Номер 2.14, страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.14. На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми?

Количество частей, на которые три прямые могут разделить плоскость, зависит от их взаимного расположения. Чтобы дать развернутый ответ, необходимо рассмотреть все возможные случаи.

1. Все три прямые параллельны

Если все три прямые параллельны друг другу, они никогда не пересекаются. Первая прямая делит плоскость на 2 части. Вторая прямая, параллельная первой, делит одну из существующих частей на две, добавляя таким образом одну новую часть. Всего становится 3 части. Третья прямая, параллельная первым двум, аналогично добавляет еще одну часть.
Итоговое количество частей: $2 + 1 + 1 = 4$.

Ответ: 4 части.

2. Две прямые параллельны, а третья их пересекает

Две параллельные прямые изначально делят плоскость на 3 части (две внешние области и одна полоса между ними). Третья прямая, не параллельная им, пересечет обе прямые. При этом она пройдет через все 3 существующие части, разделив каждую из них надвое. Таким образом, третья прямая добавит 3 новые части к уже имеющимся.
Итоговое количество частей: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6 частей.

3. Все три прямые пересекаются в одной точке

Две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части. Третья прямая, проходящая через их общую точку пересечения, пройдет через две из четырех существующих частей (пару вертикальных углов) и разделит каждую из них на две. Таким образом, будут добавлены 2 новые части.
Итоговое количество частей: $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6 частей.

4. Прямые попарно пересекаются в трех различных точках

Этот случай также называют случаем общего положения, и он дает максимальное число частей. Три прямые образуют треугольник.
Первая прямая делит плоскость на 2 части.
Вторая прямая пересекает первую, добавляя еще 2 части. Всего становится $2 + 2 = 4$ части.
Третья прямая пересекает две предыдущие в двух разных точках. Она проходит через 3 уже существующие области и делит каждую из них на две, добавляя 3 новые части.
Итоговое количество частей: $4 + 3 = 7$.
Этот результат соответствует общей формуле для максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых делят плоскость: $L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$. Для $n=3$ получаем $L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = 7$.

Ответ: 7 частей.

Таким образом, в зависимости от расположения прямых, плоскость можно разделить на 4, 6 или 7 частей.