть $|M \cup K| = 25$. Нам нужно найти количество учащихся, которые ходили и в музей, и в кино, то есть $|M \cap K|$. Воспользуемся формулой включений-исключений:

$|M \cup K| = |M| + |K| - |M \cap K|$

Подставим известные значения:

$25 = 23 + 21 - |M \cap K|$

$25 = 44 - |M \cap K|$

$|M \cap K| = 44 - 25 = 19$

Ответ: 19 учащихся ходили и на экскурсию, и в кино.

в) В классе 30 учащихся. Пусть $M$ – множество учащихся, ходивших в музей, а $K$ – множество учащихся, ходивших в кино. По условию, $|M| = 23$. Количество учащихся, ходивших и в кино, и в музей, равно $|M \cap K| = 6$. Два учащихся не ходили ни в кино, ни на экскурсию.

Найдем количество учащихся, которые посетили хотя бы одно из мероприятий. Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто никуда не ходил:

$30 - 2 = 28$

Это число является размером объединения множеств $M$ и $K$, то есть $|M \cup K| = 28$. Нам нужно найти, сколько учащихся ходили в кино, то есть $|K|$. Снова используем формулу включений-исключений:

$|M \cup K| = |M| + |K| - |M \cap K|$

Подставим известные значения:

$28 = 23 + |K| - 6$

$28 = 17 + |K|$

$|K| = 28 - 17 = 11$

Ответ: 11 учащихся ходили в кино.

г) Пусть $М$ – множество коллекционеров марок, а $Н$ – множество коллекционеров монет. Количество человек, коллекционирующих и марки, и монеты, равно 2, то есть $|М \cap Н| = 2$.

Эти 2 человека составляют половину всех коллекционеров монет. Значит, общее число коллекционеров монет $|Н|$ можно найти так:

$|Н| = 2 \times 2 = 4$

Эти же 2 человека составляют треть всех коллекционеров марок. Значит, общее число коллекционеров марок $|М|$ равно:

$|М| = 2 \times 3 = 6$

Чтобы найти общее число коллекционеров в классе, нужно найти количество людей, которые коллекционируют хотя бы что-то одно. Это размер объединения множеств $|М \cup Н|$:

$|М \cup Н| = |М| + |Н| - |М \cap Н| = 6 + 4 - 2 = 8$

Ответ: всего в классе 8 коллекционеров.

1.330. Два арбуза весят столько, сколько весят три дыни. Что тяжелее: один арбуз или одна дыня?

Обозначим вес одного арбуза как $a$, а вес одной дыни — как $d$.

Согласно условию задачи, вес двух арбузов равен весу трех дынь. Мы можем записать это в виде математического равенства:
$2 \cdot a = 3 \cdot d$

Чтобы сравнить, что тяжелее — один арбуз или одна дыня, — нам нужно сравнить значения $a$ и $d$. Выразим вес одного арбуза ($a$) из этого уравнения, разделив обе его части на 2:
$a = \frac{3}{2} \cdot d$

Преобразуем дробь в десятичное число:
$a = 1.5 \cdot d$

Из полученной формулы видно, что вес одного арбуза в 1,5 раза больше веса одной дыни. Поскольку $1.5 > 1$, можно сделать вывод, что $a > d$.

Ответ: один арбуз тяжелее.

1.331. Из спичек сложили рака, который ползёт вверх (рис. 34). Переложите 3 спички так, чтобы он полз вниз.

Рис. 34

Чтобы решить эту головоломку и заставить рака ползти вниз, необходимо переместить три спички, которые определяют его текущее направление "вверх".

Решение

Ключ к решению — изменить положение "головы" (клешней) и "лапок" рака с верхнего на нижнее. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Определяем три спички, которые формируют верхние конечности рака. Это две спички, образующие клешню справа вверху, и одна спичка, образующая лапку слева вверху.
2. Аккуратно берем эти три спички. Оставшиеся семь спичек составляют неподвижную часть фигуры — туловище и задние лапки.
3. Перемещаем взятые спички в нижнюю часть фигуры, формируя новые конечности, направленные вниз. Две спички от бывшей верхней клешни образуют новую клешню внизу справа, а спичка от бывшей верхней лапки становится новой лапкой внизу слева.

Наглядная схема перемещения спичек показана на рисунке ниже. Спички, которые необходимо переложить, выделены красным цветом. Пунктиром показаны их новые положения.

В результате этих действий мы получаем фигуру рака, который теперь ползет вниз.

Ответ: Нужно переложить три самые верхние спички (две от правой клешни и одну от левой лапки) в нижнюю часть фигуры, чтобы они образовали новые, направленные вниз, клешню и лапку.