Страница 87 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.29. Точка $C$ расположена на прямой между точками $A$ и $B$. Длина отрезка $AC$ равна 8 см, длина отрезка $CB$ на 3 см больше длины отрезка $AC$. Найдите длину отрезка $AB$.

По условию задачи точка C расположена на прямой между точками A и B. Это значит, что отрезок AB состоит из двух отрезков: AC и CB. Следовательно, чтобы найти длину отрезка AB, нужно сложить длины отрезков AC и CB.

Формула для нахождения длины отрезка AB:

$AB = AC + CB$

Нам известна длина отрезка AC:

$AC = 8$ см

Длина отрезка CB на 3 см больше длины отрезка AC. Вычислим длину отрезка CB:

$CB = AC + 3 \text{ см} = 8 \text{ см} + 3 \text{ см} = 11$ см

Теперь, зная длины обоих отрезков, мы можем найти длину отрезка AB:

$AB = AC + CB = 8 \text{ см} + 11 \text{ см} = 19$ см

Ответ: 19 см.

2.30. Точка $A$ расположена на прямой между точками $B$ и $C$. Длина отрезка $CB$ на 3 см больше длины отрезка $AC$. Найдите длину отрезка $AB$.

Поскольку точка А расположена на прямой между точками B и C, длина всего отрезка CB складывается из длин его частей, отрезков AB и AC. Это можно записать в виде формулы:

$CB = AB + AC$

Из условия задачи мы знаем, что длина отрезка CB на 3 см больше длины отрезка AC. Запишем это в виде еще одного уравнения:

$CB = AC + 3$

Теперь мы можем приравнять правые части обоих уравнений, так как их левые части равны:

$AB + AC = AC + 3$

Для того чтобы найти длину отрезка AB, вычтем из обеих частей равенства длину отрезка AC:

$AB = AC + 3 - AC$

$AB = 3$ (см)

Ответ: 3 см.

2.31. На прямой даны точки $A$, $B$ и $C$, причём $AB = 6 \text{ см}$, $AC = 13 \text{ см}$.

Найдите длину отрезка $BC$, если:

а) точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$;

б) точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от точки $A$.

а) Если точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$, то для определения их взаимного расположения необходимо сравнить расстояния $AB$ и $AC$. По условию дано, что $AB = 6$ см, а $AC = 13$ см. Поскольку $AC > AB$ ($13 \text{ см} > 6 \text{ см}$), точка $C$ находится дальше от точки $A$, чем точка $B$. Следовательно, точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$. В этом случае длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$: $AC = AB + BC$. Чтобы найти длину отрезка $BC$, нужно из длины отрезка $AC$ вычесть длину отрезка $AB$: $BC = AC - AB = 13 - 6 = 7$ см.
Ответ: 7 см.

б) Если точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от точки $A$, это означает, что точка $A$ находится между точками $B$ и $C$. В этом случае, чтобы найти расстояние между точками $B$ и $C$, нужно сложить их расстояния до точки $A$. Таким образом, длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $AC$: $BC = AB + AC = 6 + 13 = 19$ см.
Ответ: 19 см.

2.32. На прямой даны три точки $A$, $B$ и $C$, причём $AB = 13 \text{ см}$, $AC = 4 \text{ см}$. Найдите длину отрезка $BC$. (Задача имеет два решения.)

Поскольку точки A, B и C расположены на одной прямой, для нахождения длины отрезка BC необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения. Условию задачи удовлетворяют два варианта, поэтому задача имеет два решения.

Случай 1: Точка C находится между точками A и B.
В этом случае длина отрезка AB является суммой длин отрезков AC и BC. Это можно записать в виде равенства: $AB = AC + BC$.
По условию нам дано, что $AB = 13$ см и $AC = 4$ см.
Выразим из формулы искомую длину BC:
$BC = AB - AC$
Подставим известные значения:
$BC = 13 - 4 = 9$ см.
Ответ: 9 см.

Случай 2: Точка A находится между точками C и B.
В этом случае отрезок CB (его длина равна длине BC) состоит из отрезков CA и AB. Это можно записать в виде равенства: $BC = AC + AB$.
По условию нам дано, что $AC = 4$ см и $AB = 13$ см.
Найдем искомую длину BC, сложив длины известных отрезков:
$BC = 4 + 13 = 17$ см.
Ответ: 17 см.

Примечание: Третий возможный вариант расположения точек, когда точка B лежит между A и C, невозможен. В этом случае выполнялось бы равенство $AC = AB + BC$, что привело бы к $4 = 13 + BC$. Длина отрезка BC не может быть отрицательной, поэтому данный случай не является решением.

2.33. На прямой даны три точки $A$, $B$ и $C$, причём $AB = 83$ см, $AC = 97$ см. Найдите длину отрезка $BC$. Сколько решений имеет задача?

Поскольку точки A, B и C расположены на одной прямой, для нахождения длины отрезка BC необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае длина отрезка AC является суммой длин отрезков AB и BC. Это можно записать с помощью формулы: $AC = AB + BC$.

Чтобы найти длину BC, необходимо из длины AC вычесть длину AB:

$BC = AC - AB = 97 \text{ см} - 83 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае отрезок BC является самым длинным и его длина равна сумме длин отрезков BA и AC. Формула будет выглядеть так: $BC = BA + AC$.

Поскольку длина отрезка $BA$ равна длине отрезка $AB$, можем найти искомую длину BC путем сложения известных длин:

$BC = AB + AC = 83 \text{ см} + 97 \text{ см} = 180 \text{ см}$.

(Третий возможный вариант расположения, когда точка C находится между A и B, невозможен. В этом случае должно было бы выполняться равенство $AB = AC + CB$. Подставив известные значения, мы получили бы $83 = 97 + CB$, что привело бы к отрицательной длине отрезка CB, а длина не может быть отрицательной).

Таким образом, у задачи есть два возможных решения в зависимости от расположения точек на прямой.

Ответ: Длина отрезка BC может быть равна $14$ см или $180$ см. Всего задача имеет 2 решения.

2.34. На луче $AM$ отложили отрезки $AB$ и $AC$, $AC = 89$ см. Найдите длину отрезка $BC$, если:

a) $AB$ на 15 см длиннее $AC$;

б) $AB$ на 15 см короче $AC$.

а) По условию задачи, отрезок AB на 15 см длиннее отрезка AC. Длина отрезка AC дана и равна 89 см. Найдем длину отрезка AB:
$AB = AC + 15 = 89 + 15 = 104$ см.
Так как точки B и C лежат на одном луче AM, и $AB > AC$, то точка C лежит между точками A и B. Длина отрезка BC равна разности длин отрезков AB и AC:
$BC = AB - AC = 104 - 89 = 15$ см.
Ответ: 15 см.

б) По условию задачи, отрезок AB на 15 см короче отрезка AC. Длина отрезка AC равна 89 см. Найдем длину отрезка AB:
$AB = AC - 15 = 89 - 15 = 74$ см.
Так как точки B и C лежат на одном луче AM, и $AB < AC$, то точка B лежит между точками A и C. Длина отрезка BC равна разности длин отрезков AC и AB:
$BC = AC - AB = 89 - 74 = 15$ см.
Ответ: 15 см.

2.35. Объясните на примере, как измерить длину отрезка с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Для объяснения используем пример. Представим, что у нас есть отрезок AB, и мы измеряем его длину с помощью линейки. Допустим, точная длина отрезка оказалась равной 5,7 см. Нам нужно выразить эту длину с точностью до 1 см, то есть найти приближенное значение в целых сантиметрах.

Приложив линейку, мы видим, что конец отрезка находится между отметками 5 см и 6 см. Таким образом, для длины отрезка $L$ справедливо неравенство: $5 \text{ см} < L < 6 \text{ см}$.

а) с недостатком
Измерить длину с точностью до 1 см с недостатком — это значит взять меньшее из двух целых чисел, между которыми находится точное значение длины. Для нашего отрезка длиной $L = 5,7$ см, который находится между 5 см и 6 см, меньшим целым числом является 5. Это соответствует количеству полных сантиметров, которые помещаются в отрезке.
Ответ: 5 см.

б) с избытком
Измерить длину с точностью до 1 см с избытком — это значит взять большее из двух целых чисел, между которыми находится точное значение длины. Для нашего отрезка длиной $L = 5,7$ см, который находится между 5 см и 6 см, большим целым числом является 6. Это значение всегда будет больше или равно реальной длине.
Ответ: 6 см.

в) с округлением
Измерить длину с точностью до 1 см с округлением — это значит выбрать то из двух ближайших целых значений (найденных с недостатком и с избытком), которое находится ближе к реальной длине отрезка. В нашем случае длина $L = 5,7$ см. Сравним, к какому целому числу она ближе:

• Расстояние от 5,7 см до 5 см: $|5,7 - 5| = 0,7$ см.
• Расстояние от 5,7 см до 6 см: $|6 - 5,7| = 0,3$ см.

Поскольку 0,3 см < 0,7 см, значение 6 см находится ближе к 5,7 см. По общепринятому правилу округления, если дробная часть десятичной дроби равна или больше 0,5, то число округляется в большую сторону. Так как 0,7 > 0,5, мы округляем 5,7 до 6.
Ответ: 6 см.

2.36. Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Это практическое задание, результат которого зависит от размеров конкретной тетради. Для примера возьмем стандартную ученическую тетрадь, размеры которой примерно составляют $20.5$ см в длину и $16.8$ см в ширину. Будем находить ее размеры с точностью до $1$ см, то есть до целого числа сантиметров.

а) с недостатком

Приближенное значение с недостатком (или округление вниз) — это наибольшее целое число, которое не превышает данное число. Для этого мы просто отбрасываем дробную часть.
Длина: $\lfloor 20.5 \rfloor = 20$ см.
Ширина: $\lfloor 16.8 \rfloor = 16$ см.
Ответ: длина $20$ см, ширина $16$ см.

б) с избытком

Приближенное значение с избытком (или округление вверх) — это наименьшее целое число, которое не меньше данного числа. Если у числа есть дробная часть, мы увеличиваем его целую часть на единицу.
Длина: $\lceil 20.5 \rceil = 21$ см.
Ширина: $\lceil 16.8 \rceil = 17$ см.
Ответ: длина $21$ см, ширина $17$ см.

в) с округлением

При округлении до ближайшего целого числа мы смотрим на первую цифру после запятой. Если эта цифра $5$ или больше, то округляем в большую сторону (с избытком). Если она меньше $5$, то округляем в меньшую сторону (с недостатком).
Длина $20.5$ см: первая цифра после запятой - $5$, значит, округляем в большую сторону. Получаем $21$ см.
Ширина $16.8$ см: первая цифра после запятой - $8$, она больше $5$, значит, округляем в большую сторону. Получаем $17$ см.
Ответ: длина $21$ см, ширина $17$ см.

2.37. Отметьте в тетради две точки. Определите на глаз расстояние между ними. Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину.

Это практическое задание, поэтому конкретные значения будут зависеть от того, как вы расположите точки. Ниже представлен пример выполнения этого задания.

Отметьте в тетради две точки.

Поставим на листе бумаги две произвольные точки и обозначим их заглавными латинскими буквами, например, $A$ и $B$.

Определите на глаз расстояние между ними.

Теперь посмотрим на точки $A$ и $B$ и попытаемся оценить расстояние между ними без использования измерительных инструментов. Предположим, что на вид расстояние составляет около 5 сантиметров.

Ответ: предполагаемое расстояние на глаз $\approx 5$ см.

Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину.

С помощью линейки соединим точки $A$ и $B$ прямой линией, чтобы получился отрезок $AB$. Затем, используя ту же линейку, измерим его длину. Для этого приложим линейку так, чтобы её нулевое деление совпало с точкой $A$, и посмотрим, на какой отметке находится точка $B$. Допустим, измерение показало, что длина отрезка составляет 4,8 сантиметра (или 48 миллиметров). Наша первоначальная оценка (5 см) была довольно близка к фактическому результату.

Ответ: измеренная длина отрезка $AB$ равна 4,8 см.

2.38. С помощью линейки измерьте отрезки, изображённые на рисунке 56, с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$

Рис. 56

Для решения задачи сначала измерим отрезки с помощью линейки. Поскольку масштаб изображения может меняться, примем следующие приблизительные значения длин отрезков, полученные измерением:

• Длина отрезка $AB$ составляет примерно 2,6 см.
• Длина отрезка $CD$ составляет примерно 3,7 см.
• Длина отрезка $EF$ составляет примерно 2,5 см.

Теперь найдем длины этих отрезков с точностью до 1 см по заданным условиям.

Измерение с недостатком (или округление вниз) означает, что мы берем наибольшее целое число сантиметров, которое не превышает точную длину отрезка.

• Для отрезка $AB \approx 2,6$ см: наибольшее целое, не большее 2,6, это 2. Значит, длина равна 2 см.
• Для отрезка $CD \approx 3,7$ см: наибольшее целое, не большее 3,7, это 3. Значит, длина равна 3 см.
• Для отрезка $EF \approx 2,5$ см: наибольшее целое, не большее 2,5, это 2. Значит, длина равна 2 см.

Ответ: $AB \approx 2$ см, $CD \approx 3$ см, $EF \approx 2$ см.

Измерение с избытком (или округление вверх) означает, что мы берем наименьшее целое число сантиметров, которое больше или равно точной длине отрезка.

• Для отрезка $AB \approx 2,6$ см: наименьшее целое, не меньшее 2,6, это 3. Значит, длина равна 3 см.
• Для отрезка $CD \approx 3,7$ см: наименьшее целое, не меньшее 3,7, это 4. Значит, длина равна 4 см.
• Для отрезка $EF \approx 2,5$ см: наименьшее целое, не меньшее 2,5, это 3. Значит, длина равна 3 см.

Ответ: $AB \approx 3$ см, $CD \approx 4$ см, $EF \approx 3$ см.

Измерение с округлением означает нахождение ближайшего целого числа сантиметров. По стандартным правилам математического округления, если первая цифра после запятой 5 или больше, округляем в большую сторону; если она меньше 5 — в меньшую.

• Для отрезка $AB \approx 2,6$ см: так как первая цифра после запятой (6) больше 5, округляем в большую сторону. Получаем 3 см.
• Для отрезка $CD \approx 3,7$ см: так как первая цифра после запятой (7) больше 5, округляем в большую сторону. Получаем 4 см.
• Для отрезка $EF \approx 2,5$ см: так как первая цифра после запятой равна 5, округляем в большую сторону. Получаем 3 см.

Ответ: $AB \approx 3$ см, $CD \approx 4$ см, $EF \approx 3$ см.

2.39. Рейка длиной 147 см разрезана на 4 равные части. Какую длину имеет каждая часть с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением?

Для начала найдем точную длину одной части. Для этого общую длину рейки разделим на количество равных частей.
$147 \div 4 = 36.75$ см.

а) с недостатком
Чтобы найти приближенное значение с недостатком с точностью до 1 см, нужно отбросить дробную часть полученного числа.
Целая часть числа 36,75 равна 36.
Ответ: 36 см

б) с избытком
Чтобы найти приближенное значение с избытком с точностью до 1 см, нужно взять следующее за целой частью целое число.
Целая часть числа 36,75 равна 36. Следующее за ним целое число - 37.
Ответ: 37 см

в) с округлением
Чтобы округлить число до целых, нужно посмотреть на первую цифру после запятой. Если она равна 5 или больше, то целую часть увеличиваем на единицу. Если меньше 5, то оставляем целую часть без изменений.
В числе 36,75 первая цифра после запятой — это 7. Так как $7 \ge 5$, то округляем в большую сторону.
$36.75 \approx 37$.
Ответ: 37 см