Номер 1.329, страница 76 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.329 а) В нашем классе 32 учащихся. Из них 23 любят кошек, 18 – собак. Причём 10 учащихся любят и кошек, и собак. Сколько учащихся нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

б) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино — 21, а 5 учащихся не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько учащихся нашего класса ходили и на экскурсию, и в кино?

в) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино и в музей — 6, а 2 учащихся не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько учащихся нашего класса ходили в кино?

г) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Два человека, коллекционирующие и марки, и монеты, составляют половину всех коллекционеров монет и треть всех коллекционеров марок. Сколько всего коллекционеров в нашем классе?

а) Для решения этой задачи используем формулу включений-исключений. Пусть $K$ – множество учащихся, которые любят кошек, а $C$ – множество учащихся, которые любят собак. По условию, всего в классе 32 учащихся, $|K| = 23$, $|C| = 18$, а количество учащихся, которые любят и кошек, и собак, составляет $|K \cap C| = 10$.

Сначала найдем, сколько учащихся любят хотя бы одно из этих животных. Это количество равно размеру объединения множеств $K$ и $C$:

$|K \cup C| = |K| + |C| - |K \cap C| = 23 + 18 - 10 = 31$

Итак, 31 учащийся любит хотя бы одно животное. Чтобы найти количество учащихся, которые не любят ни кошек, ни собак, нужно из общего числа учащихся вычесть это количество:

$32 - |K \cup C| = 32 - 31 = 1$

Ответ: 1 учащийся не любит ни кошек, ни собак.

б) В классе 30 учащихся. Пусть $M$ – множество учащихся, ходивших в музей, а $K$ – множество учащихся, ходивших в кино. Известно, что $|M| = 23$ и $|K| = 21$. Также известно, что 5 учащихся не ходили ни в музей, ни в кино.

Найдем количество учащихся, которые ходили хотя бы на одно мероприятие (в музей или в кино). для этого вычтем из общего числа учащихся тех, кто никуда не ходил:

$30 - 5 = 25$

Это число соответствует размеру объединения множеств $M$ и $K$, то есть $|M \cup K| = 25$. Нам нужно найти количество учащихся, которые ходили и в музей, и в кино, то есть $|M \cap K|$. Воспользуемся формулой включений-исключений:

$|M \cup K| = |M| + |K| - |M \cap K|$

Подставим известные значения:

$25 = 23 + 21 - |M \cap K|$

$25 = 44 - |M \cap K|$

$|M \cap K| = 44 - 25 = 19$

Ответ: 19 учащихся ходили и на экскурсию, и в кино.

в) В классе 30 учащихся. Пусть $M$ – множество учащихся, ходивших в музей, а $K$ – множество учащихся, ходивших в кино. По условию, $|M| = 23$. Количество учащихся, ходивших и в кино, и в музей, равно $|M \cap K| = 6$. Два учащихся не ходили ни в кино, ни на экскурсию.

Найдем количество учащихся, которые посетили хотя бы одно из мероприятий. Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто никуда не ходил:

$30 - 2 = 28$

Это число является размером объединения множеств $M$ и $K$, то есть $|M \cup K| = 28$. Нам нужно найти, сколько учащихся ходили в кино, то есть $|K|$. Снова используем формулу включений-исключений:

$|M \cup K| = |M| + |K| - |M \cap K|$

Подставим известные значения:

$28 = 23 + |K| - 6$

$28 = 17 + |K|$

$|K| = 28 - 17 = 11$

Ответ: 11 учащихся ходили в кино.

г) Пусть $М$ – множество коллекционеров марок, а $Н$ – множество коллекционеров монет. Количество человек, коллекционирующих и марки, и монеты, равно 2, то есть $|М \cap Н| = 2$.

Эти 2 человека составляют половину всех коллекционеров монет. Значит, общее число коллекционеров монет $|Н|$ можно найти так:

$|Н| = 2 \times 2 = 4$

Эти же 2 человека составляют треть всех коллекционеров марок. Значит, общее число коллекционеров марок $|М|$ равно:

$|М| = 2 \times 3 = 6$

Чтобы найти общее число коллекционеров в классе, нужно найти количество людей, которые коллекционируют хотя бы что-то одно. Это размер объединения множеств $|М \cup Н|$:

$|М \cup Н| = |М| + |Н| - |М \cap Н| = 6 + 4 - 2 = 8$

Ответ: всего в классе 8 коллекционеров.