Страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.309. a) Прочитайте числа, записанные в римской системе нумерации:

I, II, IV, VII, IX, XI, XVII, MCMXCV.

б) Запишите в римской системе нумерации числа:

6, 8, 12, 18, 19, 20, 23, 24.

а)

Для прочтения чисел, записанных в римской системе счисления, необходимо знать значения основных римских цифр и правила их комбинирования. Основные правила: если цифра с меньшим значением стоит после цифры с большим значением, их значения складываются; если цифра с меньшим значением (I, X, C) стоит перед цифрой с большим значением, её значение вычитается из значения большей.

Прочитаем данные числа:

• I = $1$
• II = $1 + 1 = 2$
• IV = $5 - 1 = 4$
• VII = $5 + 1 + 1 = 7$
• IX = $10 - 1 = 9$
• XI = $10 + 1 = 11$
• XVII = $10 + 5 + 1 + 1 = 17$
• MCMXCV состоит из M ($1000$), CM ($1000-100=900$), XC ($100-10=90$) и V ($5$).
  Суммируем значения: $1000 + 900 + 90 + 5 = 1995$.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 9, 11, 17, 1995.

б)

Для записи чисел в римской системе нумерации, представим каждое число в виде комбинации стандартных римских цифр, используя те же принципы сложения и вычитания:

• 6: $5 + 1 \rightarrow$ VI
• 8: $5 + 3 \rightarrow$ VIII
• 12: $10 + 2 \rightarrow$ XII
• 18: $10 + 8 \rightarrow$ XVIII
• 19: $10 + 9 \rightarrow$ XIX
• 20: $10 + 10 \rightarrow$ XX
• 23: $20 + 3 \rightarrow$ XXIII
• 24: $20 + 4 \rightarrow$ XXIV

Ответ: VI, VIII, XII, XVIII, XIX, XX, XXIII, XXIV.

1.310. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасадах которых обозначены даты их постройки:

$MDCCCCV$ и $MDCCCLXXXIX$.

В каком году построен каждый дом?

Для того чтобы определить год постройки каждого дома, необходимо перевести даты, записанные римскими цифрами, в арабские. Вспомним значения основных римских цифр:

• I = 1
• V = 5
• X = 10
• L = 50
• C = 100
• D = 500
• M = 1000

При переводе следует помнить, что если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей (например, IX = 10 - 1 = 9). В остальных случаях значения цифр складываются.

MDCCCCV

Разложим первую дату на составляющие и просуммируем их значения. В данном случае используется старый, аддитивный способ записи числа 400 (CCCC вместо CD).
M = 1000
D = 500
CCCC = 100 + 100 + 100 + 100 = 400
V = 5
Суммируем полученные значения:
$1000 + 500 + 400 + 5 = 1905$.
Следовательно, год постройки первого дома — 1905.

Ответ: 1905.

MDCCCLXXXIX

Разложим вторую дату на составляющие, учитывая как сложение, так и вычитание.
M = 1000
DCCC = 500 + 100 + 100 + 100 = 800
LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80
IX = 10 - 1 = 9
Суммируем полученные значения:
$1000 + 800 + 80 + 9 = 1889$.
Следовательно, год постройки второго дома — 1889.

Ответ: 1889.

1.311. В предыдущем задании упростите запись чисел, учитывая, что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут.

Данная задача относится к правилам записи чисел в римской системе счисления. Основное правило, о котором идет речь, заключается в том, что для избежания повторения четырех одинаковых цифр подряд используется принцип вычитания. Согласно этому принципу, если цифра с меньшим значением стоит перед цифрой с большим значением, то её значение вычитается из значения большей цифры.

Это правило применяется для следующих комбинаций:

• `I` можно поставить перед `V` и `X`: `IV` ($5-1=4$) и `IX` ($10-1=9$).
• `X` можно поставить перед `L` и `C`: `XL` ($50-10=40$) и `XC` ($100-10=90$).
• `C` можно поставить перед `D` и `M`: `CD` ($500-100=400$) и `CM` ($1000-100=900$).

Предположим, что в предыдущем задании были приведены числа, записанные без использования принципа вычитания. Упростим их запись.

Запись числа 4 в виде IIII содержит четыре одинаковые цифры I подряд. Для упрощения используется представление $4 = 5 - 1$, что в римской системе записывается как IV. Таким образом, запись IIII заменяется на IV.

Ответ: IV

Запись числа 9 в виде VIIII содержит четыре одинаковые цифры I подряд. Для упрощения используется представление $9 = 10 - 1$, что в римской системе записывается как IX. Таким образом, запись VIIII заменяется на IX.

Ответ: IX

Запись числа 40 в виде XXXX содержит четыре одинаковые цифры X подряд. Для упрощения используется представление $40 = 50 - 10$, что в римской системе записывается как XL. Таким образом, запись XXXX заменяется на XL.

Ответ: XL

Запись числа 90 в виде LXXXX содержит четыре одинаковые цифры X подряд. Для упрощения используется представление $90 = 100 - 10$, что в римской системе записывается как XC. Таким образом, запись LXXXX заменяется на XC.

Ответ: XC

Запись числа 400 в виде CCCC содержит четыре одинаковые цифры C подряд. Для упрощения используется представление $400 = 500 - 100$, что в римской системе записывается как CD. Таким образом, запись CCCC заменяется на CD.

Ответ: CD

Для составного числа, например 44, аддитивная запись которого XXXXIIII, правило применяется к каждой группе одинаковых цифр. Группа XXXX (40) упрощается до XL, а группа IIII (4) упрощается до IV. В результате получается запись XLIV.

Ответ: XLIV