Страница 56 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.242. Найдите частное:

а) $288 \div 8$;

б) $738 \div 9$;

в) $798 \div 8$;

г) $9899 \div 99$;

д) $3778 \div 47$;

е) $3450 \div 75$.

а) Чтобы найти частное чисел 288 и 8, выполним деление столбиком. Сначала делим 28 на 8, получаем 3 в частном и 4 в остатке ($3 \times 8 = 24$, $28 - 24 = 4$). Сносим следующую цифру 8, получаем число 48. Делим 48 на 8, получаем 6. Итоговое частное равно 36. Таким образом, $288 \div 8 = 36$.

Ответ: 36.

б) Чтобы найти частное чисел 738 и 9, выполним деление столбиком. Делим 73 на 9, получаем 8 в частном и 1 в остатке ($8 \times 9 = 72$, $73 - 72 = 1$). Сносим следующую цифру 8, получаем число 18. Делим 18 на 9, получаем 2. Итоговое частное равно 82. Таким образом, $738 \div 9 = 82$.

Ответ: 82.

в) Чтобы найти частное чисел 798 и 8, выполним деление с остатком. Делим 79 на 8, получаем 9 в неполном частном и 7 в остатке ($9 \times 8 = 72$, $79 - 72 = 7$). Сносим следующую цифру 8, получаем число 78. Делим 78 на 8, получаем 9 в неполном частном и 6 в остатке ($9 \times 8 = 72$, $78 - 72 = 6$). Итак, неполное частное равно 99, а остаток — 6. Проверка: $99 \times 8 + 6 = 792 + 6 = 798$.

Ответ: 99 (ост. 6).

г) Чтобы найти частное чисел 9899 и 99, выполним деление с остатком. Делим 989 на 99, получаем 9 в неполном частном и 98 в остатке ($9 \times 99 = 891$, $989 - 891 = 98$). Сносим следующую цифру 9, получаем число 989. Снова делим 989 на 99, получаем 9 в неполном частном и 98 в остатке ($9 \times 99 = 891$, $989 - 891 = 98$). Итак, неполное частное равно 99, а остаток — 98. Проверка: $99 \times 99 + 98 = 9801 + 98 = 9899$.

Ответ: 99 (ост. 98).

д) Чтобы найти частное чисел 3778 и 47, выполним деление с остатком. Делим 377 на 47, получаем 8 в неполном частном и 1 в остатке ($8 \times 47 = 376$, $377 - 376 = 1$). Сносим следующую цифру 8, получаем число 18. Так как 18 меньше 47, дописываем 0 в частное. Итак, неполное частное равно 80, а остаток — 18. Проверка: $80 \times 47 + 18 = 3760 + 18 = 3778$.

Ответ: 80 (ост. 18).

е) Чтобы найти частное чисел 3450 и 75, выполним деление столбиком. Делим 345 на 75, получаем 4 в частном и 45 в остатке ($4 \times 75 = 300$, $345 - 300 = 45$). Сносим следующую цифру 0, получаем число 450. Делим 450 на 75, получаем 6. Итоговое частное равно 46. Таким образом, $3450 \div 75 = 46$.

Ответ: 46.

Выполните деление (1.243–1.246):

1.243 а) $9331 : 31$;

б) $37324 : 62$;

в) $20558 : 51$;

г) $560 : 80$;

д) $900 : 30$;

е) $7200 : 900$;

ж) $24000 : 800$;

з) $5400 : 600$;

и) $6300 : 700$.

а) Для решения примера $9331 : 31$ выполним деление в столбик.
1. Находим первое неполное делимое. Это 93. Делим 93 на 31. Подбираем цифру в частное: $31 \times 3 = 93$. Записываем 3 в частное. Вычитаем 93 из 93, получаем остаток 0.
2. Сносим следующую цифру из делимого — 3. Получаем 3.
3. Делим 3 на 31. Так как 3 меньше 31, в частное записываем 0.
4. Сносим следующую цифру — 1. Получаем 31.
5. Делим 31 на 31. Получаем 1. Записываем 1 в частное. Вычитаем 31 из 31, получаем остаток 0.
Деление окончено. Результат: 301.
Ответ: 301.

б) Для решения примера $37324 : 62$ выполним деление в столбик.
1. Первое неполное делимое — 373. Делим 373 на 62. Подбираем цифру: $62 \times 6 = 372$. Записываем 6 в частное. Остаток $373 - 372 = 1$.
2. Сносим следующую цифру — 2. Получаем 12.
3. Делим 12 на 62. Так как 12 меньше 62, в частное записываем 0.
4. Сносим следующую цифру — 4. Получаем 124.
5. Делим 124 на 62. Подбираем цифру: $62 \times 2 = 124$. Записываем 2 в частное. Остаток $124 - 124 = 0$.
Деление окончено. Результат: 602.
Ответ: 602.

в) Для решения примера $20558 : 51$ выполним деление в столбик.
1. Первое неполное делимое — 205. Делим 205 на 51. Подбираем цифру: $51 \times 4 = 204$. Записываем 4 в частное. Остаток $205 - 204 = 1$.
2. Сносим следующую цифру — 5. Получаем 15.
3. Делим 15 на 51. Так как 15 меньше 51, в частное записываем 0.
4. Сносим следующую цифру — 8. Получаем 158.
5. Делим 158 на 51. Подбираем цифру: $51 \times 3 = 153$. Записываем 3 в частное. Остаток $158 - 153 = 5$.
Деление окончено. Результат: 403 и остаток 5.
Ответ: 403 (ост. 5).

г) Для решения примера $560 : 80$ можно упростить выражение, разделив делимое и делитель на 10.
$560 : 80 = 56 : 8$.
Согласно таблице умножения, $8 \times 7 = 56$.
Следовательно, $56 : 8 = 7$.
Ответ: 7.

д) Для решения примера $900 : 30$ разделим делимое и делитель на 10.
$900 : 30 = 90 : 3$.
Чтобы разделить 90 на 3, можно разделить 9 на 3 и приписать ноль.
$9 : 3 = 3$, значит $90 : 3 = 30$.
Ответ: 30.

е) Для решения примера $7200 : 900$ можно упростить выражение, разделив делимое и делитель на 100.
$7200 : 900 = 72 : 9$.
Согласно таблице умножения, $9 \times 8 = 72$.
Следовательно, $72 : 9 = 8$.
Ответ: 8.

ж) Для решения примера $24000 : 800$ разделим делимое и делитель на 100.
$24000 : 800 = 240 : 8$.
Делим 24 на 8, получаем 3, и приписываем оставшийся ноль.
$24 : 8 = 3$, значит $240 : 8 = 30$.
Ответ: 30.

з) Для решения примера $5400 : 600$ разделим делимое и делитель на 100.
$5400 : 600 = 54 : 6$.
Согласно таблице умножения, $6 \times 9 = 54$.
Следовательно, $54 : 6 = 9$.
Ответ: 9.

и) Для решения примера $6300 : 700$ разделим делимое и делитель на 100.
$6300 : 700 = 63 : 7$.
Согласно таблице умножения, $7 \times 9 = 63$.
Следовательно, $63 : 7 = 9$.
Ответ: 9.

1244 а) $8100 : 90;$

б) $2700 : 90;$

в) $48000 : 80;$

г) $9600 : 30;$

д) $14400 : 80;$

е) $1380 : 60.$

а) Чтобы разделить число, оканчивающееся на нули, на другое число, оканчивающееся на нули, можно сначала убрать одинаковое количество нулей с конца у обоих чисел.
Упростим выражение, разделив делимое (8100) и делитель (90) на 10:
$8100 : 90 = 810 : 9$
Далее, разделим 810 на 9. Так как $81 : 9 = 9$, то $810 : 9 = 90$.
Ответ: 90

б) Упростим выражение, разделив и делимое, и делитель на 10:
$2700 : 90 = 270 : 9$
Теперь выполним деление. Так как $27 : 9 = 3$, то $270 : 9 = 30$.
Ответ: 30

в) Упростим выражение, убрав по одному нулю в конце у делимого и делителя:
$48000 : 80 = 4800 : 8$
Теперь разделим 4800 на 8. Мы знаем, что $48 : 8 = 6$, следовательно, $4800 : 8 = 600$.
Ответ: 600

г) Упростим выражение, разделив оба числа на 10:
$9600 : 30 = 960 : 3$
Чтобы разделить 960 на 3, можно сначала разделить 96 на 3. Представим 96 в виде суммы $(90 + 6)$.
$96 : 3 = (90 + 6) : 3 = 90:3 + 6:3 = 30 + 2 = 32$
Следовательно, $960 : 3 = 320$.
Ответ: 320

д) Упростим выражение, убрав по одному нулю:
$14400 : 80 = 1440 : 8$
Чтобы разделить 1440 на 8, разделим 144 на 8. Можно разложить 144 на слагаемые, удобные для деления на 8, например $(80 + 64)$.
$144 : 8 = (80 + 64) : 8 = 80:8 + 64:8 = 10 + 8 = 18$
Значит, $1440 : 8 = 180$.
Ответ: 180

е) Упростим выражение, разделив оба числа на 10:
$1380 : 60 = 138 : 6$
Для деления 138 на 6, можно разложить 138 на удобные слагаемые, например $(120 + 18)$.
$138 : 6 = (120 + 18) : 6 = 120:6 + 18:6 = 20 + 3 = 23$
Ответ: 23

1.245 a) $5180 : 140;$

б) $28600 : 520;$

В) $129600 : 320;$

Г) $263900 : 1300;$

Д) $54720 : 90;$

е) $192290 : 670.$

а) $5180 : 140$

Для упрощения вычислений можно сократить делимое и делитель на 10, так как оба числа оканчиваются на ноль. Это равносильно делению $518$ на $14$.

$5180 : 140 = 518 : 14$

Выполним деление столбиком:

1. Делим $51$ на $14$. Ближайшее произведение, не превышающее $51$, это $14 \times 3 = 42$. Записываем $3$ в частное.

2. Находим остаток: $51 - 42 = 9$.

3. Сносим следующую цифру делимого ($8$), получаем число $98$.

4. Делим $98$ на $14$. Получаем $7$, так как $14 \times 7 = 98$. Записываем $7$ в частное.

5. Остаток равен $0$. Деление завершено.

Таким образом, $518 : 14 = 37$.

Проверка: $37 \times 140 = 5180$.

Ответ: 37

б) $28600 : 520$

Сократим делимое и делитель на 10, убрав по одному нулю в конце каждого числа:

$28600 : 520 = 2860 : 52$

Выполним деление столбиком:

1. Делим $286$ на $52$. Оценим частное: $280 : 50 \approx 5$. Проверим: $52 \times 5 = 260$. Записываем $5$ в частное.

2. Находим остаток: $286 - 260 = 26$.

3. Сносим следующую цифру ($0$), получаем число $260$.

4. Делим $260$ на $52$. Как мы уже знаем, $52 \times 5 = 260$. Записываем $5$ в частное.

5. Остаток равен $0$.

Получаем, что $2860 : 52 = 55$.

Проверка: $55 \times 520 = 28600$.

Ответ: 55

в) $129600 : 320$

Сократим оба числа на 10:

$129600 : 320 = 12960 : 32$

Выполним деление столбиком:

1. Делим $129$ на $32$. Пробуем $4$: $32 \times 4 = 128$. Записываем $4$ в частное.

2. Находим остаток: $129 - 128 = 1$.

3. Сносим следующую цифру ($6$), получаем $16$.

4. Так как $16$ меньше $32$, делим $16$ на $32$, получаем $0$. Записываем $0$ в частное.

5. Сносим следующую цифру ($0$), получаем $160$.

6. Делим $160$ на $32$. Пробуем $5$: $32 \times 5 = 160$. Записываем $5$ в частное.

7. Остаток равен $0$.

Результат деления: $12960 : 32 = 405$.

Проверка: $405 \times 320 = 129600$.

Ответ: 405

г) $263900 : 1300$

Сократим делимое и делитель на 100, так как оба оканчиваются на два ноля:

$263900 : 1300 = 2639 : 13$

Выполним деление столбиком:

1. Делим $26$ на $13$. $13 \times 2 = 26$. Записываем $2$ в частное.

2. Остаток: $26 - 26 = 0$.

3. Сносим следующую цифру ($3$). Так как $3$ меньше $13$, записываем $0$ в частное.

4. Сносим следующую цифру ($9$), получаем $39$.

5. Делим $39$ на $13$. $13 \times 3 = 39$. Записываем $3$ в частное.

6. Остаток равен $0$.

Получаем: $2639 : 13 = 203$.

Проверка: $203 \times 1300 = 263900$.

Ответ: 203

д) $54720 : 90$

Сократим делимое и делитель на 10:

$54720 : 90 = 5472 : 9$

Выполним деление столбиком:

1. Делим $54$ на $9$. $9 \times 6 = 54$. Записываем $6$ в частное.

2. Остаток: $54 - 54 = 0$.

3. Сносим следующую цифру ($7$). Так как $7$ меньше $9$, записываем $0$ в частное.

4. Сносим следующую цифру ($2$), получаем $72$.

5. Делим $72$ на $9$. $9 \times 8 = 72$. Записываем $8$ в частное.

6. Остаток равен $0$.

Результат: $5472 : 9 = 608$.

Проверка: $608 \times 90 = 54720$.

Ответ: 608

е) $192290 : 670$

Сократим оба числа на 10:

$192290 : 670 = 19229 : 67$

Выполним деление столбиком:

1. Делим $192$ на $67$. Оценим: $190 / 70 \approx 2$. Пробуем $2$: $67 \times 2 = 134$. Записываем $2$ в частное.

2. Находим остаток: $192 - 134 = 58$.

3. Сносим следующую цифру ($2$), получаем $582$.

4. Делим $582$ на $67$. Оценим: $580 / 70 \approx 8$. Пробуем $8$: $67 \times 8 = 536$. Записываем $8$ в частное.

5. Находим остаток: $582 - 536 = 46$.

6. Сносим следующую цифру ($9$), получаем $469$.

7. Делим $469$ на $67$. Оценим: $470 / 70 \approx 6.7$. Пробуем $7$: $67 \times 7 = 469$. Записываем $7$ в частное.

8. Остаток равен $0$.

Результат: $19229 : 67 = 287$.

Проверка: $287 \times 670 = 192290$.

Ответ: 287

1.246 а) $123123 : 123;$

б) $98532 : 322;$

в) $140751 : 351;$

г) $17145 : 135;$

д) $67176 : 311;$

е) $80772 : 381;$

ж) $56088 : 456;$

з) $114103 : 943;$

и) $101952 : 236.$

а) $123123 : 123$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 123. Делим 123 на 123, получаем 1. Записываем 1 в частное. $123 - 1 * 123 = 0$.
2. Сносим следующую цифру 1. Число 1 меньше 123, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру 2. Число 12 меньше 123, поэтому в частное снова записываем 0.
4. Сносим следующую цифру 3. Получаем 123. Делим 123 на 123, получаем 1. Записываем 1 в частное. $123 - 1 * 123 = 0$.
Таким образом, $123123 : 123 = 1001$.
Ответ: 1001

б) $98532 : 322$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 985. Делим 985 на 322. $322 * 3 = 966$. Записываем 3 в частное. $985 - 966 = 19$.
2. Сносим следующую цифру 3. Получаем 193. 193 меньше 322, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру 2. Получаем 1932. Делим 1932 на 322. $322 * 6 = 1932$. Записываем 6 в частное. $1932 - 1932 = 0$.
Таким образом, $98532 : 322 = 306$.
Ответ: 306

в) $140751 : 351$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 1407. Делим 1407 на 351. $351 * 4 = 1404$. Записываем 4 в частное. $1407 - 1404 = 3$.
2. Сносим следующую цифру 5. Получаем 35. 35 меньше 351, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру 1. Получаем 351. Делим 351 на 351. $351 * 1 = 351$. Записываем 1 в частное. $351 - 351 = 0$.
Таким образом, $140751 : 351 = 401$.
Ответ: 401

г) $17145 : 135$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 171. Делим 171 на 135. Получаем 1. Записываем 1 в частное. $171 - 135 = 36$.
2. Сносим следующую цифру 4. Получаем 364. Делим 364 на 135. $135 * 2 = 270$. Записываем 2 в частное. $364 - 270 = 94$.
3. Сносим следующую цифру 5. Получаем 945. Делим 945 на 135. $135 * 7 = 945$. Записываем 7 в частное. $945 - 945 = 0$.
Таким образом, $17145 : 135 = 127$.
Ответ: 127

д) $67176 : 311$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 671. Делим 671 на 311. $311 * 2 = 622$. Записываем 2 в частное. $671 - 622 = 49$.
2. Сносим следующую цифру 7. Получаем 497. Делим 497 на 311. $311 * 1 = 311$. Записываем 1 в частное. $497 - 311 = 186$.
3. Сносим следующую цифру 6. Получаем 1866. Делим 1866 на 311. $311 * 6 = 1866$. Записываем 6 в частное. $1866 - 1866 = 0$.
Таким образом, $67176 : 311 = 216$.
Ответ: 216

е) $80772 : 381$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 807. Делим 807 на 381. $381 * 2 = 762$. Записываем 2 в частное. $807 - 762 = 45$.
2. Сносим следующую цифру 7. Получаем 457. Делим 457 на 381. $381 * 1 = 381$. Записываем 1 в частное. $457 - 381 = 76$.
3. Сносим следующую цифру 2. Получаем 762. Делим 762 на 381. $381 * 2 = 762$. Записываем 2 в частное. $762 - 762 = 0$.
Таким образом, $80772 : 381 = 212$.
Ответ: 212

ж) $56088 : 456$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 560. Делим 560 на 456. Получаем 1. Записываем 1 в частное. $560 - 456 = 104$.
2. Сносим следующую цифру 8. Получаем 1048. Делим 1048 на 456. $456 * 2 = 912$. Записываем 2 в частное. $1048 - 912 = 136$.
3. Сносим следующую цифру 8. Получаем 1368. Делим 1368 на 456. $456 * 3 = 1368$. Записываем 3 в частное. $1368 - 1368 = 0$.
Таким образом, $56088 : 456 = 123$.
Ответ: 123

з) $114103 : 943$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 1141. Делим 1141 на 943. Получаем 1. Записываем 1 в частное. $1141 - 943 = 198$.
2. Сносим следующую цифру 0. Получаем 1980. Делим 1980 на 943. $943 * 2 = 1886$. Записываем 2 в частное. $1980 - 1886 = 94$.
3. Сносим следующую цифру 3. Получаем 943. Делим 943 на 943. Получаем 1. Записываем 1 в частное. $943 - 943 = 0$.
Таким образом, $114103 : 943 = 121$.
Ответ: 121

и) $101952 : 236$
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое – 1019. Делим 1019 на 236. $236 * 4 = 944$. Записываем 4 в частное. $1019 - 944 = 75$.
2. Сносим следующую цифру 5. Получаем 755. Делим 755 на 236. $236 * 3 = 708$. Записываем 3 в частное. $755 - 708 = 47$.
3. Сносим следующую цифру 2. Получаем 472. Делим 472 на 236. $236 * 2 = 472$. Записываем 2 в частное. $472 - 472 = 0$.
Таким образом, $101952 : 236 = 432$.
Ответ: 432

1.247. Выполните деление с остатком:

а) $49 : 8$;

б) $73 : 8$;

в) $58 : 7$;

г) $118 : 23$;

д) $400 : 57$;

е) $487 : 17$;

ж) $456 : 6$;

з) $683 : 5$.

а) Чтобы разделить 49 на 8 с остатком, нужно найти наибольшее число, меньшее или равное 49, которое делится на 8 нацело. Ближайшее такое число — 48. $48 : 8 = 6$. Это неполное частное. Теперь найдем остаток, вычтя из делимого произведение делителя и неполного частного: $49 - 8 \times 6 = 49 - 48 = 1$. Значит, $49 : 8 = 6$ (остаток 1).
Ответ: 6 (ост. 1).

б) Найдем наибольшее число до 73, которое делится на 8. Это число 72. $72 : 8 = 9$. Это неполное частное. Найдем остаток: $73 - 72 = 1$. Значит, $73 : 8 = 9$ (остаток 1).
Ответ: 9 (ост. 1).

в) Найдем наибольшее число до 58, которое делится на 7. Это число 56. $56 : 7 = 8$. Это неполное частное. Найдем остаток: $58 - 56 = 2$. Значит, $58 : 7 = 8$ (остаток 2).
Ответ: 8 (ост. 2).

г) Найдем наибольшее число до 118, которое делится на 23. Пробуем умножить 23 на разные числа: $23 \times 4 = 92$, $23 \times 5 = 115$, $23 \times 6 = 138$. Наибольшее подходящее число — 115. $115 : 23 = 5$. Это неполное частное. Найдем остаток: $118 - 115 = 3$. Значит, $118 : 23 = 5$ (остаток 3).
Ответ: 5 (ост. 3).

д) Найдем наибольшее число до 400, которое делится на 57. Пробуем умножить 57 на разные числа: $57 \times 6 = 342$, $57 \times 7 = 399$, $57 \times 8 = 456$. Наибольшее подходящее число — 399. $399 : 57 = 7$. Это неполное частное. Найдем остаток: $400 - 399 = 1$. Значит, $400 : 57 = 7$ (остаток 1).
Ответ: 7 (ост. 1).

е) Выполним деление столбиком. Сначала делим 48 на 17. Берем по 2. $17 \times 2 = 34$. Остаток $48 - 34 = 14$. Сносим 7, получаем 147. Делим 147 на 17. Берем по 8. $17 \times 8 = 136$. Остаток $147 - 136 = 11$. Неполное частное равно 28, а остаток 11. Значит, $487 : 17 = 28$ (остаток 11).
Ответ: 28 (ост. 11).

ж) Делим 456 на 6. Сначала делим 45 на 6. Берем по 7. $6 \times 7 = 42$. Остаток $45 - 42 = 3$. Сносим 6, получаем 36. Делим 36 на 6. Берем по 6. $6 \times 6 = 36$. Остаток $36 - 36 = 0$. Частное равно 76, а остаток 0. Значит, $456 : 6 = 76$ (остаток 0).
Ответ: 76 (ост. 0).

з) Выполним деление 683 на 5. Делим 6 на 5. Берем по 1. Остаток $6 - 5 = 1$. Сносим 8, получаем 18. Делим 18 на 5. Берем по 3. $5 \times 3 = 15$. Остаток $18 - 15 = 3$. Сносим 3, получаем 33. Делим 33 на 5. Берем по 6. $5 \times 6 = 30$. Остаток $33 - 30 = 3$. Неполное частное равно 136, а остаток 3. Значит, $683 : 5 = 136$ (остаток 3).
Ответ: 136 (ост. 3).

1.248. Какие остатки получаются при делении натуральных чисел:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 4;

г) на 7?

При делении с остатком натурального числа (делимого) на другое натуральное число (делитель) остаток всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя.

Если обозначить делимое как $a$, делитель как $b$, неполное частное как $q$ и остаток как $r$, то их связь можно выразить формулой: $a = b \cdot q + r$

При этом для остатка $r$ всегда выполняется условие: $0 \le r < b$.

Используя это правило, найдём возможные остатки для каждого случая.

а) на 2

При делении на 2 делитель $b = 2$. Следовательно, остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 2$. Этому условию соответствуют целые числа 0 и 1. Числа, которые делятся на 2 без остатка (остаток 0), называются чётными. Числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называются нечётными.

Ответ: 0, 1.

б) на 3

При делении на 3 делитель $b = 3$. Следовательно, остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 3$. Этому условию соответствуют целые числа 0, 1 и 2.

Ответ: 0, 1, 2.

в) на 4

При делении на 4 делитель $b = 4$. Следовательно, остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 4$. Этому условию соответствуют целые числа 0, 1, 2 и 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

г) на 7

При делении на 7 делитель $b = 7$. Следовательно, остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 7$. Этому условию соответствуют целые числа 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1.249. Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 4;

г) на 5?

По определению деления с остатком, остаток всегда должен быть меньше делителя. Если мы делим некоторое натуральное число $a$ на натуральное число $b$ (делитель), то остаток $r$ должен удовлетворять строгому неравенству $r < b$. Также остаток является неотрицательным числом, то есть $r \ge 0$. Таким образом, для остатка $r$ выполняется условие $0 \le r < b$.
Следовательно, наибольший возможный остаток при делении на число $b$ — это наибольшее целое число, которое меньше $b$. Таким числом является $b-1$.

а) на 2

При делении на 2 делителем является число 2. Возможные остатки должны быть меньше 2. Это числа 0 и 1. Наибольший из этих остатков — 1.
Формула для наибольшего остатка: $2 - 1 = 1$.
Ответ: 1

б) на 3

При делении на 3 делителем является число 3. Возможные остатки должны быть меньше 3. Это числа 0, 1 и 2. Наибольший из этих остатков — 2.
Формула для наибольшего остатка: $3 - 1 = 2$.
Ответ: 2

в) на 4

При делении на 4 делителем является число 4. Возможные остатки должны быть меньше 4. Это числа 0, 1, 2 и 3. Наибольший из этих остатков — 3.
Формула для наибольшего остатка: $4 - 1 = 3$.
Ответ: 3

г) на 5

При делении на 5 делителем является число 5. Возможные остатки должны быть меньше 5. Это числа 0, 1, 2, 3 и 4. Наибольший из этих остатков — 4.
Формула для наибольшего остатка: $5 - 1 = 4$.
Ответ: 4

1.250. Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел?

При делении с остатком любого целого числа $a$ (делимое) на натуральное число $b$ (делитель), результатом являются неполное частное $q$ и остаток $r$. Это соотношение выражается формулой:

$a = b \cdot q + r$

Согласно определению деления с остатком, остаток $r$ всегда является неотрицательным числом и должен быть строго меньше делителя $b$. Это условие можно записать в виде двойного неравенства:

$0 \le r < b$

Из этого неравенства следует, что самое маленькое значение, которое может принять остаток $r$, равно 0. Это происходит в том случае, когда число $a$ делится на число $b$ без остатка (нацело).

Например, при делении 10 на 5, мы получаем:

$10 = 5 \cdot 2 + 0$

Здесь остаток $r$ равен 0. Поскольку всегда можно найти числа, которые делятся нацело (например, любое натуральное число делится на 1 или на само себя), наименьший возможный остаток при делении на натуральные числа — это 0.

Ответ: 0

1.251. Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3; 4; 7. Выпишите первые десять чисел каждого класса.

Разбиение по остаткам от деления на 3

При делении натурального числа $n$ на 3 возможны три различных остатка: 0, 1 и 2. Соответственно, множество натуральных чисел $N$ разбивается на три класса по этому признаку.

• Класс чисел, дающих остаток 0 при делении на 3. Это числа вида $n = 3k$, где $k$ — натуральное число.
  Первые десять чисел: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

• Класс чисел, дающих остаток 1 при делении на 3. Это числа вида $n = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
  Первые десять чисел: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28.

• Класс чисел, дающих остаток 2 при делении на 3. Это числа вида $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.
  Первые десять чисел: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.

Ответ:
Класс с остатком 0: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
Класс с остатком 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28.
Класс с остатком 2: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.

Разбиение по остаткам от деления на 4

При делении натурального числа $n$ на 4 возможны четыре различных остатка: 0, 1, 2 и 3. Таким образом, множество натуральных чисел $N$ разбивается на четыре класса.

• Класс чисел, дающих остаток 0 при делении на 4. Это числа вида $n = 4k$, где $k$ — натуральное число.
  Первые десять чисел: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

• Класс чисел, дающих остаток 1 при делении на 4. Это числа вида $n = 4k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
  Первые десять чисел: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37.

• Класс чисел, дающих остаток 2 при делении на 4. Это числа вида $n = 4k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.
  Первые десять чисел: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38.

• Класс чисел, дающих остаток 3 при делении на 4. Это числа вида $n = 4k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число.
  Первые десять чисел: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39.

Ответ:
Класс с остатком 0: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.
Класс с остатком 1: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37.
Класс с остатком 2: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38.
Класс с остатком 3: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39.

Разбиение по остаткам от деления на 7

При делении натурального числа $n$ на 7 возможны семь различных остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Таким образом, множество натуральных чисел $N$ разбивается на семь классов.

• Класс с остатком 0 (числа вида $7k$, $k \in N$):
  7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

• Класс с остатком 1 (числа вида $7k+1$, $k \ge 0$):
  1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64.

• Класс с остатком 2 (числа вида $7k+2$, $k \ge 0$):
  2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65.

• Класс с остатком 3 (числа вида $7k+3$, $k \ge 0$):
  3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66.

• Класс с остатком 4 (числа вида $7k+4$, $k \ge 0$):
  4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67.

• Класс с остатком 5 (числа вида $7k+5$, $k \ge 0$):
  5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68.

• Класс с остатком 6 (числа вида $7k+6$, $k \ge 0$):
  6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69.

Ответ:
Класс с остатком 0: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.
Класс с остатком 1: 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64.
Класс с остатком 2: 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65.
Класс с остатком 3: 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66.
Класс с остатком 4: 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67.
Класс с остатком 5: 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68.
Класс с остатком 6: 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69.

1.252. Ученик выполнил деление: $148 \div 15 = 8$ (ост. 28). В чём заключается ошибка? Выполните деление правильно.

В чём заключается ошибка?

Основное правило деления с остатком гласит, что остаток всегда должен быть меньше делителя. В примере, решённом учеником, делимое равно 148, делитель — 15, неполное частное — 8, а остаток — 28.

Ошибка заключается в том, что полученный остаток (28) оказался больше делителя (15):

$28 > 15$

Это означает, что деление выполнено неверно, так как в остатке 28 содержится ещё как минимум одна целая часть, равная 15. Неполное частное должно быть больше.

Ответ: Ошибка в том, что остаток (28) больше делителя (15).

Выполните деление правильно.

Чтобы разделить 148 на 15, нужно найти, сколько раз число 15 помещается в числе 148. Подберём ближайшее к 148 число, которое делится на 15 без остатка.

$15 \times 9 = 135$

$15 \times 10 = 150$ (это уже больше, чем 148, значит, неполное частное равно 9).

Теперь найдём остаток от деления, вычтя из делимого произведение делителя и неполного частного:

$148 - 135 = 13$

Проверяем: остаток 13 меньше делителя 15 ($13 < 15$). Значит, деление выполнено правильно.

Ответ: $148 : 15 = 9$ (ост. 13).

1.253. На доске написано несколько примеров на деление с остатком.

В каждом примере делимое стёрли и заменили буквой. Найдите делимое.

а) $a : 12 = 3$ (ост. 2);

б) $b : 26 = 7$ (ост. 4);

в) $c : 18 = 5$ (ост. 2);

г) $k : 48 = 5$ (ост. 8).

Чтобы найти неизвестное делимое при делении с остатком, необходимо делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток. Общая формула выглядит так:

$a = b \cdot q + r$

где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток.

а) $a : 12 = 3 \text{ (ост. 2)}$

В этом примере делитель равен 12, неполное частное — 3, а остаток — 2. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти делимое $a$:

$a = 12 \cdot 3 + 2 = 36 + 2 = 38$

Проверка: при делении 38 на 12 получаем 3, и остаток $38 - 12 \cdot 3 = 38 - 36 = 2$.

Ответ: 38.

б) $b : 26 = 7 \text{ (ост. 4)}$

Здесь делитель равен 26, неполное частное — 7, а остаток — 4. Найдём делимое $b$:

$b = 26 \cdot 7 + 4 = 182 + 4 = 186$

Проверка: при делении 186 на 26 получаем 7, и остаток $186 - 26 \cdot 7 = 186 - 182 = 4$.

Ответ: 186.

в) $c : 18 = 5 \text{ (ост. 2)}$

В данном случае делитель равен 18, неполное частное — 5, а остаток — 2. Найдём делимое $c$:

$c = 18 \cdot 5 + 2 = 90 + 2 = 92$

Проверка: при делении 92 на 18 получаем 5, и остаток $92 - 18 \cdot 5 = 92 - 90 = 2$.

Ответ: 92.

г) $k : 48 = 5 \text{ (ост. 8)}$

Здесь делитель равен 48, неполное частное — 5, а остаток — 8. Найдём делимое $k$:

$k = 48 \cdot 5 + 8 = 240 + 8 = 248$

Проверка: при делении 248 на 48 получаем 5, и остаток $248 - 48 \cdot 5 = 248 - 240 = 8$.

Ответ: 248.

1.254 Определите неполное частное:

а) $76 : 12 = a$ (ост. 4);

б) $12 : 26 = b$ (ост. 12);

в) $808 : 35 = k$ (ост. 3);

г) $442 : 29 = d$ (ост. 7).

а) Чтобы найти неполное частное a, нужно из делимого (76) вычесть остаток (4) и полученную разность разделить на делитель (12).
Это можно записать с помощью формулы: $a = (Делимое - Остаток) : Делитель$.
Подставим наши значения:
$a = (76 - 4) : 12$
$a = 72 : 12$
$a = 6$
Проверим: $12 \times 6 + 4 = 72 + 4 = 76$. Результат верный.
Ответ: 6.

б) Для нахождения неполного частного b применим ту же формулу. Из делимого (12) вычтем остаток (12) и разделим на делитель (26).
$b = (12 - 12) : 26$
$b = 0 : 26$
$b = 0$
Проверим: $26 \times 0 + 12 = 0 + 12 = 12$. Результат верный.
Ответ: 0.

в) Чтобы найти неполное частное k, из делимого (808) вычтем остаток (3) и полученную разность разделим на делитель (35).
$k = (808 - 3) : 35$
$k = 805 : 35$
$k = 23$
Проверим: $35 \times 23 + 3 = 805 + 3 = 808$. Результат верный.
Ответ: 23.

г) Чтобы найти неполное частное d, из делимого (442) вычтем остаток (7) и полученную разность разделим на делитель (29).
$d = (442 - 7) : 29$
$d = 435 : 29$
$d = 15$
Проверим: $29 \times 15 + 7 = 435 + 7 = 442$. Результат верный.
Ответ: 15.