Страница 63 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.288. а) В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то в двух пачках тетрадей стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально?

б) В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке?

Решите задачу, используя рисунок 29.

Рис. 29

а)

1. Сначала узнаем, сколько всего тетрадей осталось в двух пачках после того, как из первой забрали 10 тетрадей. Изначально было 40 тетрадей.

$40 - 10 = 30$ (тетрадей) – стало в двух пачках вместе.

2. По условию, после этого в обеих пачках тетрадей стало поровну. Чтобы найти, сколько тетрадей стало в каждой пачке, разделим оставшееся количество на 2.

$30 : 2 = 15$ (тетрадей) – стало в каждой пачке.

3. Поскольку тетради забирали только из первой пачки, количество тетрадей во второй пачке не изменилось. Следовательно, во второй пачке изначально было 15 тетрадей.

Ответ: 15 тетрадей.

б)

Данную задачу можно решить, используя схему, представленную на рисунке. Прямоугольник I символизирует первую пачку, а прямоугольник II – вторую. Из рисунка видно, что в первой пачке тетрадей больше.

1. По условию, в первой пачке на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Если мы мысленно уберем эти 10 "лишних" тетрадей из первой пачки (и из общего количества), то в обеих пачках станет одинаковое число тетрадей.

$70 - 10 = 60$ (тетрадей) – было бы в двух пачках, если бы в них было тетрадей поровну.

2. Теперь найдем, сколько тетрадей в каждой из этих "уравненных" пачек. Для этого разделим полученное количество на 2. Это и будет количество тетрадей в меньшей, второй пачке.

$60 : 2 = 30$ (тетрадей) – было во второй пачке.

Проверка: если во второй пачке 30 тетрадей, то в первой на 10 больше, то есть $30 + 10 = 40$ тетрадей. Общее количество: $30 + 40 = 70$ тетрадей. Все условия задачи выполняются.

Ответ: 30 тетрадей.

1.289. a) Мама дала сыну и дочери вместе 640 р. Дочери она дала на 40 р. больше, чем сыну. Сколько денег она дала каждому?

б) Саша собрал в саду на 5 кг яблок больше, чем Коля, а вместе они собрали 43 кг яблок. Сколько килограммов яблок собрал каждый?

а)

Обозначим сумму денег, которую получил сын, через $x$ рублей. По условию, дочь получила на 40 рублей больше, то есть $(x + 40)$ рублей. Общая сумма, которую мама дала детям, составляет 640 рублей. Составим уравнение, чтобы найти неизвестную величину $x$.

$x + (x + 40) = 640$

Решим это уравнение:

$2x + 40 = 640$

$2x = 640 - 40$

$2x = 600$

$x = 600 / 2$

$x = 300$

Следовательно, сын получил 300 рублей.

Теперь найдем, сколько денег получила дочь:

$300 + 40 = 340$ (рублей)

Проверим: $300 + 340 = 640$ рублей.

Ответ: мама дала сыну 300 рублей, а дочери 340 рублей.

б)

Пусть Коля собрал $y$ кг яблок. Тогда Саша, по условию, собрал на 5 кг больше, то есть $(y + 5)$ кг. Вместе они собрали 43 кг яблок. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 5) = 43$

Решим уравнение:

$2y + 5 = 43$

$2y = 43 - 5$

$2y = 38$

$y = 38 / 2$

$y = 19$

Таким образом, Коля собрал 19 кг яблок.

Теперь найдем, сколько килограммов яблок собрал Саша:

$19 + 5 = 24$ (кг)

Проверим: $19 + 24 = 43$ кг.

Ответ: Коля собрал 19 кг яблок, а Саша собрал 24 кг яблок.

1.290. a) Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат помнит, что он нашёл на 7 грибов больше, чем его сестра. Сколько белых грибов нашёл каждый?

б) В классе 36 учащихся, причём девочек на 4 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

а) Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество грибов, которое нашла сестра. По условию, брат нашёл на 7 грибов больше, значит, он нашёл $(x + 7)$ грибов. Всего они вместе нашли 25 грибов.
Составим уравнение:
$x + (x + 7) = 25$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$2x + 7 = 25$
Перенесём 7 в правую часть уравнения:
$2x = 25 - 7$
$2x = 18$
Найдём $x$:
$x = 18 / 2$
$x = 9$
Таким образом, сестра нашла 9 грибов.
Теперь найдём, сколько грибов нашёл брат:
$9 + 7 = 16$ (грибов).
Проверим: $9 + 16 = 25$. Условие выполняется.
Ответ: Сестра нашла 9 белых грибов, а брат нашёл 16 белых грибов.

б) Для решения задачи составим уравнение. Пусть $y$ — это количество мальчиков в классе. По условию, девочек на 4 меньше, чем мальчиков, значит, их количество составляет $(y - 4)$. Всего в классе 36 учащихся.
Составим уравнение:
$y + (y - 4) = 36$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$2y - 4 = 36$
Перенесём -4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2y = 36 + 4$
$2y = 40$
Найдём $y$:
$y = 40 / 2$
$y = 20$
Таким образом, в классе 20 мальчиков.
Теперь найдём количество девочек:
$20 - 4 = 16$ (девочек).
Проверим: $20 + 16 = 36$. Условие выполняется.
Ответ: В классе 20 мальчиков и 16 девочек.

1.291. a) Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут равными. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 350. Одно из них больше другого на 10. На сколько нужно уменьшить большее число, чтобы получились равные числа? Найдите эти числа.

а)

Пусть первое число — $x$, а второе — $y$.

Согласно условию, их сумма равна 230, что можно записать как уравнение: $x + y = 230$.

Также дано, что если первое число уменьшить на 20, то числа станут равными. Это означает, что первое число на 20 больше второго: $x - 20 = y$.

Мы получили систему из двух уравнений, которую можно решить методом подстановки. Подставим второе уравнение в первое:

$x + (x - 20) = 230$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$2x - 20 = 230$

$2x = 230 + 20$

$2x = 250$

$x = 250 / 2$

$x = 125$

Теперь, зная первое число, найдем второе:

$y = x - 20 = 125 - 20 = 105$

Проверим: сумма чисел $125 + 105 = 230$. Если первое число (125) уменьшить на 20, получится $125 - 20 = 105$, что равно второму числу. Условия задачи выполнены.

Ответ: искомые числа — 125 и 105.

б)

Сначала найдем сами числа. Пусть меньшее число — $y$, тогда большее число, согласно условию, будет $y + 10$.

Их сумма равна 350. Составим и решим уравнение:

$(y + 10) + y = 350$

$2y + 10 = 350$

$2y = 350 - 10$

$2y = 340$

$y = 340 / 2$

$y = 170$

Итак, меньшее число равно 170. Тогда большее число:

$170 + 10 = 180$

Искомые числа — 180 и 170.

Теперь ответим на вопрос: на сколько нужно уменьшить большее число, чтобы получились равные числа? Чтобы большее число (180) стало равным меньшему (170), его нужно уменьшить на их разницу. Разница составляет $180 - 170 = 10$. Это же значение дано в условии задачи («одно из них больше другого на 10»).

Ответ: большее число нужно уменьшить на 10; искомые числа — 180 и 170.

1.292. a) Сумма двух чисел 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа.

а)

Обозначим первое число как $x$, а второе как $y$.

Исходя из условий задачи, можно составить систему из двух уравнений:

1. Сумма двух чисел равна 432: $x + y = 432$

2. Первое число больше второго на 18, что можно записать как: $x = y + 18$

Теперь подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(y + 18) + y = 432$

Решим полученное уравнение:

$2y + 18 = 432$

$2y = 432 - 18$

$2y = 414$

$y = \frac{414}{2}$

$y = 207$

Мы нашли второе число. Теперь найдем первое число, подставив значение $y$ во второе уравнение:

$x = 207 + 18$

$x = 225$

Таким образом, первое число — 225, а второе — 207. Проверим: их сумма $225 + 207 = 432$, а разница $225 - 207 = 18$.

Ответ: 225 и 207.

б)

Обозначим первое число как $a$, а второе как $b$.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Сумма двух чисел равна 537: $a + b = 537$

2. Первое число меньше второго на 131, что можно записать как: $a = b - 131$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$(b - 131) + b = 537$

Решим полученное уравнение:

$2b - 131 = 537$

$2b = 537 + 131$

$2b = 668$

$b = \frac{668}{2}$

$b = 334$

Мы нашли второе число. Теперь найдем первое число, подставив значение $b$ во второе уравнение:

$a = 334 - 131$

$a = 203$

Таким образом, первое число — 203, а второе — 334. Проверим: их сумма $203 + 334 = 537$, и первое число меньше второго на $334 - 203 = 131$.

Ответ: 203 и 334.