Номер 1.341, страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.341. Из нескольких монет только одна фальшивая: она легче остальных. Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету:

а) за одно взвешивание, если монет $3$;

б) за два взвешивания, если монет $9$;

в) за три взвешивания, если монет $27$?

а) за одно взвешивание, если монет 3;
Пронумеруем монеты: 1, 2 и 3. Положим на левую чашу весов монету 1, а на правую — монету 2. Монету 3 оставим в стороне. Возможны три исхода:
1. Левая чаша легче. Это означает, что монета 1 фальшивая, так как по условию она легче настоящих.
2. Правая чаша легче. Это означает, что монета 2 фальшивая.
3. Чаши весов находятся в равновесии. Это значит, что монеты 1 и 2 настоящие (имеют одинаковый вес). Следовательно, фальшивая монета — та, что осталась в стороне, то есть монета 3.
Таким образом, за одно взвешивание мы однозначно определяем фальшивую монету.
Ответ: Положить по одной монете на каждую чашу весов. Если одна из чаш окажется легче, то на ней фальшивая монета. Если чаши уравновешены, то фальшивая монета — третья, оставшаяся в стороне.

б) за два взвешивания, если монет 9;
Разделим 9 монет на три равные группы по 3 монеты в каждой. Назовем их Группа 1, Группа 2 и Группа 3.
Первое взвешивание: Положим на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2.
1. Если левая чаша легче, значит фальшивая монета находится в Группе 1.
2. Если правая чаша легче, значит фальшивая монета находится в Группе 2.
3. Если чаши весов находятся в равновесии, значит все монеты в Группах 1 и 2 настоящие, а фальшивая находится в Группе 3, которую мы не взвешивали.
После первого взвешивания мы определили группу из 3 монет, в которой находится фальшивая.
Второе взвешивание: Теперь у нас есть 3 подозрительные монеты. Задача сводится к предыдущему пункту (а). Берем эти 3 монеты, кладем по одной на каждую чашу, а одну оставляем в стороне. По результату этого взвешивания однозначно определяем фальшивую.
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 3 монеты. Первым взвешиванием сравнить вес двух групп. Это позволит определить, в какой из трех групп находится более легкая монета. Вторым взвешиванием найти фальшивую монету среди трех подозрительных, как описано в пункте а).

в) за три взвешивания, если монет 27?
Действуем по тому же принципу деления на три. Общее правило гласит, что за $k$ взвешиваний можно найти одну легкую фальшивую монету среди $N$ монет, если $N \le 3^k$. В нашем случае $N=27$ и $k=3$, что соответствует формуле $27 = 3^3$.
Первое взвешивание: Разделим 27 монет на три группы по 9 монет в каждой (Группа 1, Группа 2, Группа 3). Сравним на весах Группу 1 и Группу 2.
- Если одна из групп легче, в ней находится фальшивая монета.
- Если группы равны по весу, фальшивая монета находится в Группе 3.
В результате мы сузили круг "подозреваемых" до 9 монет.
Второе взвешивание: Теперь у нас есть 9 подозрительных монет. Эта задача полностью совпадает с пунктом (б). Разделим эти 9 монет на три группы по 3 монеты и одним взвешиванием определим тройку монет, содержащую фальшивую.
Третье взвешивание: У нас осталось 3 подозрительные монеты. Одним взвешиванием, как в пункте (а), находим среди них фальшивую.
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 9 монет. Первым взвешиванием сравнить вес двух групп и определить, в какой из них находится фальшивая монета. Затем эту группу из 9 монет проверить за два оставшихся взвешивания, как описано в пункте б).