Номер 1.322, страница 74 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.322. a) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 234. Найдите двузначное число.

б) К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 162. Найдите двузначное число.

в) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 2214. Найдите трёхзначное число.

г) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 639. Найдите трёхзначное число.

а) Пусть искомое двузначное число равно $x$. Когда к числу $x$ приписывают цифру 5 слева, получается новое число, равное $500 + x$. Когда к числу $x$ приписывают цифру 5 справа, получается новое число, равное $10x + 5$.
Разность этих двух чисел равна 234. Это можно записать в виде уравнения, используя модуль, так как не указано, какое из чисел больше:
$|(500 + x) - (10x + 5)| = 234$
$|495 - 9x| = 234$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $495 - 9x = 234$
$9x = 495 - 234$
$9x = 261$
$x = 261 / 9 = 29$
Проверка: число 29 — двузначное. Новые числа: 529 и 295. Разность: $529 - 295 = 234$. Решение верное.
2) $495 - 9x = -234$
$9x = 495 + 234$
$9x = 729$
$x = 729 / 9 = 81$
Проверка: число 81 — двузначное. Новые числа: 581 и 815. Разность: $815 - 581 = 234$. Решение также верное.
Оба числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 29 или 81.

б) Пусть искомое двузначное число равно $x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 6 слева, получается число $600 + x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 6 справа, получается число $10x + 6$.
Разность этих чисел равна 162. Составим уравнение:
$|(600 + x) - (10x + 6)| = 162$
$|594 - 9x| = 162$
Рассмотрим два возможных случая:
1) $594 - 9x = 162$
$9x = 594 - 162$
$9x = 432$
$x = 432 / 9 = 48$
Проверка для числа 48: новые числа — 648 и 486. Разность $648 - 486 = 162$. Решение верное.
2) $594 - 9x = -162$
$9x = 594 + 162$
$9x = 756$
$x = 756 / 9 = 84$
Проверка для числа 84: новые числа — 684 и 846. Разность $846 - 684 = 162$. Решение также верное.

Ответ: 48 или 84.

в) Пусть искомое трёхзначное число равно $x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 слева, получается четырёхзначное число $9000 + x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 справа, получается четырёхзначное число $10x + 9$.
Разность этих чисел равна 2214. Составим уравнение:
$|(9000 + x) - (10x + 9)| = 2214$
$|8991 - 9x| = 2214$
Рассмотрим два возможных случая:
1) $8991 - 9x = 2214$
$9x = 8991 - 2214$
$9x = 6777$
$x = 6777 / 9 = 753$
Число 753 является трёхзначным. Проверка: новые числа 9753 и 7539. Разность $9753 - 7539 = 2214$. Решение верное.
2) $8991 - 9x = -2214$
$9x = 8991 + 2214$
$9x = 11205$
$x = 11205 / 9 = 1245$
Число 1245 является четырёхзначным, а по условию искомое число должно быть трёхзначным. Следовательно, это решение не подходит.

Ответ: 753.

г) Пусть искомое трёхзначное число равно $x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 слева, получается число $9000 + x$.
Когда к числу $x$ приписывают цифру 9 справа, получается число $10x + 9$.
Разность этих чисел равна 639. Составим уравнение:
$|(9000 + x) - (10x + 9)| = 639$
$|8991 - 9x| = 639$
Рассмотрим два возможных случая:
1) $8991 - 9x = 639$
$9x = 8991 - 639$
$9x = 8352$
$x = 8352 / 9 = 928$
Число 928 является трёхзначным. Проверка: новые числа 9928 и 9289. Разность $9928 - 9289 = 639$. Решение верное.
2) $8991 - 9x = -639$
$9x = 8991 + 639$
$9x = 9630$
$x = 9630 / 9 = 1070$
Число 1070 является четырёхзначным, что не соответствует условию задачи. Следовательно, это решение не подходит.

Ответ: 928.