Номер 1.317, страница 73 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.317. Запишите в двоичной системе нумерации числовые выражения:

а) $2^1$; $2^2$; $2^3$; $2^4$; $2^5$; $2^6$; $2^7$; $2^8$; $2^9$; $2^{10}$;

б) $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10}$;

В) $2^5 + 1$; $2^6 + 1$; $2^7 + 1$; $2^8 + 1$; $2^9 + 1$; $2^{10} + 1$.

Для решения этой задачи используется разложение числа по степеням двойки, что является основой двоичной системы счисления. Любое целое число $N$ можно представить как сумму:

$N = a_k \cdot 2^k + a_{k-1} \cdot 2^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 2^1 + a_0 \cdot 2^0$

где коэффициенты $a_i$ равны 0 или 1. Двоичной записью числа является последовательность этих коэффициентов $(a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0)_2$.

Числовые выражения вида $2^n$ представляют собой единицу в $n$-м разряде и нули в остальных. Это можно записать как $2^n = 1 \cdot 2^n + 0 \cdot 2^{n-1} + \dots + 0 \cdot 2^0$. Таким образом, двоичная запись числа $2^n$ — это единица, за которой следует $n$ нулей.

• $2^1 = 10_2$
• $2^2 = 100_2$
• $2^3 = 1000_2$
• $2^4 = 10000_2$
• $2^5 = 100000_2$
• $2^6 = 1000000_2$
• $2^7 = 10000000_2$
• $2^8 = 100000000_2$
• $2^9 = 1000000000_2$
• $2^{10} = 10000000000_2$

Ответ: $10_2; 100_2; 1000_2; 10000_2; 100000_2; 1000000_2; 10000000_2; 100000000_2; 1000000000_2; 10000000000_2$.

Выражение $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10}$ уже представляет собой разложение по степеням двойки. Учитывая, что $1 = 2^0$ и $2 = 2^1$, мы имеем сумму:

$1 \cdot 2^{10} + 1 \cdot 2^9 + \dots + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$

В этом разложении все коэффициенты при степенях от 0 до 10 равны 1. Следовательно, двоичная запись этого числа состоит из одиннадцати единиц.

Также можно заметить, что эта сумма является суммой членов геометрической прогрессии и равна $2^{11} - 1$. Число $2^{11}$ в двоичной системе это $1$ и одиннадцать нулей ($100000000000_2$). Вычитание единицы из такого числа дает одиннадцать единиц.

Ответ: $11111111111_2$.

Числовые выражения вида $2^n + 1$ в виде разложения по степеням двойки записываются как $1 \cdot 2^n + 1 \cdot 2^0$. Это означает, что в двоичной записи числа единицы будут стоять в $n$-м и нулевом разрядах (считая справа, с нуля), а между ними будут нули.

Таким образом, запись числа $2^n + 1$ будет состоять из единицы, за которой следует $n-1$ нулей, и в конце еще одна единица.

• $2^5 + 1 = 100001_2$
• $2^6 + 1 = 1000001_2$
• $2^7 + 1 = 10000001_2$
• $2^8 + 1 = 100000001_2$
• $2^9 + 1 = 1000000001_2$
• $2^{10} + 1 = 10000000001_2$

Ответ: $100001_2; 1000001_2; 10000001_2; 100000001_2; 1000000001_2; 10000000001_2$.