Номер 1.318, страница 73 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.318. Проверьте, что в двоичной системе нумерации справедливы равенства:

a) $11 + 11 = 110$;

б) $101 + 11 = 1000$;

в) $101 - 11 = 10$;

г) $100 - 11 = 1$;

д) $101 \cdot 11 = 1111$;

е) $11 \cdot 11 = 1001$;

ж) $111 \cdot 11 = 10101$;

з) $1011 \cdot 11 = 100001$.

Проверка равенств в двоичной системе счисления

а) 11₂ + 11₂ = 110₂

Способ 1 (Столбик):
$ \begin{array}{r} \overset{1}{1}1_2 \\ + 11_2 \\ \hline 110_2 \end{array} $
1+1=10 (0 пишем, 1 переносим). 1+1+1(перенос)=11.
Способ 2 (Десятичная): $3_{10} + 3_{10} = 6_{10}$. $110_2 = 6_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.

б) 101₂ + 11₂ = 1000₂

Способ 1 (Столбик):
$ \begin{array}{r} \overset{1}{1}\overset{1}{0}1_2 \\ + 11_2 \\ \hline 1000_2 \end{array} $
Способ 2 (Десятичная): $5_{10} + 3_{10} = 8_{10}$. $1000_2 = 2^3 = 8_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.

в) 101₂ - 11₂ = 10₂

Способ 1 (Столбик):
$ \begin{array}{r} \dot{1} \overset{10}{0} 1_2 \\ - 11_2 \\ \hline 10_2 \end{array} $
Из 0 нельзя вычесть 1, занимаем у старшего разряда. $10_2 - 1 = 1$.
Способ 2 (Десятичная): $5_{10} - 3_{10} = 2_{10}$. $10_2 = 2_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.

г) 100₂ - 11₂ = 1₂

Способ 1 (Столбик):
$ \begin{array}{r} \dot{1} \overset{1}{0} \overset{10}{0}_2 \\ - 11_2 \\ \hline 1_2 \end{array} $
Последовательный заем через разряд: $100_2 \rightarrow 01{10}_2$.
Способ 2 (Десятичная): $4_{10} - 3_{10} = 1_{10}$. $1_2 = 1_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.

д) 101₂ · 11₂ = 1111₂

Способ 1 (Умножение):
$ \begin{array}{r} 101_2 \\ \times 11_2 \\ \hline 101 \\ + 101\phantom{0} \\ \hline 1111_2 \end{array} $
Способ 2 (Десятичная): $5_{10} \cdot 3_{10} = 15_{10}$. $1111_2 = 8+4+2+1 = 15_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.

е) 11₂ · 11₂ = 1001₂

Способ 1 (Умножение):
$ \begin{array}{r} 11_2 \\ \times 11_2 \\ \hline 11 \\ + 11\phantom{0} \\ \hline 1001_2 \end{array} $
При сложении $11 + 110$: $1+1=10$, $1+1(перенос)=10$. Получаем $1001$.
Способ 2 (Десятичная): $3_{10} \cdot 3_{10} = 9_{10}$. $1001_2 = 8+1 = 9_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.

ж) 111₂ · 11₂ = 10101₂

Способ 1 (Умножение):
$ \begin{array}{r} 111_2 \\ \times 11_2 \\ \hline 111 \\ + 111\phantom{0} \\ \hline 10101_2 \end{array} $
Способ 2 (Десятичная): $7_{10} \cdot 3_{10} = 21_{10}$. $10101_2 = 16+4+1 = 21_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.

з) 1011₂ · 11₂ = 100001₂

Способ 1 (Умножение):
$ \begin{array}{r} 1011_2 \\ \times 11_2 \\ \hline 1011 \\ + 1011\phantom{0} \\ \hline 100001_2 \end{array} $
Сложение: $1+1=10$, $0+1+1=10$, $1+0+1=10$, $1+1=10$.
Способ 2 (Десятичная): $11_{10} \cdot 3_{10} = 33_{10}$. $100001_2 = 32+1 = 33_{10}$.

Ответ: Равенство справедливо.