Страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.7. Нарисуйте от руки параллельные прямые. Обозначьте их. Проверьте с помощью линейки и угольника точность построения.

Для выполнения этого задания сначала нарисуем на листе бумаги от руки две прямые линии, стараясь, чтобы они не пересекались и расстояние между ними было примерно одинаковым по всей длине.

Затем обозначим нарисованные прямые, присвоив им имена. В геометрии прямые принято обозначать строчными латинскими буквами, например, a и b. Если прямые параллельны, это записывается с помощью специального знака: $a \parallel b$.

После этого необходимо проверить точность построения, то есть действительно ли нарисованные прямые параллельны. Для этого воспользуемся линейкой и угольником.

Проверка точности построения

Существует несколько классических способов проверки параллельности прямых.

Способ 1: Измерение перпендикулярного расстояния

1. Приложите угольник одним из его катетов (стороной, образующей прямой угол) к прямой a.
2. По второму катету, который теперь перпендикулярен прямой a, измерьте с помощью линейки расстояние до прямой b. Запомните или запишите это значение.
3. Переместите угольник в другую точку на прямой a и повторите измерение перпендикулярного расстояния до прямой b.
4. Сравните результаты двух измерений. Если расстояния равны, то прямые параллельны. Если они отличаются, то построение неточное, и прямые не параллельны.

Способ 2: Проверка равенства соответственных углов

1. Приложите линейку так, чтобы она пересекала обе прямые a и b. В данном случае линейка будет играть роль секущей.
2. К этой линейке-секущей приложите угольник одной из его сторон (катетом).
3. Сдвиньте угольник вдоль линейки так, чтобы другая его сторона (второй катет) совпала с прямой a.
4. Не отрывая угольник от линейки, сдвиньте его дальше до прямой b.
5. Если второй катет угольника совпал с прямой b, это означает, что соответственные углы, образованные секущей с прямыми a и b, равны. По признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Выполнение любой из этих проверок позволит определить, насколько точно были нарисованы параллельные прямые.

Ответ: Сначала нужно нарисовать от руки две прямые, которые выглядят параллельными, и обозначить их (например, a и b). Затем следует проверить их параллельность с помощью линейки и угольника. Это можно сделать, измерив перпендикулярное расстояние между прямыми в двух разных местах – оно должно быть одинаковым. Альтернативный способ – использовать линейку как секущую и с помощью угольника, скользящего вдоль нее, убедиться в равенстве соответственных углов при пересечении прямых a и b.

2.8. Проведите прямую $AB$ и вне её отметьте точку $C$. Через точку $C$ проведите прямую, параллельную прямой $AB$.

Для построения прямой, параллельной данной, через точку, не лежащую на ней, с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точки A и B. Вне этой прямой отмечаем точку C.
2. Через точку C и любую произвольную точку D на прямой AB проводим вспомогательную прямую (секущую) CD. При этом образуется угол $∠CDA$ (или $∠CDB$).
3. Берем циркуль. Устанавливаем его ножку в точку D и проводим дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла прямую AB в точке E и секущую CD в точке F.
4. Не меняя раствора циркуля, переносим его ножку в точку C и проводим аналогичную дугу так, чтобы она пересекла секущую CD в точке G. Эта дуга должна быть проведена с той же стороны от секущей CD, что и точка E относительно точки D.
5. Циркулем измеряем расстояние между точками E и F (длину хорды дуги).
6. Сохраняя полученный раствор циркуля, устанавливаем его ножку в точку G и проводим новую дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную из точки C. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как H.
7. С помощью линейки проводим прямую через точки C и H.

Полученная прямая CH будет параллельна прямой AB. Это следует из признака параллельности прямых: мы построили равные соответственные углы $∠HCG$ и $∠FDE$ при пересечении прямых CH и AB секущей CD. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Ответ: Прямая, проведенная через точки C и H, является искомой прямой, параллельной AB.

2.9. Сколько прямых можно провести через одну точку?

Этот вопрос относится к фундаментальным аксиомам геометрии. Согласно одной из основных аксиом, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Это означает, что для однозначного определения прямой необходимо задать две точки.

Однако, если у нас есть только одна точка, то условие единственности прямой не выполняется. Мы можем представить себе эту точку как центр, вокруг которого можно вращать прямую. При каждом, даже самом незначительном, изменении угла наклона мы будем получать новую прямую, которая по-прежнему проходит через заданную точку.

Поскольку количество возможных направлений (или углов наклона) для прямой, проходящей через одну точку, не ограничено, то и количество таких прямых также не ограничено. Таким образом, через одну-единственную точку можно провести бесконечное множество прямых.

Ответ: Через одну точку можно провести бесконечное множество ($\infty$) прямых.

2.10. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено?

Пусть даны три точки A, B и C. По условию, они не лежат на одной прямой.

Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Нам нужно найти количество прямых, которые можно провести через все возможные пары данных трех точек.

Перечислим все возможные пары точек:

• Пара точек A и B. Через них можно провести одну прямую (прямая AB).
• Пара точек B и C. Через них можно провести вторую прямую (прямая BC).
• Пара точек A и C. Через них можно провести третью прямую (прямая AC).

Поскольку точки A, B и C не лежат на одной прямой, все три полученные прямые (AB, BC, AC) будут различными. Таким образом, всего можно провести 3 прямые.

Этот же результат можно получить с помощью комбинаторики. Количество прямых равно числу сочетаний из 3-х точек по 2, так как для проведения прямой нам нужно выбрать пару точек, и порядок выбора не важен (прямая AB и прямая BA — это одна и та же прямая).

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=3$ (общее число точек), а $k=2$ (число точек, необходимых для определения прямой).

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Ответ: 3

2.11. Даны четыре точки так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено?

Для решения этой задачи необходимо найти количество уникальных прямых, которые можно провести через 4 точки, при условии, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая прямая однозначно определяется двумя точками. Следовательно, задача сводится к нахождению числа всех возможных пар точек, которые можно выбрать из четырех данных.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Логический перебор

Обозначим точки буквами A, B, C и D.

1. Из точки A можно провести прямые к трем другим точкам: B, C и D. Получаем 3 прямые: AB, AC, AD.
2. Теперь рассмотрим точку B. Прямая к точке A (BA) уже учтена как прямая AB. Остается провести прямые к точкам C и D. Получаем 2 новые прямые: BC, BD.
3. Для точки C. Прямые к точкам A и B (CA и CB) уже учтены. Остается провести прямую к точке D. Получаем 1 новую прямую: CD.
4. Для точки D все возможные прямые (DA, DB, DC) уже были посчитаны на предыдущих шагах.

Суммируем количество уникальных прямых: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование формулы комбинаторики

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов (точек) по 2, так как для построения прямой необходимо выбрать 2 точки, и порядок их выбора не важен (прямая AB и прямая BA — это одна и та же прямая).

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n=4$, а для построения одной прямой мы выбираем $k=2$ точки. Подставим эти значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6

2.12. На сколько частей прямая делит плоскость?

В евклидовой геометрии плоскость представляет собой бесконечную двумерную поверхность, а прямая — бесконечную одномерную линию. Когда мы проводим прямую на плоскости, она действует как граница. Эта граница разделяет все точки плоскости, которые не лежат на самой прямой, на два непересекающихся множества.

Каждое из этих множеств называется открытой полуплоскостью. Любые две точки, принадлежащие одной и той же полуплоскости, можно соединить отрезком, который не пересечет исходную прямую. В то же время, любой отрезок, соединяющий точки из разных полуплоскостей, обязательно пересечет эту прямую.

Таким образом, одна прямая делит плоскость ровно на две части.

Ответ: 2

2.13. На сколько частей делят плоскость две прямые, если они:

а) пересекаются;

б) параллельны?

а) пересекаются;
Представим себе плоскость как бесконечный лист бумаги. Первая прямая, проведенная на этой плоскости, делит ее на две части (две полуплоскости). Вторая прямая, пересекая первую, проходит через обе эти части и, в свою очередь, делит каждую из них еще на две. Таким образом, общее количество частей становится $2 \times 2 = 4$. Эти четыре части представляют собой четыре угла с общей вершиной в точке пересечения прямых.
Ответ: 4

б) параллельны?
Первая прямая делит плоскость на две части. Вторая прямая, будучи параллельной первой, никогда ее не пересекает. Она проходит целиком в одной из двух частей, на которые плоскость была разделена первой прямой, и делит эту часть на две. В результате получается три области: одна область по одну сторону от двух прямых, вторая область между параллельными прямыми и третья область по другую сторону.
Ответ: 3

2.14. На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми?

Количество частей, на которые три прямые могут разделить плоскость, зависит от их взаимного расположения. Чтобы дать развернутый ответ, необходимо рассмотреть все возможные случаи.

1. Все три прямые параллельны

Если все три прямые параллельны друг другу, они никогда не пересекаются. Первая прямая делит плоскость на 2 части. Вторая прямая, параллельная первой, делит одну из существующих частей на две, добавляя таким образом одну новую часть. Всего становится 3 части. Третья прямая, параллельная первым двум, аналогично добавляет еще одну часть.
Итоговое количество частей: $2 + 1 + 1 = 4$.

Ответ: 4 части.

2. Две прямые параллельны, а третья их пересекает

Две параллельные прямые изначально делят плоскость на 3 части (две внешние области и одна полоса между ними). Третья прямая, не параллельная им, пересечет обе прямые. При этом она пройдет через все 3 существующие части, разделив каждую из них надвое. Таким образом, третья прямая добавит 3 новые части к уже имеющимся.
Итоговое количество частей: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6 частей.

3. Все три прямые пересекаются в одной точке

Две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части. Третья прямая, проходящая через их общую точку пересечения, пройдет через две из четырех существующих частей (пару вертикальных углов) и разделит каждую из них на две. Таким образом, будут добавлены 2 новые части.
Итоговое количество частей: $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6 частей.

4. Прямые попарно пересекаются в трех различных точках

Этот случай также называют случаем общего положения, и он дает максимальное число частей. Три прямые образуют треугольник.
Первая прямая делит плоскость на 2 части.
Вторая прямая пересекает первую, добавляя еще 2 части. Всего становится $2 + 2 = 4$ части.
Третья прямая пересекает две предыдущие в двух разных точках. Она проходит через 3 уже существующие области и делит каждую из них на две, добавляя 3 новые части.
Итоговое количество частей: $4 + 3 = 7$.
Этот результат соответствует общей формуле для максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых делят плоскость: $L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$. Для $n=3$ получаем $L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = 7$.

Ответ: 7 частей.

Таким образом, в зависимости от расположения прямых, плоскость можно разделить на 4, 6 или 7 частей.

2.15. Отметьте на листе бумаги точку, проведите несколько лучей с началом в этой точке. Сколько таких лучей можно провести?

Для выполнения задания сначала отметим на листе бумаги произвольную точку, которую назовем точкой $O$. Эта точка будет являться началом для всех лучей.

Луч — это часть прямой линии, которая имеет начальную точку, но не имеет конечной, то есть продолжается в одном направлении до бесконечности. Проведем из точки $O$ несколько лучей. Для этого выберем любые другие точки на плоскости, например, $A$, $B$ и $C$, и проведем лучи, начинающиеся в $O$ и проходящие через эти точки. Мы получим лучи $OA$, $OB$, $OC$ и так далее.

Теперь ответим на вопрос: сколько всего таких лучей можно провести из одной точки?

Каждый уникальный луч, исходящий из точки $O$, определяется своим направлением. Количество различных лучей, которые можно провести из одной точки, равно количеству всех возможных направлений из этой точки. На плоскости существует бесконечное множество направлений. Можно представить себе окружность с центром в точке $O$. Каждая точка на этой окружности задает уникальное направление, а следовательно, и уникальный луч, исходящий из центра $O$. Поскольку на окружности бесконечное множество точек, то и лучей, выходящих из точки $O$, можно провести бесконечное множество.

Ответ: Из одной точки можно провести бесконечное множество лучей.

2.16. Отметьте на прямой две точки $A$ и $B$. Сколько получилось лучей с началом в этих точках?

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца, она бесконечна в обе стороны. Луч — это часть прямой, у которой есть точка начала, но нет конца.

Когда мы отмечаем на прямой одну точку, например точку $A$, она делит эту прямую на два луча, которые выходят из этой точки и направлены в противоположные стороны.

В нашей задаче на прямой отмечены две точки: $A$ и $B$.

Рассмотрим точку $A$. Она является началом для двух лучей:

1. Луч, который начинается в точке $A$ и проходит через точку $B$.
2. Луч, который начинается в точке $A$ и направлен в противоположную от точки $B$ сторону.

Теперь рассмотрим точку $B$. Она также является началом для двух лучей:

3. Луч, который начинается в точке $B$ и проходит через точку $A$.
4. Луч, который начинается в точке $B$ и направлен в противоположную от точки $A$ сторону.

Таким образом, каждая из двух точек ($A$ и $B$) является началом для двух лучей. Всего у нас получается $2 + 2 = 4$ луча.

Ответ: 4.

2.17. Сколько получится лучей, если на прямой отметить:

а) 3 точки;

б) 5 точек;

в) 100 точек?

Каждая точка, отмеченная на прямой, является началом (вершиной) двух лучей, которые направлены в противоположные стороны. Таким образом, чтобы найти общее количество лучей, необходимо умножить количество отмеченных точек на 2.

Если обозначить количество точек буквой $n$, то общее количество лучей будет вычисляться по формуле: $2 \times n$.

а) 3 точки
Если на прямой отметить 3 точки, то количество получившихся лучей будет:
$2 \times 3 = 6$.
Ответ: 6.

б) 5 точек
Если на прямой отметить 5 точек, то количество получившихся лучей будет:
$2 \times 5 = 10$.
Ответ: 10.

в) 100 точек
Если на прямой отметить 100 точек, то количество получившихся лучей будет:
$2 \times 100 = 200$.
Ответ: 200.

2.18. Две прямые пересекаются в одной точке. Сколько лучей с началом в этой точке они образуют?

Для решения этой задачи давайте разберемся, что такое прямая и что такое луч.

Прямая — это геометрическая линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Она простирается бесконечно в обе стороны.

Луч — это часть прямой, которая начинается в определенной точке (называемой началом луча) и простирается бесконечно только в одном направлении.

Когда мы берем любую точку на прямой, эта точка делит всю прямую на две части. Каждая из этих частей является лучом, начинающимся в этой точке и идущим в противоположном направлении от другого луча.

В условии задачи сказано, что две прямые пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку пересечения как О.

1. Рассмотрим первую прямую. Точка О лежит на этой прямой. Следовательно, она делит эту прямую на два луча с началом в точке О.
2. Рассмотрим вторую прямую. Точка О также лежит и на этой прямой. Она делит вторую прямую еще на два луча с началом в точке О.

Всего получается четыре луча, и все они имеют общее начало — точку пересечения О.

Общее количество лучей равно сумме лучей от каждой прямой: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

2.19. Назовите все лучи с вершиной в точках $A$, $B$ и $C$ (рис. 50).

Сколько лучей получилось?

$M \ A \ B \ C \ N$

Рис. 50

Назовите все лучи с вершиной в точках A, B и C
Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку (вершину) и не имеет конца. Из каждой точки, лежащей на прямой, можно провести два луча в противоположных направлениях.
1. Лучи с вершиной в точке $A$:
- луч $AB$ (направлен вправо, проходит через точки $B$ и $C$);
- луч $AM$ (направлен влево).
2. Лучи с вершиной в точке $B$:
- луч $BC$ (направлен вправо, проходит через точку $C$);
- луч $BA$ (направлен влево, проходит через точку $A$).
3. Лучи с вершиной в точке $C$:
- луч $CN$ (направлен вправо);
- луч $CB$ (направлен влево, проходит через точки $B$ и $A$).
Ответ: $AB$, $AM$, $BC$, $BA$, $CN$, $CB$.

Сколько лучей получилось?
Из каждой из трех точек ($A$, $B$, $C$) выходят по два луча. Чтобы найти общее количество лучей, нужно умножить количество точек на количество лучей, исходящих из каждой точки.
$3 \times 2 = 6$
Ответ: получилось 6 лучей.

2.20. Назовите все отрезки с концами в точках $M$, $N$ и $K$ (рис. 51).

Сколько отрезков получилось?

Для ответа на вопрос необходимо определить все возможные отрезки, концами которых являются точки M, N и K, а затем подсчитать их количество. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (концами).

Назовите все отрезки с концами в точках M, N и K
Чтобы найти все отрезки, нужно составить все уникальные пары из заданных точек {M, N, K}:
1. Берем точку M. Ее можно соединить с точками N и K, получая отрезки MN и MK.
2. Берем точку N. Ее можно соединить с точкой K, получая отрезок NK. (Соединение с точкой M уже было учтено в отрезке MN).
3. Точка K уже соединена с точками M и N.
Таким образом, все отрезки с концами в точках M, N и K — это MN, MK и NK.
Ответ: MN, MK, NK.

Сколько отрезков получилось?
Пересчитав полученные отрезки (MN, MK, NK), мы получаем, что их общее количество равно 3.
Этот результат можно также получить с помощью формулы числа сочетаний, так как для образования отрезка нам нужно выбрать 2 точки из 3, и порядок выбора не важен (отрезок MN и NM — это один и тот же отрезок).
Число сочетаний из $n$ по $k$ находится по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=3$ (точки M, N, K), а $k=2$ (концы отрезка):
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$
Расчет подтверждает, что всего получилось 3 отрезка.
Ответ: 3.

2.21. На прямой отметили четыре точки. Образовалось шесть отрезков с концами в этих точках. Проверьте.

Для проверки данного утверждения можно применить два подхода: прямой перебор и комбинаторный метод.

1. Метод прямого перебора

Обозначим четыре точки на прямой буквами А, В, С и D, расположенными в произвольном порядке на прямой. Отрезок определяется двумя точками. Перечислим все возможные отрезки, соединяя точки попарно:

1. Отрезок АВ
2. Отрезок АС
3. Отрезок АD
4. Отрезок ВС
5. Отрезок BD
6. Отрезок CD

Других комбинаций пар точек нет, так как порядок точек в названии отрезка не имеет значения (например, отрезок АВ и отрезок ВА — это один и тот же отрезок). Таким образом, мы насчитали ровно 6 отрезков.

2. Комбинаторный метод

Задача сводится к тому, чтобы найти, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 4 имеющихся, так как каждая пара точек однозначно определяет отрезок. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n = 4$, а для образования отрезка нам нужно выбрать $k = 2$ точки.

Подставим наши значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба метода показывают, что из четырех точек на прямой можно образовать ровно 6 отрезков. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Утверждение о том, что четыре точки на прямой образуют шесть отрезков, является верным.

2.22. Перечертите рисунок 52 в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения прямых, продолжив их, если нужно. На сколько частей разделилась плоскость? Выберите правильный ответ.

А. 10 частей

Б. 11 частей

В. 12 частей

Рис. 52

Для решения задачи необходимо рассмотреть прямые, частями которых являются отрезки на рисунке. На рисунке 52 изображены четыре отрезка, принадлежащие четырем различным прямым. Продлим эти отрезки до бесконечных прямых и проанализируем их взаимное расположение.

Из рисунка видно, что никакие две прямые не параллельны (у всех прямых разный наклон) и никакие три прямые не пересекаются в одной точке (все точки пересечения, которые можно увидеть или представить при продолжении прямых, различны). Такое расположение прямых называется общим положением.

Подсчитаем количество частей, на которые прямые делят плоскость, добавляя их по одной.
1-я прямая делит плоскость на 2 части.
2-я прямая пересекает первую, добавляя 2 новые части. Всего: $2+2=4$ части.
3-я прямая пересекает первые две в двух разных точках, добавляя 3 новые части. Всего: $4+3=7$ частей.
4-я прямая пересекает первые три в трех разных точках, добавляя 4 новые части. Всего: $7+4=11$ частей.

Таким образом, четыре прямые в общем положении разделяют плоскость на 11 частей.

Этот же результат можно получить, используя общую формулу для $n$ прямых в общем положении, которая определяет количество частей $L_n$:
$L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$.
Для $n=4$ получаем:
$L_4 = \frac{4(4+1)}{2} + 1 = \frac{4 \times 5}{2} + 1 = \frac{20}{2} + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ответ: Б. 11 частей