Страница 83 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Представление о плоскости даёт поверхность стола. Приведите другие примеры.

2.1. Плоскость в геометрии — это абстрактное понятие, обозначающее идеально ровную поверхность, которая бесконечно простирается во всех направлениях и не имеет толщины. В реальном мире мы можем найти только модели плоскости или её части. Кроме поверхности стола, представление о плоскости дают следующие объекты:

• Поверхность стены, пола или потолка в здании.
• Школьная доска или маркерная доска.
• Оконное стекло или поверхность зеркала.
• Спокойная водная гладь (например, в пруду или бассейне при отсутствии ветра).
• Лист бумаги или картона, лежащий на ровной поверхности.
• Экран телевизора, монитора или смартфона.
• Ледовая поверхность катка или ровное асфальтовое покрытие.

Важно помнить, что все эти примеры являются лишь приближениями, так как они имеют границы, некоторую толщину и микроскопические неровности, в отличие от идеальной математической плоскости.

Ответ: Другими примерами поверхностей, дающими представление о плоскости, являются: стена, пол, потолок, школьная доска, оконное стекло, поверхность спокойной воды, лист бумаги.

2.2. Представление о прямой даёт туго натянутая нить. Приведите другие примеры.

Прямая линия является одним из основных понятий геометрии. В реальном мире, помимо туго натянутой нити, существует множество других объектов и явлений, которые дают нам наглядное представление о прямой. К таким примерам можно отнести: луч света (например, от лазерной указки или солнечный луч в пыльном воздухе), который в однородной среде распространяется прямолинейно; край ровного предмета, такого как линейка, стол или книга; линия сгиба на листе бумаги; линия горизонта на море или в степи, которая на небольших участках выглядит прямой; прямой участок железнодорожных рельсов; натянутая струна музыкального инструмента; линия пересечения двух плоских поверхностей, например, стены и потолка в комнате. Важно помнить, что все эти примеры являются лишь физическими моделями, в то время как математическое понятие прямой подразумевает линию без толщины и бесконечную в обе стороны.

Ответ: Примерами объектов, дающих представление о прямой, являются луч света, край линейки, линия сгиба бумаги, линия горизонта, участок железнодорожного пути, натянутая струна, линия пересечения стены и потолка.

2.3. а) Можно ли в школьной тетради изобразить всю прямую?

б) Сколько прямых можно провести через две разные точки?

в) Как могут располагаться две прямые на плоскости?

г) Какие прямые называют параллельными?

д) Что называют лучом; отрезком?

а) Можно ли в школьной тетради изобразить всю прямую?

Нет, в школьной тетради нельзя изобразить всю прямую. В геометрии прямая линия определяется как бесконечная в обе стороны. Любая школьная тетрадь имеет конечные размеры страницы, поэтому на ней можно начертить лишь видимую часть прямой, которая является отрезком.

Ответ: Нельзя, так как прямая бесконечна, а тетрадь имеет конечные размеры.

б) Сколько прямых можно провести через две разные точки?

Через две различные точки можно провести только одну-единственную прямую. Это утверждение является одной из основных аксиом евклидовой геометрии.

Ответ: Одну.

в) Как могут располагаться две прямые на плоскости?

Две прямые на одной плоскости могут располагаться одним из трех способов:

1. Пересекаться — иметь ровно одну общую точку.
2. Быть параллельными — не иметь ни одной общей точки.
3. Совпадать — иметь все точки общими, то есть являться одной и той же прямой.

Ответ: Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

г) Какие прямые называют параллельными?

Параллельными называют прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Это означает, что у них нет ни одной общей точки. Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, это записывается как $a \parallel b$.

Ответ: Прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

д) Что называют лучом; отрезком?

Луч — это часть прямой, состоящая из одной точки на этой прямой (называемой началом луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от нее. Луч имеет начальную точку, но не имеет конца, он бесконечен в одном направлении.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (называемыми концами отрезка). Отрезок включает в себя свои концы и все точки прямой, лежащие между ними. В отличие от прямой и луча, отрезок имеет конечную длину.

Ответ: Лучом называют часть прямой, имеющую начало, но не имеющую конца. Отрезком называют часть прямой, ограниченную двумя точками.

2.4. Нарисуйте прямую, обозначьте её. Отметьте на ней точку, обозначьте её. Запишите обозначения прямой и полученных лучей.

Выполним по шагам то, что требуется в задаче. Сначала нарисуем прямую. Обозначить её можно одним из двух способов: либо одной строчной латинской буквой (например, $a$), либо двумя заглавными буквами, обозначающими две точки на этой прямой (например, $AB$).

Теперь отметим на прямой точку и назовём её $O$. Эта точка разделит прямую на две части, которые называются лучами. Для наглядности и удобства записи обозначений, добавим на прямую ещё две точки, $A$ и $B$, так, чтобы точка $O$ лежала между ними. Вот как это будет выглядеть:

Осталось записать обозначения прямой и полученных лучей.
Прямая: Нашу прямую можно обозначить как $a$ или как $AB$.
Лучи: Точка $O$ является началом двух лучей. Луч обозначается двумя заглавными буквами: первая указывает на его начало, а вторая — на любую другую точку, через которую он проходит.
• Луч, начинающийся в точке $O$ и проходящий через точку $A$, обозначается $OA$.
• Луч, начинающийся в точке $O$ и проходящий через точку $B$, обозначается $OB$.

Ответ: Прямая: $a$ (или $AB$), лучи: $OA$ и $OB$.

2.5. Отметьте две точки. Проведите от руки прямую, проходящую через эти точки. Проверьте точность построения с помощью линейки.

Это практическое задание по геометрии, которое демонстрирует одно из основных свойств прямой линии и важность использования чертежных инструментов. Для его выполнения необходимо следовать инструкции.

Отметьте две точки

На чистом листе бумаги с помощью карандаша или ручки поставьте две точки в произвольных местах. Чтобы было удобнее на них ссылаться, можно обозначить их буквами, например, точка $A$ и точка $B$. Рекомендуется выбирать расстояние между точками в пределах 5–10 см, чтобы было удобно проводить линию и проверять ее точность.

Проведите от руки прямую, проходящую через эти точки

Не используя линейку или другие вспомогательные предметы, соедините точки $A$ и $B$ линией. Постарайтесь сделать ее как можно более прямой. Хороший способ добиться большей точности — поставить острие карандаша в начальную точку ($A$), сфокусировать взгляд на конечной точке ($B$) и провести линию одним плавным, уверенным движением.

Проверьте точность построения с помощью линейки

Теперь возьмите линейку и выполните проверку. Приложите ровный край линейки к листу бумаги так, чтобы он проходил точно через центры обеих точек — $A$ и $B$. Край линейки в данном случае является эталоном прямой линии. Сравните вашу нарисованную линию с этим эталоном:

• Насколько точно ваша линия проходит через центры точек $A$ и $B$?

• Является ли ваша линия прямой, или она имеет изгибы и отклонения от края линейки?

Скорее всего, вы обнаружите, что линия, проведенная от руки, не является идеально прямой. Она может быть немного волнистой или дугообразной. Это упражнение наглядно показывает, что, хотя через две точки можно провести только одну прямую (согласно аксиоме геометрии), для ее точного построения человеческому глазу и руке требуются специальные инструменты.

Ответ: Чтобы выполнить задание, нужно на листе бумаги отметить две точки, затем попытаться соединить их максимально прямой линией, нарисованной от руки. После этого следует приложить к этим точкам линейку, чтобы сравнить полученную линию с ее прямым краем и таким образом оценить точность ручного построения.

2.6. На рисунке 49 найдите параллельные прямые. Сделайте проверку с помощью линейки и угольника.

$k$

$m$

$d$

$c$

Рис. 49

На данном рисунке можно выделить две пары параллельных прямых. Чтобы определить их и проверить предположение, необходимо выполнить следующие действия.

Нахождение параллельных прямых

Визуальный осмотр рисунка позволяет предположить, что существуют две пары параллельных прямых:

• Прямая $k$ параллельна прямой $m$ ($k \parallel m$).
• Прямая $c$ параллельна прямой $d$ ($c \parallel d$).

Проверка с помощью линейки и угольника

Для проверки параллельности используется метод, основанный на построении и проверке равенства соответственных или накрест лежащих углов. Проверку можно выполнить следующим образом:

Проверка для прямых $k$ и $m$:

1. Приложите один из катетов прямоугольного угольника к прямой $k$.
2. К другому катету угольника плотно приложите линейку.
3. Надежно зафиксируйте линейку в этом положении. Теперь она служит направляющей.
4. Плавно сдвигайте угольник вдоль линейки до тех пор, пока его первый катет не достигнет прямой $m$.
5. Если катет угольника полностью совпадет с прямой $m$, то прямые $k$ и $m$ параллельны. Выполнив эту процедуру, можно убедиться, что прямые $k$ и $m$ действительно параллельны.

Проверка для прямых $c$ и $d$:

Аналогичная процедура проводится для прямых $c$ и $d$. Приложив угольник к прямой $c$, а линейку ко второму катету, и сдвинув угольник вдоль линейки к прямой $d$, мы увидим, что катет угольника полностью совпадает с прямой $d$. Это подтверждает, что прямые $c$ и $d$ также параллельны.

Ответ: На рисунке параллельными являются прямые $k$ и $m$, а также прямые $c$ и $d$.