Номер 1.256, страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.256. Какой остаток получится от деления числа

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 + 1$

на:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5;

д) 6;

е) 7;

ж) 8;

з) 9;

и) 10;

к) 100?

Обозначим данное число как $A = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 + 1$. Первое слагаемое в этом выражении является произведением всех натуральных чисел от 1 до 10, что можно записать как $10!$ (10 факториал). Таким образом, $A = 10! + 1$. Для нахождения остатка от деления числа $A$ на делитель $d$, мы можем использовать свойство: $(a+b) \pmod{d} = (a \pmod{d} + b \pmod{d}) \pmod{d}$. В нашем случае это $(10! + 1) \pmod{d}$.

а) Найдем остаток от деления на 2. Произведение $10! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 10$ содержит множитель 2, следовательно, $10!$ делится на 2 без остатка. Значит, $10! \equiv 0 \pmod{2}$. Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{2}$. Остаток от деления на 2 равен 1. Ответ: 1

б) Найдем остаток от деления на 3. Произведение $10!$ содержит множитель 3, следовательно, $10!$ делится на 3 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{3}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$. Остаток от деления на 3 равен 1. Ответ: 1

в) Найдем остаток от деления на 4. Произведение $10!$ содержит множитель 4, следовательно, $10!$ делится на 4 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{4}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{4}$. Остаток от деления на 4 равен 1. Ответ: 1

г) Найдем остаток от деления на 5. Произведение $10!$ содержит множитель 5, следовательно, $10!$ делится на 5 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{5}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{5}$. Остаток от деления на 5 равен 1. Ответ: 1

д) Найдем остаток от деления на 6. Произведение $10!$ содержит множители 2 и 3, значит, оно делится на $2 \cdot 3 = 6$ без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{6}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{6}$. Остаток от деления на 6 равен 1. Ответ: 1

е) Найдем остаток от деления на 7. Произведение $10!$ содержит множитель 7, следовательно, $10!$ делится на 7 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{7}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$. Остаток от деления на 7 равен 1. Ответ: 1

ж) Найдем остаток от деления на 8. Произведение $10!$ содержит множители 2 и 4, значит, оно делится на $2 \cdot 4 = 8$ без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{8}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{8}$. Остаток от деления на 8 равен 1. Ответ: 1

з) Найдем остаток от деления на 9. Произведение $10!$ содержит множители 3 и 6, значит, оно делится на $3 \cdot 6 = 18$, а следовательно, и на 9 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{9}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$. Остаток от деления на 9 равен 1. Ответ: 1

и) Найдем остаток от деления на 10. Произведение $10!$ содержит множитель 10, следовательно, $10!$ делится на 10 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{10}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{10}$. Остаток от деления на 10 равен 1. Ответ: 1

к) Найдем остаток от деления на 100. Чтобы число делилось на 100, оно должно делиться на 4 и на 25. Произведение $10!$ содержит множитель 4. Произведение $10!$ также содержит множители 5 и 10. Так как $5 \cdot 10 = 50$, а в произведении есть еще множитель 2, то $10!$ делится на $2 \cdot 50 = 100$. Следовательно, $10!$ делится на 100 без остатка ($10! \equiv 0 \pmod{100}$). Тогда $A = 10! + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{100}$. Остаток от деления на 100 равен 1. Ответ: 1