Номер 1.266, страница 59 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.266. Про какие числовые выражения говорят, что они не имеют смысла?

Говорят, что числовое выражение не имеет смысла, если оно содержит действие, которое невозможно выполнить в рамках определенного числового множества (чаще всего, множества действительных чисел). Такие действия называются неопределенными или недопустимыми.

К основным выражениям, которые не имеют смысла, относятся:

• Выражения, содержащие деление на ноль.

  Деление на ноль — это запрещенная операция в математике. Это следует из определения деления как операции, обратной умножению. Попытка вычислить выражение $a/0$ равносильна поиску такого числа $c$, для которого было бы верно равенство $c \cdot 0 = a$.

  • Если $a \neq 0$, то такого числа $c$ не существует, потому что произведение любого числа на ноль равно нулю.
  • Если $a = 0$, то равенство $c \cdot 0 = 0$ верно для абсолютно любого числа $c$. Это означает, что у выражения $0/0$ нет единственного определенного значения.

  Примеры выражений, не имеющих смысла: $15 : 0$, $\frac{8}{3-3}$, $\frac{x+5}{y}$ при $y=0$.

• Выражения, содержащие извлечение корня четной степени из отрицательного числа (в области действительных чисел).

  В множестве действительных чисел нельзя извлечь корень четной степени (квадратный $\sqrt{}$, четвертой степени $\sqrt[4]{}$ и т.д.) из отрицательного числа. По определению, корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $b$, что $b^n = a$. Если степень $n$ четная, то результат возведения любого действительного числа $b$ в эту степень будет неотрицательным ($b^n \geq 0$). Следовательно, не существует такого действительного числа $b$, которое в четной степени дало бы отрицательное число.

  Примеры выражений, не имеющих смысла: $\sqrt{-25}$, $\sqrt[4]{-81}$, $\sqrt{5-10}$.

• Выражения, содержащие логарифм отрицательного числа или нуля.

  Логарифм числа $x$ по основанию $b$ ($\log_b x$) — это показатель степени $y$, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить число $x$ (то есть $b^y = x$). В действительном анализе основание логарифма $b$ должно быть положительным и не равным единице ($b > 0, b \neq 1$). При возведении положительного основания в любую действительную степень результат всегда будет положительным числом. Поэтому число $x$ (аргумент логарифма) должно быть строго больше нуля ($x > 0$).

  Примеры выражений, не имеющих смысла: $\log_2(-8)$, $\lg(0)$, $\ln(-e)$.

• Другие случаи.

  Существуют и другие выражения, которые не имеют смысла или считаются неопределенными в определенных контекстах, например:

  • Возведение нуля в нулевую или отрицательную степень: $0^0$ (считается неопределенностью), $0^{-3}$ (так как это равносильно $\frac{1}{0^3} = \frac{1}{0}$).
  • Значения некоторых тригонометрических функций: например, $\tan(90^\circ)$ или $\tan(\frac{\pi}{2})$, так как $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, а $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: Говорят, что числовые выражения не имеют смысла, если они содержат математические операции, которые не определены для данных чисел. К таким операциям в первую очередь относятся: деление на ноль (например, $5:0$), извлечение корня четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел (например, $\sqrt{-4}$), а также нахождение логарифма от нуля или отрицательного числа (например, $\log_2(0)$).