Номер 2.100, страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.100. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 84). Углы $AOC$ и $BOD$ называют вертикальны-ми. Назовите другую пару вер-тикальных углов. Чему равна сумма величин углов 1 и 3? Чему равна сумма величин углов 3 и 2? Верно ли, что $\angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2$? Верно ли, что $\angle 1 = \angle 2$? Верно ли утверж-дение: вертикальные углы равны?

Рис. 84

Назовите другую пару вертикальных углов.

Вертикальными называют углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. В задаче указана пара углов $ \angle AOC $ (обозначен как $ \angle 1 $) и $ \angle BOD $ (обозначен как $ \angle 2 $). Другой парой вертикальных углов являются $ \angle AOD $ (обозначен как $ \angle 3 $) и $ \angle BOC $.

Ответ: $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $.

Чему равна сумма величин углов 1 и 3?

Углы $ \angle 1 $ ($ \angle AOC $) и $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) являются смежными углами, так как они имеют общую сторону $AO$, а две другие их стороны, $OC$ и $OD$, вместе образуют прямую $CD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, $ \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ $.

Ответ: $180^\circ$.

Чему равна сумма величин углов 3 и 2?

Углы $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) и $ \angle 2 $ ($ \angle BOD $) также являются смежными. У них общая сторона $OD$, а стороны $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой $AB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Поэтому $ \angle 3 + \angle 2 = 180^\circ $.

Ответ: $180^\circ$.

Верно ли, что $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $?

Как было показано в предыдущих пунктах, сумма углов 1 и 3 равна $180^\circ$, так как они смежные. Сумма углов 3 и 2 также равна $180^\circ$ по той же причине. Поскольку обе суммы равны одному и тому же значению ($180^\circ$), то равенство $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $ является верным.

Ответ: Да, верно.

Верно ли, что $ \angle 1 = \angle 2 $?

Рассмотрим верное равенство из предыдущего пункта: $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $. Если вычесть из обеих частей этого равенства величину угла 3, то равенство останется верным. Получим:

$ (\angle 1 + \angle 3) - \angle 3 = (\angle 3 + \angle 2) - \angle 3 $

$ \angle 1 = \angle 2 $

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

Верно ли утверждение: вертикальные углы равны?

Углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются вертикальными по определению, данному в задаче. В предыдущем пункте мы математически доказали, что их величины равны ($ \angle 1 = \angle 2 $). Это рассуждение справедливо для любой пары вертикальных углов, образованных пересечением двух прямых. Следовательно, утверждение о том, что вертикальные углы равны, является свойством вертикальных углов и оно верно.

Ответ: Да, утверждение верно.