Страница 59 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.264 Что называют числовым выражением?

Что называют числовым выражением?

Числовым выражением называют запись, которая состоит из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Эта запись составлена по определенным правилам и задает программу вычислений, результатом которой является число (если все действия выполнимы).

Основные компоненты числового выражения:

• Числа: это могут быть любые числа: натуральные ($5$), целые ($-10$), дробные ($\frac{3}{4}, 2.5$), иррациональные ($\pi, \sqrt{2}$) и т.д.
• Знаки арифметических действий: сложение ($+$), вычитание ($-$), умножение ($\cdot$ или $\times$), деление ($:$ или $/$), возведение в степень и другие.
• Скобки: круглые скобки $()$ используются для указания и изменения порядка выполнения действий.

Например, следующие записи являются числовыми выражениями:

• $25 + 17 - 3$
• $10 \cdot (8.5 - 4)$
• $(12 : 3 + 1) \cdot 5^2$
• $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

Если в числовом выражении выполнить все указанные действия в соответствии с принятым порядком (сначала действия в скобках, затем возведение в степень, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо), то в результате получится число. Это число называют значением выражения.

Например, значением выражения $(7 + 3) \cdot 2$ является число 20, так как сначала выполняется сложение в скобках ($7+3=10$), а затем умножение ($10 \cdot 2 = 20$).

Важно отметить, что выражение, содержащее буквы (переменные), например, $x + 5$, не является числовым, а называется буквенным (или алгебраическим) выражением. Отдельно стоящее число, например $42$, также считается простейшим числовым выражением.

Ответ: Числовым выражением называют запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

1.265. По каким правилам упрощают числовые выражения, записанные без скобок?

Числовые выражения, записанные без скобок, упрощают, следуя строгим правилам порядка выполнения арифметических действий. Этот порядок определяет, какие операции должны быть выполнены в первую очередь.

Все арифметические операции делятся на "ступени" по приоритету:

• Действия I ступени: сложение и вычитание.
• Действия II ступени: умножение и деление.
• Действия III ступени: возведение в степень.

Порядок вычислений в выражении без скобок следующий:

1. Сначала выполняются действия III ступени (возведение в степень).
2. Затем выполняются действия II ступени (умножение и деление). Если в выражении несколько таких действий, они выполняются в порядке их следования, то есть слева направо.
3. В последнюю очередь выполняются действия I ступени (сложение и вычитание). Они также выполняются в порядке их следования слева направо.

Пример:
Рассмотрим выражение $20 + 4 \cdot 5^2 - 30 : 3$.

1. Первым делом выполняем действие III ступени – возведение в степень:
$5^2 = 25$
Теперь выражение выглядит так: $20 + 4 \cdot 25 - 30 : 3$.

2. Далее выполняем действия II ступени (умножение и деление) слева направо.
Сначала умножение: $4 \cdot 25 = 100$.
Выражение принимает вид: $20 + 100 - 30 : 3$.
Затем деление: $30 : 3 = 10$.
Выражение становится: $20 + 100 - 10$.

3. В конце выполняем действия I ступени (сложение и вычитание) слева направо.
Сначала сложение: $20 + 100 = 120$.
Выражение принимает вид: $120 - 10$.
И, наконец, вычитание: $120 - 10 = 110$.

Ответ: Числовые выражения без скобок упрощают по правилу порядка действий: сначала выполняется возведение в степень, затем — умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание (слева направо).

1.266. Про какие числовые выражения говорят, что они не имеют смысла?

Говорят, что числовое выражение не имеет смысла, если оно содержит действие, которое невозможно выполнить в рамках определенного числового множества (чаще всего, множества действительных чисел). Такие действия называются неопределенными или недопустимыми.

К основным выражениям, которые не имеют смысла, относятся:

• Выражения, содержащие деление на ноль.

  Деление на ноль — это запрещенная операция в математике. Это следует из определения деления как операции, обратной умножению. Попытка вычислить выражение $a/0$ равносильна поиску такого числа $c$, для которого было бы верно равенство $c \cdot 0 = a$.

  • Если $a \neq 0$, то такого числа $c$ не существует, потому что произведение любого числа на ноль равно нулю.
  • Если $a = 0$, то равенство $c \cdot 0 = 0$ верно для абсолютно любого числа $c$. Это означает, что у выражения $0/0$ нет единственного определенного значения.

  Примеры выражений, не имеющих смысла: $15 : 0$, $\frac{8}{3-3}$, $\frac{x+5}{y}$ при $y=0$.

• Выражения, содержащие извлечение корня четной степени из отрицательного числа (в области действительных чисел).

  В множестве действительных чисел нельзя извлечь корень четной степени (квадратный $\sqrt{}$, четвертой степени $\sqrt[4]{}$ и т.д.) из отрицательного числа. По определению, корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $b$, что $b^n = a$. Если степень $n$ четная, то результат возведения любого действительного числа $b$ в эту степень будет неотрицательным ($b^n \geq 0$). Следовательно, не существует такого действительного числа $b$, которое в четной степени дало бы отрицательное число.

  Примеры выражений, не имеющих смысла: $\sqrt{-25}$, $\sqrt[4]{-81}$, $\sqrt{5-10}$.

• Выражения, содержащие логарифм отрицательного числа или нуля.

  Логарифм числа $x$ по основанию $b$ ($\log_b x$) — это показатель степени $y$, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить число $x$ (то есть $b^y = x$). В действительном анализе основание логарифма $b$ должно быть положительным и не равным единице ($b > 0, b \neq 1$). При возведении положительного основания в любую действительную степень результат всегда будет положительным числом. Поэтому число $x$ (аргумент логарифма) должно быть строго больше нуля ($x > 0$).

  Примеры выражений, не имеющих смысла: $\log_2(-8)$, $\lg(0)$, $\ln(-e)$.

• Другие случаи.

  Существуют и другие выражения, которые не имеют смысла или считаются неопределенными в определенных контекстах, например:

  • Возведение нуля в нулевую или отрицательную степень: $0^0$ (считается неопределенностью), $0^{-3}$ (так как это равносильно $\frac{1}{0^3} = \frac{1}{0}$).
  • Значения некоторых тригонометрических функций: например, $\tan(90^\circ)$ или $\tan(\frac{\pi}{2})$, так как $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, а $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: Говорят, что числовые выражения не имеют смысла, если они содержат математические операции, которые не определены для данных чисел. К таким операциям в первую очередь относятся: деление на ноль (например, $5:0$), извлечение корня четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел (например, $\sqrt{-4}$), а также нахождение логарифма от нуля или отрицательного числа (например, $\log_2(0)$).

1.267. Определите порядок действий:

a) $3 \cdot 2 + 5 \cdot 7$;

б) $3 \cdot 7 - 6 \cdot 3$;

в) $5 \cdot (4 + 12)$;

г) $20 : (10 - 6)$.

Какое действие выполняется последним? Как называется результат последнего действия?

а) В выражении $3 \cdot 2 + 5 \cdot 7$ согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняются умножение и деление (в порядке их следования), а затем сложение и вычитание.
1. Первое действие — умножение: $3 \cdot 2 = 6$.
2. Второе действие — умножение: $5 \cdot 7 = 35$.
3. Третье действие — сложение: $6 + 35 = 41$.
Последним действием является сложение. Результат сложения называется сумма.
Ответ: Последнее действие – сложение, его результат – сумма.

б) В выражении $3 \cdot 7 - 6 \cdot 3$ сначала выполняются действия умножения, а затем — вычитание.
1. Первое действие — умножение: $3 \cdot 7 = 21$.
2. Второе действие — умножение: $6 \cdot 3 = 18$.
3. Третье действие — вычитание: $21 - 18 = 3$.
Последним действием является вычитание. Результат вычитания называется разность.
Ответ: Последнее действие – вычитание, его результат – разность.

в) В выражении $5 \cdot (4 + 12)$ в первую очередь выполняется действие в скобках.
1. Первое действие — сложение в скобках: $4 + 12 = 16$.
2. Второе действие — умножение: $5 \cdot 16 = 80$.
Последним действием является умножение. Результат умножения называется произведение.
Ответ: Последнее действие – умножение, его результат – произведение.

г) В выражении $20 : (10 - 6)$ сначала выполняется действие в скобках.
1. Первое действие — вычитание в скобках: $10 - 6 = 4$.
2. Второе действие — деление: $20 : 4 = 5$.
Последним действием является деление. Результат деления называется частное.
Ответ: Последнее действие – деление, его результат – частное.