Страница 72 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.312. Первый магический квадрат был составлен в Китае в V–IV веках до н. э. Другой магический квадрат был составлен в Индии в I веке н. э. Сравните суммы чисел в строчках, столбцах и диагоналях квадратов. В чём заключается магическое свойство этих квадратов?

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Для ответа на вопрос задачи необходимо вычислить и сравнить суммы чисел в строчках, столбцах и диагоналях данного квадрата.

Вычислим суммы чисел для каждой строки:

• Первая строка: $4 + 9 + 2 = 15$
• Вторая строка: $3 + 5 + 7 = 15$
• Третья строка: $8 + 1 + 6 = 15$

Вычислим суммы чисел для каждого столбца:

• Первый столбец: $4 + 3 + 8 = 15$
• Второй столбец: $9 + 5 + 1 = 15$
• Третий столбец: $2 + 7 + 6 = 15$

Вычислим суммы чисел для каждой диагонали:

• Главная диагональ (с левого верхнего угла в правый нижний): $4 + 5 + 6 = 15$
• Побочная диагональ (с правого верхнего угла в левый нижний): $2 + 5 + 8 = 15$

Ответ: Суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинаковы и равны 15.

Магическое свойство квадрата заключается в том, что суммы чисел, расположенных в каждой его строке, в каждом столбце и на обеих главных диагоналях, равны одному и тому же числу. Это число называется магической константой квадрата.

Ответ: Магическое свойство этих квадратов заключается в том, что суммы чисел во всех строках, столбцах и на главных диагоналях равны между собой.

1.313. В квадрате $3 \times 3$ расставьте числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова. Сначала определите, какой должна быть эта сумма.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Определение искомой суммы

Задача заключается в построении так называемого магического квадрата. Сначала определим, какой должна быть одинаковая сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали. Для этого найдем сумму всех чисел, которые нужно расставить в квадрате: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Сумма этих чисел $S$ равна:

$S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$

В квадрате 3×3 имеется три строки. Общая сумма всех чисел (36) распределяется по этим трем строкам поровну. Следовательно, искомая сумма $M$ (магическая константа) в каждой строке будет равна:

$M = \frac{S}{3} = \frac{36}{3} = 12$

Эта величина $M=12$ и есть сумма, которая должна получаться в каждой строке, каждом столбце и на каждой из двух главных диагоналей.

Ответ: 12.

Расстановка чисел в квадрате 3×3

Теперь, зная, что сумма должна быть равна 12, расставим числа от 0 до 8 в ячейках квадрата. Существует несколько правильных решений. Один из возможных вариантов расстановки выглядит следующим образом:

Проведем проверку, чтобы убедиться, что все условия задачи выполнены:

Суммы по строкам:
$3 + 8 + 1 = 12$
$2 + 4 + 6 = 12$
$7 + 0 + 5 = 12$

Суммы по столбцам:
$3 + 2 + 7 = 12$
$8 + 4 + 0 = 12$
$1 + 6 + 5 = 12$

Суммы по диагоналям:
$3 + 4 + 5 = 12$
$1 + 4 + 7 = 12$

Все суммы равны 12, следовательно, числа расставлены верно.

Ответ: Один из вариантов правильной расстановки чисел показан в таблице.

1.314. Докажите, что сумма всех чисел любого магического квадрата $3 \times 3$ делится на 3.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях одинакова. Эта общая сумма называется магической константой квадрата.

Рассмотрим произвольный магический квадрат размером 3x3. Обозначим числа в его ячейках следующим образом:

Первая строка: $a, b, c$
Вторая строка: $d, e, f$
Третья строка: $g, h, i$

Пусть магическая константа этого квадрата равна $M$. По определению магического квадрата, сумма чисел в каждой из трёх строк равна $M$:
$a + b + c = M$
$d + e + f = M$
$g + h + i = M$

Сумма всех чисел в квадрате, которую мы обозначим как $S$, равна сумме чисел во всех его ячейках. Чтобы найти $S$, мы можем сложить суммы чисел по строкам: $S = (a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i)$

Так как сумма в каждой строке равна $M$, мы можем подставить $M$ в это выражение: $S = M + M + M$

Отсюда следует, что: $S = 3M$

Это означает, что сумма всех чисел в магическом квадрате 3x3 всегда равна утроенной магической константе. В задачах такого типа обычно предполагается, что числа в квадрате целые. Сумма целых чисел также является целым числом, поэтому магическая константа $M$ будет целой. Произведение любого целого числа на 3 по определению делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что сумма всех чисел любого магического квадрата 3×3 делится на 3.

Ответ: Сумма всех чисел $S$ в магическом квадрате 3x3 может быть найдена путем сложения сумм чисел в трех его строках. Каждая из этих сумм равна магической константе $M$. Следовательно, $S = M + M + M = 3M$. Поскольку $M$ (сумма чисел в строке) является целым числом, если сами числа целые, то $S$ как произведение $3M$ всегда делится на 3.

1.315. В Древней Индии умножали многозначные числа совсем не так, как мы это делаем теперь. Чтобы перемножить, например, 537 и 82, индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки (по числу цифр в записи множителей), подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо, цифры второго числа снизу вверх; клетки прямоугольника делили диагоналями (рис. 31). Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так: цифру единиц писали вверху клетки, цифру десятков — внизу. После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей квадратов. Считать начинали с правого верхнего угла квадрата. Так получали цифры ответа по разрядам. В нашем примере:

единиц: 4;

десятков: $6 + 1 + 6 = 13$ (3 пишем, 1 запоминаем);

сотен: $0 + 4 + 5 + 1 = 10$ (0 пишем, 1 запоминаем);

тысяч: $1 + 0 + 2 + 1 = 4$;

десятков тысяч: 4.

Ответ: $537 \cdot 82 = 44034$.

Проверим результаты обычным способом:

537

x 82

----

1074

4296

----

44034

Рис. 31

В задаче описан старинный индийский метод умножения, также известный как "умножение решеткой". Для решения задачи применим этот метод к числам, которые, вероятно, указаны в таблице наверху изображения: 13, 2, 3 и 16. Наиболее вероятная интерпретация этих чисел как двух отдельных примеров для умножения: а) $13 \times 2$ и б) $3 \times 16$.

а) Выполним умножение чисел 13 и 2.

1. Поскольку первый множитель (13) двузначный, а второй (2) однозначный, нарисуем сетку размером 2x1 (2 столбца и 1 строка).

2. Над столбцами запишем цифры числа 13 (1 и 3). Справа от строки запишем цифру 2.

3. Каждую ячейку сетки разделим диагональю. В каждую ячейку впишем результат умножения соответствующей цифры столбца на цифру строки. Десятки произведения запишем в нижний левый треугольник, а единицы — в верхний правый.

• Крайняя правая ячейка: $3 \times 2 = 6$. Записываем 0 (десятки) и 6 (единицы).
• Левая ячейка: $1 \times 2 = 2$. Записываем 0 (десятки) и 2 (единицы).

Получим следующую сетку:

4. Теперь сложим числа в ячейках вдоль диагоналей, начиная с правого нижнего угла.

• Единицы: первая (самая правая) диагональ содержит только цифру 6. Итоговая цифра: 6.
• Десятки: вторая диагональ содержит цифры 2 и 0. Их сумма: $2 + 0 = 2$. Итоговая цифра: 2.
• Сотни: третья диагональ содержит только 0.

Читая результат от последней диагонали к первой (слева направо), получаем число 26.

Ответ: $13 \cdot 2 = 26$

б) Выполним умножение чисел 16 и 3.

1. Создадим сетку 2x1 для умножения двузначного числа (16) на однозначное (3).

2. Над столбцами запишем цифры 1 и 6. Справа от строки — цифру 3.

3. Заполним ячейки произведениями:

• Крайняя правая ячейка: $6 \times 3 = 18$. Записываем 1 (десятки) и 8 (единицы).
• Левая ячейка: $1 \times 3 = 3$. Записываем 0 (десятки) и 3 (единицы).

Получим следующую сетку:

4. Сложим числа вдоль диагоналей:

• Единицы: первая диагональ содержит только цифру 8. Итоговая цифра: 8.
• Десятки: вторая диагональ содержит цифры 3 и 1. Их сумма: $3 + 1 = 4$. Итоговая цифра: 4.
• Сотни: третья диагональ содержит только 0.

Читая результат слева направо, получаем число 48.

Ответ: $16 \cdot 3 = 48$