Номер 1.318, страница 73 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.318. Проверьте, что в двоичной системе нумерации справедливы равенства:

a) $11 + 11 = 110$;

б) $101 + 11 = 1000$;

в) $101 - 11 = 10$;

г) $100 - 11 = 1$;

д) $101 \cdot 11 = 1111$;

е) $11 \cdot 11 = 1001$;

ж) $111 \cdot 11 = 10101$;

з) $1011 \cdot 11 = 100001$.

Для проверки справедливости равенств в двоичной системе счисления можно использовать два способа: выполнить арифметические действия непосредственно в двоичной системе или перевести числа в десятичную систему, выполнить действия в ней и перевести результат обратно в двоичную (или сравнить с предложенным двоичным результатом).

а) Проверим равенство $11_2 + 11_2 = 110_2$.

Способ 1: Сложение в двоичной системе.
Сложим числа в столбик, используя правила двоичного сложения ($1+1=10_2$):
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & \overset{1}{1} & 1_2 \\ + & & & 1 & 1_2 \\ \hline & 1 & 1 & 0_2 \end{array} $
1. В младшем (правом) разряде: $1 + 1 = 10_2$. Записываем 0 и переносим 1 в старший разряд.
2. В следующем разряде: $1 + 1 + 1_{\text{перенос}} = 11_2$. Записываем 1 и переносим 1 в следующий разряд.
3. Результат сложения равен $110_2$, что совпадает с правой частью равенства.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$11_2 = 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 2 + 1 = 3_{10}$.
$110_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 4 + 2 + 0 = 6_{10}$.
Проверяем равенство в десятичной системе: $3_{10} + 3_{10} = 6_{10}$.
Оба способа подтверждают, что равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

б) Проверим равенство $101_2 + 11_2 = 1000_2$.

Способ 1: Сложение в двоичной системе.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & \overset{1}{1} & \overset{1}{0} & 1_2 \\ + & & & 1 & 1_2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0_2 \end{array} $
1. Младший разряд: $1 + 1 = 10_2$. Пишем 0, переносим 1.
2. Средний разряд: $0 + 1 + 1_{\text{перенос}} = 10_2$. Пишем 0, переносим 1.
3. Старший разряд: $1 + 0 + 1_{\text{перенос}} = 10_2$. Пишем 0, переносим 1.
Результат: $1000_2$.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5_{10}$.
$11_2 = 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 2 + 1 = 3_{10}$.
$1000_2 = 1 \cdot 2^3 = 8_{10}$.
Проверяем: $5_{10} + 3_{10} = 8_{10}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

в) Проверим равенство $101_2 - 11_2 = 10_2$.

Способ 1: Вычитание в двоичной системе.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & \overset{\cdot}{1} & \overset{10}{0} & 1_2 \\ - & & 1 & 1_2 \\ \hline & & 1 & 0_2 \end{array} $
1. Младший разряд: $1 - 1 = 0$.
2. Средний разряд: $0 - 1$. Занимаем единицу из старшего разряда ($10_2 = 2_{10}$). Получаем $10_2 - 1_2 = 1_2$.
3. В старшем разряде остался 0.
Результат: $10_2$.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 5_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$10_2 = 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 2_{10}$.
Проверяем: $5_{10} - 3_{10} = 2_{10}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

г) Проверим равенство $100_2 - 11_2 = 1_2$.

Способ 1: Вычитание в двоичной системе.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & \overset{\cdot}{1} & \overset{1}{0} & \overset{10}{0}_2 \\ - & & 1 & 1_2 \\ \hline & & & 1_2 \end{array} $
1. Младший разряд: $0 - 1$. Занимаем из старших разрядов. Заем из самого левого разряда превращает $100_2$ в $01{10}_2$.
2. Младший разряд: $10_2 - 1_2 = 1_2$.
3. Средний разряд: $1_2 - 1_2 = 0_2$.
Результат: $1_2$.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$100_2 = 1 \cdot 2^2 = 4_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$1_2 = 1_{10}$.
Проверяем: $4_{10} - 3_{10} = 1_{10}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

д) Проверим равенство $101_2 \cdot 11_2 = 1111_2$.

Способ 1: Умножение в двоичной системе.
Выполняем умножение столбиком:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & & & 1 & 0 & 1_2 \\ \times & & & & 1 & 1_2 \\ \hline & & & 1 & 0 & 1 \\ + & & 1 & 0 & 1 & \\ \hline & & 1 & 1 & 1 & 1_2 \end{array} $
Суммируем частичные произведения: $101_2 + 1010_2 = 1111_2$.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 5_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$1111_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15_{10}$.
Проверяем: $5_{10} \cdot 3_{10} = 15_{10}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

е) Проверим равенство $11_2 \cdot 11_2 = 1001_2$.

Способ 1: Умножение в двоичной системе.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 1 & 1_2 \\ \times & & & 1 & 1_2 \\ \hline & & & 1 & 1 \\ + & & 1 & 1 & \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 1_2 \end{array} $
Суммируем частичные произведения: $11_2 + 110_2 = 1001_2$.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$11_2 = 3_{10}$.
$1001_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 1 = 9_{10}$.
Проверяем: $3_{10} \cdot 3_{10} = 9_{10}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

ж) Проверим равенство $111_2 \cdot 11_2 = 10101_2$.

Способ 1: Умножение в двоичной системе.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & & & 1 & 1 & 1_2 \\ \times & & & & 1 & 1_2 \\ \hline & & & 1 & 1 & 1 \\ + & & 1 & 1 & 1 & \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 & 1_2 \end{array} $
Суммируем частичные произведения: $111_2 + 1110_2 = 10101_2$.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$111_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4+2+1=7_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$10101_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 4 + 1 = 21_{10}$.
Проверяем: $7_{10} \cdot 3_{10} = 21_{10}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

з) Проверим равенство $1011_2 \cdot 11_2 = 100001_2$.

Способ 1: Умножение в двоичной системе.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & & & 1 & 0 & 1 & 1_2 \\ \times & & & & & 1 & 1_2 \\ \hline & & & 1 & 0 & 1 & 1 \\ + & & 1 & 0 & 1 & 1 & \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1_2 \end{array} $
Суммируем частичные произведения: $1011_2 + 10110_2 = 100001_2$.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8+2+1=11_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$100001_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 1 = 33_{10}$.
Проверяем: $11_{10} \cdot 3_{10} = 33_{10}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.