Номер 2.109, страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.109. Постройте треугольник:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный;

г) равнобедренный;

д) равносторонний;

е) равнобедренный и остроугольный;

ж) равнобедренный и тупоугольный.

Для построения треугольников будем использовать циркуль и линейку.

а) остроугольный

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). Для его построения можно использовать три стороны $a, b, c$, для которых выполняется неравенство треугольника и условие остроугольности: квадрат большей стороны должен быть меньше суммы квадратов двух других сторон.

Возьмем стороны длиной 5 см, 6 см и 7 см. Проверим условия:

• Неравенство треугольника: $5+6 > 7$ (верно).
• Условие остроугольности (7 см — наибольшая сторона): $7^2 < 5^2 + 6^2 \implies 49 < 25 + 36 \implies 49 < 61$ (верно).

Построение:

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 7 см.
2. С помощью циркуля начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 6 см.
3. Начертите дугу окружности с центром в точке B и радиусом 5 см.
4. Точку пересечения дуг обозначьте буквой C.
5. Соедините отрезками точки A и C, B и C.

Ответ: Треугольник ABC является остроугольным.

б) прямоугольный

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой ($90^\circ$).

Построение:

1. Начертите прямую линию и отметьте на ней точку B.
2. С помощью угольника или циркуля постройте прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку B.
3. На первой прямой отложите от точки B отрезок BA произвольной длины (например, 4 см).
4. На второй (перпендикулярной) прямой отложите от точки B отрезок BC произвольной длины (например, 3 см).
5. Соедините отрезком точки A и C.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

в) тупоугольный

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$). Для его построения можно использовать три стороны $a, b, c$, для которых квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон.

Возьмем стороны длиной 3 см, 5 см и 7 см. Проверим условия:

• Неравенство треугольника: $3+5 > 7$ (верно).
• Условие тупоугольности (7 см — наибольшая сторона): $7^2 > 3^2 + 5^2 \implies 49 > 9 + 25 \implies 49 > 34$ (верно).

Построение:

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 7 см.
2. С помощью циркуля начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 5 см.
3. Начертите дугу окружности с центром в точке B и радиусом 3 см.
4. Точку пересечения дуг обозначьте буквой C.
5. Соедините отрезками точки A и C, B и C.

Ответ: Треугольник ABC является тупоугольным.

г) равнобедренный

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья — основанием.

Построение:

1. Начертите отрезок AC (основание) произвольной длины (например, 6 см).
2. Выберите радиус циркуля, больший половины длины основания (например, 5 см).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и выбранным радиусом.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке C и тем же радиусом.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой B.
6. Соедините отрезками точки A и B, C и B.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, так как боковые стороны $AB = CB = 5$ см.

д) равносторонний

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Все его углы равны $60^\circ$.

Построение:

1. Начертите отрезок AB произвольной длины (например, 5 см).
2. Установите радиус циркуля равным длине отрезка AB (5 см).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и этим радиусом.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке B и тем же радиусом.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой C.
6. Соедините отрезками точки A и C, B и C.

Ответ: Треугольник ABC является равносторонним со стороной 5 см.

е) равнобедренный и остроугольный

Это равнобедренный треугольник, у которого все углы острые. Для этого боковая сторона $a$ и основание $b$ должны удовлетворять условию $b < a\sqrt{2}$.

Возьмем боковые стороны $a=5$ см, а основание $b=6$ см. Проверим условие: $6 < 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07$ (верно).

Построение:

1. Начертите отрезок AC (основание) длиной 6 см.
2. Установите радиус циркуля равным 5 см (длина боковой стороны).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 5 см.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке C и тем же радиусом 5 см.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой B.
6. Соедините отрезками точки A и B, C и B.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным и остроугольным.

ж) равнобедренный и тупоугольный

Это равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами) тупой. Для этого боковая сторона $a$ и основание $b$ должны удовлетворять условию $b > a\sqrt{2}$. При этом должно сохраняться неравенство треугольника $b < 2a$.

Возьмем боковые стороны $a=4$ см. Тогда основание $b$ должно быть в пределах $4\sqrt{2} < b < 2 \times 4$, то есть $5.66 < b < 8$. Выберем $b=7$ см.

Построение:

1. Начертите отрезок AC (основание) длиной 7 см.
2. Установите радиус циркуля равным 4 см (длина боковой стороны).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 4 см.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке C и тем же радиусом 4 см.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой B.
6. Соедините отрезками точки A и B, C и B.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным и тупоугольным.