Номер 1.347, страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.347. Сколькими способами можно уплатить без сдачи $28 \text{ p.}$, имея монеты по $1 \text{ p.}$ и $5 \text{ p.}$?

Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов, которыми можно составить сумму 28 рублей, используя монеты достоинством 1 рубль и 5 рублей. Обозначим количество однорублевых монет как $x$, а количество пятирублевых монет как $y$. Оба числа, $x$ и $y$, должны быть целыми и неотрицательными (мы можем не использовать монеты одного из номиналов).

Тогда общая сумма будет выражаться уравнением:

$1 \cdot x + 5 \cdot y = 28$

Или проще:

$x + 5y = 28$

Мы ищем количество пар целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению. Самый простой способ — перебрать все возможные значения для $y$, так как использование монет большего номинала сильнее ограничивает варианты.

Сумма, набранная пятирублевыми монетами ($5y$), не может превышать общую сумму 28. Значит, $5y \le 28$, что дает нам $y \le 5.6$. Поскольку $y$ — это количество монет, оно может быть только целым числом. Следовательно, возможные значения для $y$: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Рассмотрим каждый случай:

1. Если взято 0 пятирублевых монет ($y = 0$):
$x + 5 \cdot 0 = 28 \implies x = 28$.
Состав: 28 монет по 1 р. и 0 монет по 5 р. (1-й способ).

2. Если взята 1 пятирублевая монета ($y = 1$):
$x + 5 \cdot 1 = 28 \implies x = 28 - 5 \implies x = 23$.
Состав: 23 монеты по 1 р. и 1 монета по 5 р. (2-й способ).

3. Если взято 2 пятирублевые монеты ($y = 2$):
$x + 5 \cdot 2 = 28 \implies x = 28 - 10 \implies x = 18$.
Состав: 18 монет по 1 р. и 2 монеты по 5 р. (3-й способ).

4. Если взято 3 пятирублевые монеты ($y = 3$):
$x + 5 \cdot 3 = 28 \implies x = 28 - 15 \implies x = 13$.
Состав: 13 монет по 1 р. и 3 монеты по 5 р. (4-й способ).

5. Если взято 4 пятирублевые монеты ($y = 4$):
$x + 5 \cdot 4 = 28 \implies x = 28 - 20 \implies x = 8$.
Состав: 8 монет по 1 р. и 4 монеты по 5 р. (5-й способ).

6. Если взято 5 пятирублевых монет ($y = 5$):
$x + 5 \cdot 5 = 28 \implies x = 28 - 25 \implies x = 3$.
Состав: 3 монеты по 1 р. и 5 монет по 5 р. (6-й способ).

Если мы попытаемся взять 6 пятирублевых монет ($y=6$), то $5 \cdot 6 = 30$, что уже больше 28. Значит, других вариантов нет.

Мы нашли 6 уникальных комбинаций монет. Таким образом, существует 6 способов уплатить 28 рублей.

Ответ: 6.