Номер 1.261, страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.261. Какое наименьшее число при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке:

а) 0;

б) 1;

в) 2?

а) 0

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 0, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Число, дающее в остатке 0, делится нацело.

Числа 3, 5 и 7 являются простыми, а значит, взаимно простыми. Наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению.

Вычислим НОК:
$НОК(3, 5, 7) = 3 \times 5 \times 7 = 15 \times 7 = 105$.

Таким образом, наименьшее число, которое делится на 3, 5 и 7 без остатка, — это 105.

Проверка:
$105 \div 3 = 35$ (остаток 0)
$105 \div 5 = 21$ (остаток 0)
$105 \div 7 = 15$ (остаток 0)

Ответ: 105.

б) 1

Требуется найти наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 1.

Пусть искомое число — это $N$. По условию задачи, $N$ можно представить в виде:
$N = 3k + 1$
$N = 5m + 1$
$N = 7n + 1$
где $k, m, n$ — целые числа (частные от деления).

Из этих равенств следует, что если из числа $N$ вычесть 1, то полученное число $(N - 1)$ будет делиться на 3, 5 и 7 без остатка.

Следовательно, число $(N - 1)$ является наименьшим общим кратным чисел 3, 5 и 7. Как мы уже вычислили в пункте а), $НОК(3, 5, 7) = 105$.

Тогда:
$N - 1 = 105$
$N = 105 + 1 = 106$.

Проверим:
$106 \div 3 = 35$ (остаток 1)
$106 \div 5 = 21$ (остаток 1)
$106 \div 7 = 15$ (остаток 1)

Ответ: 106.

в) 2

Аналогично предыдущему пункту, найдём наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 2.

Пусть искомое число — это $M$. Тогда:
$M = 3p + 2$
$M = 5q + 2$
$M = 7r + 2$
где $p, q, r$ — целые числа.

Это означает, что число $(M - 2)$ делится на 3, 5 и 7 нацело.

Чтобы найти наименьшее $M$, мы должны найти наименьшее значение для $(M-2)$, которое кратно 3, 5 и 7. Это значение равно $НОК(3, 5, 7) = 105$.

Получаем уравнение:
$M - 2 = 105$
$M = 105 + 2 = 107$.

Проверим:
$107 \div 3 = 35$ (остаток 2)
$107 \div 5 = 21$ (остаток 2)
$107 \div 7 = 15$ (остаток 2)

Ответ: 107.